月考数学试卷
题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共5小题，共15.0分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A.
B. -
C.
D.
2. 下列各式中计算正确的是（ ）
A.
B.
C. =x+1 D.
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 顶角相等的两个等腰三角形全等 B. 底角相等的两个等腰三角形全等
C. 底角、顶角分别相等的两个等腰三角形全等 D. 两角一边对应相等的两个等腰三角形全等
4. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，
则图中面积相等的三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 5. 如图所示，直线AB∥CD，∠A=100°，∠C=75°，则∠E
的度数是（ ）
A. 25° B. 20° C. 30° D. 35°
二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）
6. 把命题“等边对等角”改写成“如果…，那么…”的形式是：______ ． 7. 若式子
有意义，则x的取值范围是______ ．
、
、
、
与
是同类二次根式的是
8. 已知下列四个根式：______． 9. 写出210. 等式
的一个有理化因式______． 成立的条件______．
11. 若最简二次根式和是同类二次根式，则ab的值为______．
=y+4，则xy的值为______． 12. 若13. 化简：
（a＜0）=______．
14. 将一元二次方程（2x-1）2=2x（x-1）化成一般式：______．
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15. 已知方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0有共同的根-1，则a= ______ ，b= ______ ． 16. 若a、b分别表示
的整数部分和小数部分，则a+
=______．
E是AD的中点，BF=CD+DF，17. 如图，已知正方形ABCD中，
若∠ABE为α，用含α的代数式表示∠CBF的度数是______．
三、计算题（本大题共3小题，共16.0分） 18. 计算：．
19. 计算：
20. 某同学作业本上做了这么一道题：“当a=
中
时，试求a+
的值”，其
．
是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，
说出你的道理．
四、解答题（本大题共8小题，共45.0分） 21. 计算：
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．
22. 计算：
．
23. 解方程：．
24. 解不等式：
x．
25. 已知：x=
，求
的值．
26. 如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，
∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD．
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AD平分∠BAC，AB+BD=AC．27. 如图，△ABC中，∠B=2∠C，求证：
28. 观察下列各式
其变化过程，回答下列问题． （1）猜想
=______．
．
，…请按照上述三个等式及
（2）猜想______=
（3）试猜想第N个等式为______．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、B、C、D、
=
=
，不是最简二次根式；
，是最简二次根式；
=|2a+1|，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式；
故选：B．
根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断．
本题考查的是最简二次根式的概念、二次根式的性质，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2.【答案】D
【解析】解：A、原式=B、原式=C、D、原式=
，所以A选项错误；
=3，所以B选项错误；
是最简二次根式不能化简，所以C选项错误； ，所以D选项正确．
故选：D．
根据二次根式的性质对各选项化简可进行判断．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 3.【答案】D
【解析】解：A、顶角相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题； B、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、底角、顶角分别相等的两个等腰三角形不一定全等，原命题是假命题； D、两角一边对应相等的两个等腰三角形全等，原命题是真命题； 故选：D．
根据全等三角形的判定判断即可．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4.【答案】C
【解析】解：∵AD∥BC，
∴S△ABC和S△DCB的面积相等，S△BAD和S△CAD的面积相等，
∴根据等式的性质，S△ABC-S△BOC=S△DCB-S△BOC，即S△AOB=S△COD， ∴图中面积相等的三角形有3对， 故选：C．
根据平行线间的距离相等和三角形的面积公式的求法即可求出答案． 此题考查了三角形的面积和平行线之间的距离．解题的关键是根据等底等高的两个三角
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形的面积相等即可求出． 5.【答案】A
【解析】解：∵直线AB∥CD，∠A=100°， ∴∠EFD=∠A=100°，
∵∠EFD是△CEF的外角，
-75°=25°∴∠E=∠EFD-∠C=100°．
故选：A．
先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角
的性质得出结论即可．
本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
6.【答案】如果三角形的两条边相等，那么这两条边所对的角相等
【解析】解：“等边对等角”改写为“如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等”．
故答案为：如果三角形的两边相等，那么这两条边所对的角相等． 根据命题的定义改写即可．
本题考查了命题的定义，熟悉课本中的性质定理准确确定出题设与结论是解题的关键． 7.【答案】x≥-1且x≠3
【解析】解：由题意得，x+1≥0且x-3≠0， 解得x≥-1且x≠3．
故答案为：x≥-1且x≠3．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
8.【答案】
【解析】解：∵∴与
和
=ax，
、
=，；
=，=2a，
是同类二次根式的是
和
、．
故答案为：
直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 9.【答案】2-
【解析】解：∵（2-）（2+）=4m-n， ∴2的一个有理化因式为：2-． 故答案为：2-．
直接利用有理化因式的定义得出答案．
此题主要考查了分母有理化，正确把握相关定义是解题关键． 10.【答案】x＞3
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【解析】解：等式成立的条件是：，
解得：x＞3． 故答案为：x＞3．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：∵最简二次根式∴
，
和
是同类二次根式，
解得：a=，b=． ∴ab=． 故答案为：．
根据题意，它们的根指数是2，且被开方数相同，据此列出方程组，求出a、b的值，再代入即可．
本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式． 12.【答案】1
【解析】解：由题意得：x-1≥0，1-x≥0， ∴x=1， ∴y=-4， ∴xy=1-4=1， 故答案为：1．
根据二次根式的性质被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查二次根式有意义的条件和负整数指数幂，注意掌握被开方数为非负数这个条件．
13.【答案】-
【解析】解：故答案为：-
（a＜0）=．
，
直接利用a的取值范围化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 14.【答案】2x2-2x+1=0
【解析】解：（2x-1）2=2x（x-1） 去括号得：4x2-4x+1=2x2-2x， 移项得：4x2-2x2+2x-4x+1=0， 合并得：2x2-2x+1=0． 故答案为：2x2-2x+1=0．
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先去括号，再把各项移到方程左边，然后合并同类项即可． 本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 15.【答案】1；-2
【解析】解：把x=-1，代入得
，解得a=1，b=-2．
把共同的根代入方程3ax2-bx-1=0和ax2+2bx-5=0中，解二元一次方程组，求出a和b的值．
本题考查的是一元二次方程的解的定义，代入公共根，解方程组求出待定系数的值． 16.【答案】
【解析】解：∵a，b分别表示的整数部分和小数部分， ∴a=2，b=-2， 则a+
=2+
=2+
=
，
故答案为：．
首先估计出的取值范围，进而得出a，b的值，即可得出答案． 此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键． 17.【答案】2α
【解析】解：如图，延长BC至G，使得CG=DF，连接FG交CD于H，
∵BF=CD+DF，CD=BC， ∴BF=BG，
∵∠D=∠HCG=90°，∠DHF=∠CHG，DF=CG， ∴△FDH≌△GCH（AAS）， ∴FH=GH，DH=CH，
∴等腰三角形BFG中，∠FBG=2∠HBC， ∵点E是AD中点，DH=CH， ∴AE=CH，
又∵∠A=∠BCH，AB=CB， ∴△ABF≌△CBH（SAS）， ∴∠ABF=∠CBH=α°， ∴∠FBC=2∠CBH=2α°． 故答案为：2α．
延长BC至G，使得CG=DF，连接FG交CD于H，判定△FDH≌△GCH（AAS），即可得出FH=GH，DH=CH，再判定△ABF≌△CBH（SAS），即可得到∠ABF=∠CBH=α°，进而得出∠FBC=2∠CBH=2α°．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 18.【答案】解：
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=+2-9+7 =3-2．
故答案为3-2．
【解析】先将各式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可解答．
本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
19.【答案】解：原式=
=
．
．
故答案为
【解析】根据二次根式的加减运算的计算法则，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
20.【答案】解：该同学的答案是不正确的．
当a≥1时，原式=a+a-1=2a-1， 当a＜1时，原式=a-a+1=1， ∵该同学所求得的答案为，∴a≥1， ∴2a-1=，a=与a≥1不一致， ∴该同学的答案是不正确的．
【解析】因为
，所以此题应该从a≥1，a＜1两种情况考虑．
当被开方数是完全平方式时，注意字母的取值．
21.【答案】解：原式=8x2×3
=24x2=24y
．
【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
22.【答案】解：原式=3-=3
--4
-4
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=-2．
【解析】先把分子变形，再约分，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可． 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23.【答案】解：
则x-3
=×，
+．
解得：x=3
【解析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
x 24.【答案】解：
（-）x＞3， 解得：x＞
=
=5+
．
故x＞5+．
【解析】直接利用二次根式的性质解不等式求出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
25.【答案】解：x=
，
===
，
-1时，原式=-，
==，
，
当x======-1-．
【解析】首先把x的值化简，再把分式通分，计算减法，化简后再代入x的值即可． 此题主要考查了二次根式的化简和分式的化简求值，关键是正确进行分式计算． 26.【答案】证明：连接AC，AD， 在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC=AD，
∵点F是CD的中点， ∴AF⊥CD．
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【解析】连接AC，可证明△ABC≌△AED，进而得到AC=AD，再利用等腰三角形的性质：三线合一即可得到AF⊥CD．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是连接AC，AD构造全等三角形．
27.【答案】证明：在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C， ∴∠AED=2∠C，
而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C， ∴∠C=∠EDC， ∴DE=CE，
∴AB+BD=AE+CE=AC．
【解析】在AC上截取AE=AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，再证明ED=EC即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
28.【答案】5
=（n+1）
【解析】解：（1）由所给式子可得：故答案为5； （2）由所给式子可得：故答案为（3）第n个式子故答案为
；
=（n+1）
=（n+1）
． =5； ==（n+1）
； ． ，
=
，
=5，
（1）由所给式子可得：（2）由所给式子可得：（3）第n个式子
本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键．
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