我们从小到大都在学习数学，那可是数学到底有什么用呢？我的理解是数学的用处至少有实用之用和无用之用两个层面。
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先来谈第一个层面。从小学到大 学，这十几年的数学训练，训练了我们在从最初等的代数计算即我们日常所谓买菜用的数学到几何学，再到分析这些数学的几个大领域之中的基本的运算和证明技巧。没有算数的能力，我们是很难在现代社会生存的。最简单地说，就是对你日常生活支出的管理，更大的还有理财，都需要掌握一定的算数能力才能够进行。那有人会说，这些技能，卖菜大妈都会，她们算数能力可强了，再说现在计算机的计算能力这么发达，我根本用不着计算呀。那数学是不是白学了呢？
首先看算数，算数这个基本功还是必须得，计算计算机会做算数，前提也是你得能把数字输入到计算机中，我们之所以认为算数简单是因为我们已经经过了一定程度的抽象训练。将时间回退几百上千年，在中世纪的欧洲，算数这个能力还只是少数精英才会的。虽然这个基础的能力现在人人都有，但并不意味着它不重要，这样一种基本技能的丧失是很可怕的。因为现在的生产是一种高度量化的生产，数在其中发挥着巨大的作用。那我们是不是只有学会了算数就行了呢？我如果将来从事文职工作，我为什么还要学习几何，甚至还要学习微积分呢？
先来谈几何，几何学的发展依赖于人们的实践，这是一门从实践中发展起来的学科。比如著名的勾股定理，就是人们在实践中发现，勾三股四弦五的三角形是直角三角形。轮子为什么设计成圆形的，为什么稳定的结构一般是三角形的。这都是几何学知识告诉我们的。我们身边处处可见几何学知识，我们也随时在用几何学知识，比如很简单的我们怎么看一条队伍直不直，就用两点确定一条直线的原理。有些人走路抄近道，斜着穿过草坪，就是利用的三角形两边之和大于第三遍的原理。所以是人人在用，但是有时是无意识的在用。
那令很多人头痛的微积分呢？微积分可以说是现代社会几乎所有技术的基础。从骑车的制造到钢铁的生产，无处不见微积分的身影。熟练掌握微积分，是我们能够从事现代化生产的一个重要的环节。
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这第一个层面是数学的实用化的层面，而更重要的是第二个层面，即数学的无用之用。数学作为人类抽象思维和理性思维高度发展的产物，对于塑造我们的思维有着巨大的作用。要想理解这个问题，我们首先要来看数学的最根本特征，我们可以从数这个最基本的范畴来看数学最根本的特征。
远古的时候人们打猎得到了一些猎物，要进行分配，自然发生了数数的需要。开始应该是一头鹿，两头鹿，一头野猪这样的数。然后会产生一个加法，减法，甚至除法和乘法的一个运算。这其中有一个关键的转变，就是把数字一，从一头鹿，一头牛，一头猪中抽象出来。这个数字才能和其他数进行相加，一头猪和一头牛是无法相加，但一可以和一相加。有了这个关键的一步以后，我们就得到了脱离具体物质形式的纯粹的数。之后就有了自然数，因为数是比较抽象的，以至于很多的民族都喜欢把数字给神秘化。比如五行，八卦，都要讲这些数赋予一定的意义。古希腊的毕达哥拉斯学派甚至宣称万物皆数。数的发明以及运算规则的定义，赋予了我们处理复杂事物的能力，我们不用像才上学一样，靠数手指头来进行运算。
之后是有理数的发明，有理数的发明也是很自然的，进行分配的时候并不总能得到整数，这就诞生了有理数出现的必要。古希腊人关于有理数的定义是可公度数，即认为如果我拿p份的某线段去量q份的某线段，正好相等，那就可以说第一个线段是第二个线段的q分之p，这就定义了一个有理数。有了有理数，人们就掌握了分数的运算，这促进了历法的发展，而历法对农业生产是至关重要的。而后人们又发现除了有理数，还有无理数。这也产生了第一次的数学危机。无理数的发现，促使人们去思考怎么用自然数来定义这种新的数，因为无理数是无法公度的，所以直接地定义是很困难的。而这个问题直到集合论的建立，才得到根本解决。
有了有理数和无理数，人们就把他们统称为实数，并把它和数轴上所有的点都对应了起来，而如果再加一条垂直的数轴，就可以对平面上所有的点进行标记，两点数轴上的点的组合，就把平面上所有的点都覆盖了，我们就可以建立坐标系了，这样解析几何就顺理成章地诞生了。这样就把原来的几何问题转化为了代数问题。数与形得到了第一次统一。有了坐标系，我们可以在上面绘制各种曲线。
其中有两个问题最吸引人，一个是求任意曲线下的面积，一个是求曲线在任一点处的切线。而这两个问题则分别是积分学和微分学的关键。人们对这些问题的研究，就促使了微积分的诞生。
微积分的诞生是划时代的，我们之前讲到数是对自然界的一次抽象，而微积分又是在数的基础之上进行的又一次抽象。发现了微积分以后，人们想要去寻找它的原理，这就催生了现代分析学的建立。终于魏尔斯特拉斯用严格的极限语言，帮微积分奠定了基础。当然很多人学高数的时候特别头疼他的极限语言。因为极限是在已有抽象的数的基础之上在进行的抽象。极限的严格定义，把诸如趋近于，无限小这样定义模糊的语言从数学中清理出来。我们再一次看到人类理性思维的伟大力量。
从最开始简单的数到微积分的发展就可以看出，数学的最本质特征是理性自由。为什么数学要如此严格，不容许有一点点的定义模糊。就是为了确保它的自由。因为有了如此强的确定性，才能保证数学的发展是建立在一个牢固的基础之上。数学的定理是不依赖于任何人的意志而存在的，只有你选择了一组公理，这个体系的发展已经不受我们意志的左右。
试想你发现世界上还有一些事是遵循绝对的理性，不会因为世间的强权而改变，也不会因为他人落泪而变化，这是何等地自由呀！庄子说列子御风而行，犹有所待。而数学却无所待，数学的发展遵循内在的逻辑。所以说数学是自由的，和文学一样，是自由的世界。
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理解了数学的最根本特征是自由之后。我们就会明白数学的大用在于塑造这个世界同时塑造我们对这个世界的认知。数学为了保证它的自由，就要有确定性，达到这个确定性，就不能依赖于具体的物质形式。所以数学要抽象，于是诞生了数，把量与质进行了分离，也把质的差异给抹平。我们物理学上有个重要的概念叫量纲，量纲的意义而在，量纲是表征物理量的本质的，只有同质的物理量才能相加。把质的差异抹平就意味着默认这些事物量纲统一。现代社会考核极其讲究量化，量化的前提假设是质的相同，否则不同质的事物无法比较。我们现在特别重视数据，数在我们的社会中占有很重要的作用，在于我们做了一个基本假定，所有的人都是同质的，一个普遍人性就从中抽象了出来，没有这个普遍人性的预设，天赋人权的法律也没有任何意义。这与数学对现代世界的塑造是分不开的。理解了数学，我们对现代世界的理解也就会更加深入。归根结底，数学是一门人间的学问，是人为了追求理性自由而发展的学科。
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理解数学对我们理解其他学科有着重要的作用，进而数学对我们理解人与自然有着重要作用。数学与历史和科学有着千丝万缕的联系，尽管前者和后两者看起来是那么地充满差别。历史有综合法，分析法，归纳法，而数学也有综合法，分析法，归纳法。历史通过逻辑推理，加以大量事实的归纳，从纷繁的历史事件中抽丝剥茧，理出清晰的脉络。历史也高度讲究实证，必须有史料，文物等史实为支持。而科学也是必须符合实证的。
理科和文科的差别并没有一些人通常想象中的那么大。哲学，这门学科你说是文科还是理科？其实它既不是理科也不是文科。哲学，尤其是西方哲学，没有一定的数学基础是不能理解的。西方好多的哲学家他们的数学功底都比较深厚，很多的著作都是用数学的思维方式写出的，逻辑非常缜密。亚里士多德，笛卡尔，莱布尼茨，这些人既是数学家又是哲学家。不过这些是现象，其本质是，西方的哲学比较重分析，因此需要较强的逻辑思维。西方世界几部非常经典的著作，简直是经典的无以复加，用的就是公理化的语言。《几何原本》，《自然哲学之数学原理》， 斯宾诺莎的《伦理学》，采用的就是公理的形式。这还能说哲学是文科吗？很多的大科学家，大数学家本身就是哲学家，例如爱因斯坦。这说明其深层次的逻辑基础与思维方式是相似的。
艺术，尤其是写意，这本身就是一种抽象，西方以往是比较注重写实的。但是从19世纪开始注重写意，开始了印象派创作，这就是进步。而数学也是讲究高度抽象的，是一种抽象的美。数学很大程度就是还原一件事物的实质，即其在抽象层次的意义，比如篮球，足球，它们的特征是一个球形，数学的球和现实世界中的球的区别是，数学世界的球是完美的球，这类似于柏拉图所说的共相。因为数学的球是最完美的，没有缺陷的，而且脱离了具体的形式，所以它代表了最真实的球。理解了数学，我们对其他学科会有更深的认识，而这些人文学科和自然科学正是关于人与自然的学问。因此理解数学也是我们理解人与自然的基础。
天地有大美而不言，数学因其自由自有大美与大用！