圆内接四边形

圆内接四边形

1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=130°，则∠AOC的大小是（ ）

A．80° B．100° C．60°

D．40°

【变式1】如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）

A． B． C． D．

【变式2】如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（ ）

A．40° B．60°

C．70°

D．80°

【变式3】四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，

连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）

A．45° B．50°

C．55°

D．60°

【变式4】已知圆内接四边形ABCD，则∠A：∠B：∠C：∠D可能为（ ）

A．1：2：2：3 B．2：2：3：1 C．3：6：5：2 D．2：3：2：3

2如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠BCE=65°，则∠BOD的大小为（ ）

A．65° B．115° C．130° D．135°

【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）

A．55° B．50°

C．45°

D．40°

【变式2】如图，圆内接四边形ABDC，延长BA和DC相交于圆外一点P，∠P=30°，∠D=70°，则∠ACP= ．

【变式3】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．

（1）当∠E=∠F时，则∠ADC= °；

（2）当∠A=55°，∠E=30°时，求∠F的度数；

（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．

3如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，4），M是第三象限内

上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．4

【变式1】四边形ABCD内接于⊙O，∠A的度数是x，∠C的度数是y，则y与x的函数图象是 （ ）

A． B． C． D．

【变式2】如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=150°．

（1）求证：AB为⊙C直径；

（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．

4如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，

DE=

，求∠ABC的度数．

=，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，

【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．

（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；

（2）若AC=EC，求证：AD=BE．

【变式2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线相交于点E，DC=DE．

（1）求证：∠A=∠AEB；

（2）如果DC⊥OE，求证：△ABE是等边三角形．

【变式3】已知四边形ABCD内接于⊙O，∠D=90°，P为上一动点（不与点C，D重合）．

（1）若∠BPC=30°，BC=3，求⊙O的半径；

（2）若∠A=90°，=，求证：PB﹣PD=PC．

【变式4】研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，己知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD

（1）求证：AB=CD；

（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；

（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．

【变式5】如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，E在弧AD上一点．

（1）若∠C=110°，求∠E的度数；

（2）若∠E=∠C，求证：△ABD为等边三角形．

【变式6】如图，四边形ABCD内接于圆O，点E在对角线AC上．

（1）若BC=DC，∠CBD=39°，求∠BCD的度数；

（2）若在AC上有一点E，且EC=BC=DC，求证：∠1=∠2．

【变式7】如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．

（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；

（2）求证：CD⊥DF．

【变式8】如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE．

求证：DB=DC．

【变式9】我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．

（I）如图（1），连接AO、OC，则有，．∵∠1+∠2=360°∴，同

理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．

（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．

（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分

∠FDC，求证：AB=AC．

【变式10】如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AC=8，，试求⊙O的半径；

（3）若点B为的中点，试判断四边形ABCO的形状．

【课后练习】

1．（朝阳区一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（ ）

A．40° B．50°

C．60°

D．130°

2（．门头沟区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是DC延长线上一点，如果⊙O的半径为6，∠BCE=60°，那么

的长为（ ）

A．6π B．12π C．2π D．4π

3．（丰台区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（ ）

A．30° B．60° C．80° D．120°

4．（西城区一模）如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC=30°，∠CBD=80°，则∠BCD的度数为 ．

5．（海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于 ．

6．（159期中）圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠B= ，∠C= ，∠D= ．

7．（人大附期末）如图，ABCD是圆内接四边形，E为DA延长线上的一点，若∠C=45°，AB=BAD= ，点B到AE的距离为 ．

，则∠

8．（平谷区期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC的延长线与AD的延长线相交于点E，且DC=DE．求证：∠A=∠AEB．

9．（北达资源期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠OAC=40°，求∠ABC的度数．

10．（东城区期末）如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，求∠OAD+∠OCD的度数．