对数函数习题精解

3.3对数函数

x的值。 2yx解析 从已知条件中寻求x、y之间的关系，以确定的值。

y例1 已知lgxlgy2lg(x2y)，求log解：由已知，得lg(xy)lg(x2y)，xy(x2y).整理，得x5xy4y0，即(xy)(x4y)0。

2222xy或x4y。但由x0,y0,x2y0，得x2y0，xy不合题意，应舍去。故x4y，即

log2x 4。

yxlog24log2(2)44. y点评 解题过程中一定要注意“对数的真数必须大于零”这一前提。

例2 设x0,y0,z0，且346。 （1）求证：

xyz111；（2）比较3x、4y、6z的大小。 zx2yyz解析 本题主要考查指数式与对数式的互化，常用的方法是取对数，消参数。 解：设346k，

xx、y、z(0,)，则k1，且x（1）证明：

lgklgklgk,y,z。 lg3lg4lg611lg6lg3lg2lg41. zxlgklgklgk2lgk2y（2）解：k1,lgk0. lgk3x4y(lg64lg81)0lg3lg4lgk4y6z(lg36lg64)0 lg2lg63x4y6z.

点评 换底公式在对数证明题中应用很广泛，应熟练应用。

问题二 对数函数的图像性质及其应用

65xx2例3 （1）求函数y的定义域。

lg(x3)（2）求函数f(x)x2lg4x的定义域。 x3解析 本题主要考查函数定义域的求解，要使解析式的各部分都有意义。 解：（1）要使函数有意义，当且仅当

65xx206x1，即x3，3x2或2x1。函数的定义域为(3,2)(2,1]。 x30x2x31腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

（2）要使函数有意义，当且仅当

x20x30，解得2x4且x3。 4x0函数的定义域为[2,3)(3,4).

点评 这类问题通常应注意这几个方面：偶次根号下不为负；分式的分母不为零；对数的真数大于零。

例4 作函数y|log2(x1)|2的图像。

解析 本题主要考查对数函数的图像与图像变换，关键先作出ylog2x的图像，向左平移1个单位长度，再把位于x轴下方的部分沿x轴翻折，然后把这个图像向上平移2个单位长度，即得到y|log2(x1)|2的图像。

解：（1）作出ylog2x的图像，如图①；

（2）将ylog2x的图像向左平移1个单位长度，得到函数ylog2(x1)的图像，如图②；

（3）把ylog2(x1)位于x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得到y|log2(x1)|的图像，如图③； （4）把y|log2(x1)|的图像向上平移2个单位长度，得到y|log2(x1)|2的图像，如图④。

4321432144321321212212212212 点评 一般地，yf(xa)b的图像，是由yf(x)的图像向左或向右平移|a|个单位长度，再向上或向下平移|b|个单位长度得到的。 例5 比较下列各组数的大小。 （1）log0.14与log0.54；（2）log45与log65；（3）log3261.92.1与log5；（4）(lgm)与(lgm)(m1)。 35解析 本题主要考查对数函数的单调性，关键要化为同底数或借助中间量比较，也可以借助图像比较。

解：（1）解法1：在同一坐标系内作出ylog0.1x与ylog0.5x的图像，如图，可知在(1,)上，函数ylog0.1x的图像在函数ylog0.5x图像的上方，故log0.14log0.54. 21212346y=log0.1xy=log0.5x11，log0.54。ylog4xlog40.1log40.511log40.1log40.50.,即log0.14log0.54.

log40.1log40.5lg4lg411,log0.54. 解法3：log0.14。lg0.1lg0.50,lg0.1lg0.5lg0.1lg0.5lg4lg4,即log0.14log0.54. 又lg40,lg0.1lg0.5（2）log45log441,log65log661, log45log65.

解

法

2

：

log0.14是增函数，

腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

（3）函数ylog3x与函数ylog5x在(0,)上都是增函数，

log32626log310,log5log510.log3log5. 3535x1.92.1（4）①当1lgm0，即1m10时，y(lgm)在R上是减函数，(lgm)(lgm)；

1.92.1②当lgm1，即m10时，(lgm)(lgm)；

x1.92.1③当lgm1，即m10时，y(lgm)在R上是增函数，(lgm)(lgm)

点评 比较两个（或多个）对数值的大小时，若底数相同，可直接用对数函数的单调性比较大小；若底数不同且不能利用对数的性质比较大小，可通过找中间变量（如1或0）或利用对数的换底公式间接实现大小的比较；若含参数，则要进行分类讨论，底数时参数时，按底数大于1或大于0小于1两种情况讨论。

例6 求下列函数的值域。

（1）yloga(2aa)； （2）ylog4(3x1)（3）yloga(aa)

解析 本题主要考查对数函数的值域，关键抓住对数函数的单调性处理，可先求出真数的范围，然后结合函数的单调性求出值域。

xx2x1log2(x1),x[0,1]； 2x19解：（1）由2aa0,a0，得0a1。设t2aa，则ta，

240ax1,0t2。

又当a1时，ylogat是增函数，yloga2；

x2xx2xx2x当0a1时，ylogat是减函数，yloga2； 故当a1时，所求值域为(,loga2)；当0a1时，所求值域为(loga2,)。 （2）

1ylog4(3x1)log2(x1)2log4(3x1)log4(x1)log4[(3x1)(x1)]log4(3x24x1)221log43x.33

21t3x在[0,1]上是单调增函数，

333x24x1[1,8]，

2y[log41,log48]，即值域为0,。

3xxx（3）a0，且aa0，0aaa。 当a1时，yloga(aax)logaa1；

当0a1时，yloga(aa)logaa1。

故当a1时，其值域为(,1)；当0a1时，其值域为(1,)。

点评 由对数函数组成的复合函数，一般有两种：（1）形如yf(logax)；（2）形如ylogaf(x)。第1种类型常采用换元法，令tlogax，根据定义域及对数函数的性质，先求出t的值域，再求出yf(t)的值域；第2种

腾飞教育网 www.tfedu.org

x2腾飞教育网 www.tfedu.org

类型一般要先由真数f(x)0，求出定义域，再根据定义域求yf(x)的值域，然后根据对数函数的性质确定复合函数的值域。

例7 解不等式：2loga(x4)loga(x2)。

解析 本题主要考查对数不等式的解法，常用的方法是根据对数函数性质把对数不等式转化为代数不等式求解。 解：原不等式等价于

loga(x4)2loga(x2)， x40x20(x4)2x2①当a1时，又等价于x40，

x20解得x6；

(x4)2x2②当0a1时，又等价于x40，

x20解得4x6。

当a1时，不等式的解集为(6,)；当0a1时，不等式的解集为(4,6)。

点评 当底数是字母时，需要分类讨论底数的取值范围。解对数不等式要注意解的过程中加以限制条件，使定义域保持不变，即进行同解变形。

x1(x2)2e例8 设f(x)，求不等式f(x)2的解集。 2log3(x1)(x2)解析 本题主要考查指数、对数不等式的求解。因为f(x)2的x值可能在两段上都能取到，所以应分类讨论。

解：当x2时，2ex12，解得x1，此时不等式的解集为(1,2)；

2x10当x2时，有log3(x1)2，此不等式等价于2，解得x10，此时不等式的解集为(10,)。 2x132综上，不等式f(x)2的解集为(1,2)(10,)。

例9 已知函数f(x)loga(xx22a2)是奇函数，求a的值。

解析 本题考查函数奇偶性的概念，对根式灵活变形的能力，以及对数函数的性质。 解：解法1：f(x)是奇函数，f(x)f(x)。

xx22a2xx2a. 2222axx2a2212. 2解法2：函数f(x)的定义域是R，又是奇函数。

2a21。又a0,af(0)0，即loga2a20,2a21，即a22. 。a0,a1,a22腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

则f(x)log22(xx21).

122f(x)log2(xx21)log2xx21，

log2(xx21)f(x).2即当a2时，f(x)是奇函数。 2a2. 2点评 解法2中利用f(0)0求出a后，必须验证这时f(x)是否是奇函数。

例10 函数ylogax在x[2,)上总有|y|1，求a的取值范围。

解析 本题主要考查对数函数的概念及单调性，由于底数a的取值不确定，一定要进行分类讨论。

1解：依题意，得|logax|1，对一切x[2,)都成立，当a1时，x2,|y|log，即axloga2loga2log22,1a2；当0a1时，|y|log，logax1，即log2ax1axloga，log2121a1.。 2综上所述，a,1(1,2).。 点评 借助图像，可帮助解题。 例11 （1）如果函数ylg(xaxa2)的定义域为R，求实数a的取值范围。（2）如果函数

212ylg(x2axa2)的值域为R，求实数a的取值范围。 解析 本题主要考查对数函数定义域、值域的理解及不等式的求解。

解：（1）要使函数的定义域为R，即是要求二次函数(x)xaxa20恒成立（如图①所示），即当且仅当判别式0时成立，即a4(a2)0，2(13)a2(13)。

43212132232211242121242 （2）要使函数的值域为R，此时不必考虑定义域对a的影响，只需考虑存在x使(x)0均能取到，故二次函数(x)xaxa2必须与x轴相切或相交，如图②，此时判别式a4(a2)0，即a2(1223)或

a2(13)。

点评 这是两类典型的问题，问法不同，结论正好相反。仔细体会，注意区别。

例12 函数yln(xx21)的反函数是（ ）

腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

解析 本题主要考查反函数的概念，根据指数与对数之间的关系，将对数式转化成指数式，将x用y表示出来，即可求出反函数。由题意，得ex2yyyexexA.y2exexC.y2exexB.y2 xxeeD.y2x21，(eyx)2x21，e2y2xeyx2x21，

e2y1eyeye12xe,x.

2ey2exex1f(x).

2答案 C

点评 应理解反函数的定义，在根据解析式求出xf(y)时，不要忘了x、y的互换。

问题三 对数函数综合问题

例13 已知二次函数f(x)的二次项系数为负数，且对任意x恒有f(2x)f(2x)成立，解不等式：

115flog1(x2x)flog1(2x2x).

2822解析 本题是函数间综合问题。解本题的关键是去掉函数符号f。

解：对任意x恒有f(2x)f(2x)，二次函数f(x)的对称轴是x2。

又

1111x2xx,224451112x2x2x.842211log1x2xlog12.222422 51log12x2xlog11.8222又f(x)的二次项系数为负数，f(x)在(,2]上单调递增，

15log1x2xlog12x2x28221512x2xx22x0288414414x.

44414414,不等式的解集为.。 44x2x

例14 已知常数a(a0,a1)，变量x、y之间有关系：logax3logxalogxy3，若y有最小值8，求a的值。

解析 本题主要考查对数式的变形、运算及对数函数性质的应用。先根据x、y之间的关系式，用x将y表示出

腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

来，然后根据指数函数、二次函数的有关知识即可求得。

解：

logax3logxalogxy3,logax3logay3logaxlogax213(logax)2242

logay(logax)3logax3,ya(logax)23logax3a.3333当logax时，logax有最小值，无最大值。

2424要使y有最小值，则a1。

从而a是y的最小值，a8,a816.

点评 这类题目的解题关键是根据x、y之间的关系式，应用对数的定义即运算法则表示出y关于x的函数关系式。

例15 已知函数f(x)log2343443x1log2(x1)log2(px)(p1)。问：f(x)是否存在最值？若存在，试把x1它求出来。

解析 本题主要考查对数类型复合函数的最值问题，应先求出对数函数的定义域，再研究对数函数的单调性，根据不同情况的单调性研究最值。

解：由题意，可得

x1x10x101xp(p1) px0又函数可变化为

f(x)log2[(x1)(px)]log2[x(p1)xp](1xp)22 令g(x)x(p1)xp(1xp) g(x)的图像的对称轴为①当0p1p1p1，p1,0p.

2(1)22p11，即1p3时，g(x)在(1,p)上单调递减。 2f(x)log2[g(x)]在(1,p)上单调递减。 f(x)在(1,p)上既无最大值，又无最小值。

p1②当1p，即p3时，

22p1(p1)g(x)maxg42f(x)maxlog2(p1)2log2(p1)242

f(x)的最小值不存在。

腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

综上所述，当1p3时，f(x)的最大值与最小值都不存在；当p3时，f(x)的最大值是2log2(p1)2，最小值不存在。

3.4 幂函数

知识点一 幂函数的定义

一般地，形如yx的函数称为幂函数（其中x是自变量，为常数）。 注意：（1）幂函数的定义是形式定义，如y2x就不是幂函数。 （2）幂函数只研究是有理数的情况。

知识点二 幂函数的图像与性质 1. 5种常见幂函数的性质： 幂函数yx在第一象限内的特征：

定义域

值域

奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单调性

过定点

5yx

yx2 yx3

R R R

[0,) (,0)(0,) R

[0,)

 [0,)(,0]

R

[0,) (,0)(0,)  [0,) (,0)(0,)2(1,1)

yxyx12 1奇 （1）1图像过(0,0),(1,1)，下凸递增，如yx。 （2）01图像过(0,0),(1,1)，上凸递增，如yx。 （3）0图像过(1,1)，下凸递减，且以两坐标轴为渐近线，如yx,yx2.如按0,1,1,01,0，这5种类型分类，列表如下： 函数 11212。

0 yx0 yx 定义域 值域 1 yx R R 421 yx2 yx3 {x|x0} {y|y1} 4R [0,) 64R R 42图像

2O12O1O12O212 12 12 01 0

yx1

yx13

R R

yx [0,) [0,)

{x|x0} {y|y0}

yx (0,) (0,)

yx2

{x|x0} (0,)

腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

4442244222O1O1O1252 2 O125O1 2 结合以上特殊幂函数的图像得幂函数的性质：

（1）所有的幂函数在(0,)都有意义，并且图像都通过点(1,1)；

（2）如果0，则幂函数的图像过原点，并且在区间(0,)上为增函数；

（3）如果0，则幂函数图像在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴；

（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。

注意 幂函数的图像与性质类型较多，但不必死记硬背，主要掌握好几种具体的常见函数的图像与性质，以及分数指数幂的相关定义及性质，具体问题具体分析。

拓展点一 幂函数的定义域和值域

幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义。值域要在定义域范围内求解。

当取不同的有理数时，幂函数yx的定义域如下： （1）当N*时，定义域为R；

（2）当0时，定义域为{x|xR且x0}； （3）当为负整数时，定义域为{x|xR且x0}；

p(p、qN*,q1,且p、q互质时)， q①若q为偶数时，定义域为[0,)； ②若q为奇数时，定义域为R。 p（5）当(p、qN*,q1且p、q互质时)，

q①若q为偶数时，定义域为(0,)， ②若q为奇数时，定义域为{x|xR,且x0}。 （4）当

拓展点二 幂函数的奇偶性 令p（其中|p|、|q|互质，p、qN*） qpqpq若q为奇数，则yx的奇偶性取决于p是奇数还是偶数。即当p是奇数时，则yx是奇函数；当p是偶数时，则yx是偶函数。

若q为偶数，则p必是奇数，此时yx既不是奇函数，也不是偶函数。

拓展点三 指数大小对于幂函数图像的影响

对于幂函数yx（为常数）在第一象限的图像如图所示。

pqpq腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

1.81.61.41.210.80.60.40.2y=xα(α>1)y=xy=xα(0<α<1)y=xα(-1<α<0)y=x-1y=xα(α<-1)0.511.52 从图中观察我们得知，在x1的右侧，曲线从上到下按从大到小的顺序排列，而在x1的左侧，排列顺序恰恰相反，其实这种规律具有一般性，比如yx,yx,yx,yx，也具有这种排序规则。

注意 学习幂函数，掌握图像是关键，yx(0,1)在第一象限内的图像有3种形状，只要掌握了这3种形状，根据幂函数的奇偶性，就可以作出其在定义域内的图像，这时它的一切属性就变得直观、明了了。

问题一 幂函数的图像及性质

例1 函数y(mx4xm2)2143224 (x2mx1)的定义域是全体实数，求实数m的取值范围。

14解析 本题主要考查幂函数的定义域及不等式的恒成立问题。利用幂函数yx2的定义域为R求解。

m0解：函数的定义域为R。mx4xm20对一切实数都成立。即，解得244m(m2)0m51。

点评 幂函数的性质不必死记，可结合图像掌握。

例2 比较下列各组数中两个数的大小。 （1）232123与；（2）与；（3）与。

3453350.50.5113423解析 由题目可获取以下主要信息：题中给出的是3组幂值大小的比较。解答此题可借助幂函数的单调性或中间量进行比较。

解：（1）幂函数yx0.50.5在(0,)上是单调递增的，

0.52121又，。 53531（2）幂函数yx在(,0)上是单调递减的， 2323又，。

35352（3）函数y1为减函数，

3又

x113222，， 4333232334又函数y2x在(0,)上是增函数，且

323232，，。 434343腾飞教育网 www.tfedu.org

23232334腾飞教育网 www.tfedu.org

点评 本题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量。可以利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像进行判断。

例3 已知(0.7)(1.3)，求m的范围。 解析 解决本题可考虑构造函数。 解：根据幂函数yx，知00.7m1.3m1.31.3m0.7m1.31。由幂函数yx0.7，知1.30.71，0.71.31.30.7。

对于函数yx，(0.7)(1.3),m0.

点评 本题通过比较0.7与1.3的大小，然后结合幂函数的单调性再比较两个幂的大小。

例4 已知点(2,2)在幂函数f(x)的图像上，点2,在幂函数g(x)的图像上，问：当x为何值时有：（1）（2）f(x)g(x)；（3）f(x)g(x)？ f(x)g(x)；

解析 首先要理解幂函数是形式定义，yx，然后根据函数图像可以解决。

解：设f(x)x，点(2,2)在幂函数f(x)的图像上，将点(2,2)代入f(x)x中，得2(2)，解得

1.30.70.7m14a2，f(x)x2；

设g(x)x，点2,在幂函数g(x)的图像上，将点2,代入g(x)x中，得

b1414b1(2)b，解得4b2。

在同一坐标系下作出f(x)x与g(x)x的图像如图所示。 422f(x)321g(x)212由图像可知：（1）当x1或x1时，f(x)g(x)；

（2）当x1或x1时，f(x)g(x)；（3）当1x1，且x0时，f(x)g(x)。

点评 （1）幂函数的一般形式是yx（为常数），要求幂函数只要解出即可；（2）函数的图像在解方程和不等式时有着重要的作用；（3）本题注意g(x)x的定义域是{x|x0}。 2 (nZ)的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值，并画出例5 已知函数yx函数的图像。 解析 本题主要考查利用幂函数的性质，求其解析式和作幂函数的图像。

解：图像与y轴无公共点，n2n30，又图像关于y轴对称，则n2n3为偶数。 由n2n30，得1n3，又nZ。 n1,0,1,2,3.

当n1时，n2n30为偶数； 当n0时，n2n33不是偶数； 当n1时，n2n34为偶数； 当n2时，n2n33不是偶数； 当n3时，n2n30为偶数。 n1,1或3。

此时，幂函数解析式为yx或yx。图像如图所示。

腾飞教育网 www.tfedu.org

04n22n322222222腾飞教育网 www.tfedu.org

321 点评 幂函数图像要记清大致形状，性质要清晰。

例6 已知幂函数f(x)(tt1)x(tN)是偶函数，且在(0,)上为增函数，求函数解析式。 解析 本题主要考查幂函数的性质，关键由偶函数与在(0,)上为增函数确定t的值。 解：f(x)是幂函数，tt11 解得t1,0或1。

11122当t0时，(14tt),f(x)x2是非奇非偶函数，不满足条件；当t1时，f(x)x是偶函数，

222但在(0,)上为减函数，不满足条件；当t1时，f(x)x满足题意。

2231(14tt2)23f(x)的解析式为f(x)x2。

点评 与幂函数有关的参数问题，应注意利用幂函数的概念和性质解题。

例7 如图所示的曲线是幂函数yx在第一象限的图像，已知n取2、n1这4个值，则相对应于曲线2C1、C2、C3、C4的n值依次为_________________。

解析 由1、01的图像特征，易判断32C1C2C1:yx,C2:yx，下面判断C3、C4，取大于1的自变量

122,2412122121x02，

C32122,222，4212C44C3:yx,C4:yx2. 11C1、C2、C3、C4对应的值依次为2、、-、2。

2211答案 2、、-、2 22点评 如果掌握了指数对于幂函数图像位置的影响规律，很快即可判断出n1n2n3n4。

问题二 与幂函数有关的综合问题

例8 已知函数y152xx。（1）求定义域、值域；（2）判断奇偶性；（3）求单调区间。 解析 这是一道函数综合题，借助已知函数来研究函数的性质。

2解：令t152xx，则y4t。

42（1）由152xx0，得函数定义域为[5,3]。t16(x1)[0,16]，函数y的值域是[0,2]。 （2）函数的定义域为[5,3]，关于原点不对称，即原函数不具备奇偶性。

（3）函数t的定义域为[5,3]，对称轴x1。当x[5,1]时，t随x增大而增大，当x[1,3]时，t随x的增大而减小。

腾飞教育网 www.tfedu.org

22腾飞教育网 www.tfedu.org

又函数y4t在t[0,16]上时是增函数。

y4152xx2单调增区间是[5,1]，单调减区间是[1,3]。

点评 幂函数在本题中只是一个本原，很多数学问题研究的本原性问题往往是较为简单的问题，如本题实质上就是由几个知识点交汇而得的一个综合问题，只要能够各个击破，问题就会迎刃而解。

例9 讨论函数y(kk)x在x0时的增减值。

解析 本题主要考查幂函数的单调性问题，借助分类讨论思想和数形结合思想解决。 解：令k2k0，得k0或1，此时，y为常数函数。当k0且k1时，

①当k1或k0时，即kk0时，令k2k10，得12k12，即0k12，此时

222k22k1y在(0,)上为减函数；同理，当k1或k12时，k22k10，y在(0,)上为增函数。

②当1k0，即kk0时，令k2k10，得12k12，即1222k0。此时y在

(0,)上为增函数；当1k12时，k22k10，y在(0,)上为减函数。 综上，当k(,1)(12,0)(12,)时，函数y在x0时为增函数；当k(1,12)(0,12)时，函数y在x0时为减函数；当k0,1,12,12时，y是常数函数。

mx22mxm1(mR)，试比较f(5)与f()的大小。 例10 已知函数f(x)2x2x1解析 本题主要考查运用所学知识分析、解决综合性问题的能力，借助数形结合法解决。 解：

mx22mxm1m(x1)21f(x)x22x1(x1)2

1mm(x1)22(x1)f(x)的图像可由f(x)x2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位，再向上(m0)（或向下m0）平移m个（或m）单位而得。 显然图像关于x1对称，且在(1,)上单调递增，从而f()f(2)，而

25,f()f(2f)

例11 已知函数f(x)x2m2m3(mZ)为偶函数，且f(3)f(5)。

（1）求m的值，并确定f(x)的解析式；

（2）若g(x)loga(f(x)ax)(a0且a1)在[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围。

解析 本题主要考查运用幂函数、指数函数、对数函数、二次函数的知识解决综合性问题的能力，解决这类题目

的关键是熟练掌握幂、指、对数函数及二次函数的图像和性质。

解：（1）由f(3)f(5)，得3x2mm3252m23m3，52m2m331.

503指数函数y为减函数，2m2m30。

53解得1m.mZ,m0,1.

22m2m3x3为奇函数，不符。 当m0时，f(x)x当m1时，f(x)x2m2m3x2为偶函数。

腾飞教育网 www.tfedu.org

腾飞教育网 www.tfedu.org

m1,此时f(x)x2.

（2）由（1）知，当x[2,3]时，g(x)loga(xax)。不妨令u(x)xax.。

①当0a1时，ylogau在其定义域单调递减，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则u(x)xax要在[2,3]222a3上递减，且u(x)0。有2，方程组无解。

u(3)323a02②当a1时，ylogau在其定义域内单调递增，要使g(x)在[2,3]上单调递增，则u(x)xax要在[2,3]上a2递增，且u(x)0。有2，解得a2。

u(2)222a0实数a的取值范围为1a2。

点评 注意第（2）小题中分类讨论思想的运用及复合函数增减性的判断方法。

问题三 幂函数在实际中的应用

例12 在固定压力表（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比。

（1）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式；

（2）已知（1）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率。 解析 读懂题意，转化为数学问题解决。

解：（1）由题意，可设Rkr(k0)；当r3,R400时，k43R400，则得流量速率R的表达式为r481R4004r； 81400425000053086.4(cm3/s). 8181点评 本题是物理学科相联系的题目，其题目的思想并不难，由已知流量速率R与管道半径r的四次方成正比，

（2）当r5时，该气体的流量速率为R原比例参数是未知的，可以通过待定系数法来求出函数解析式，其他的问题就可迎刃而解。

腾飞教育网 www.tfedu.org