二项式展开

一、 定理及基本概念

n0n1n1rnrrnn1. (ab)CnaCnabCnabCnn(nN*)；

2. 项数：一共n1项；

rnrr3. 通项：Tr1Cnab；一定注意两点：

1) 涉及“第几项”的时候，一定严格按照通项公式； 2) 注意项数与系数r的关系。

4. 二项式系数与各项系数之间的联系与区别。

二、 性质

rnr1. 二项式系数的对称性：CnCn；

2. 二项式系数和：2；

3. 奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数之和=24. 二项式系数最大项：

n2nnn1；

1) 当n是偶数时，此时项数n1是奇数，中间项的二项式系数C最大； 2) 当n是奇数时，此时项数n1是偶数，中间两项的二项式系数C5. 系数最大项：注意系数最大与二项式系数最大的区别。

n12=nCn12最大。 n

基本题型解题思路及步骤

一、 利用通项公式求某项系数

1. 写出通项公式的时候注意： 1) 所有的系数写在最前面，包括符号； 2) 所有根式都写出分数次数形式； 3) 明白什么是有理项； 4) 注意r的取值范围。

2. 只有一个式子：写出通项公式，根据系数关系，确定满足条件的项。 3. 有两个式子相乘：

1) 分别用通项公式打开，组合后看满足条件的项；

2) 只打开一个，观察另一个的形式，判断满足条件的项；一定注意系数； 3) 有多个ri的，注意各自的取值范围和相互之间的关系。

二、 赋值求系数和

1. 常用的赋值是令x0,1,1，具体要通过所求的式子来判断赋值；

2. 所有系数之和：令x1；二项式系数之和：2；

3. 所有系数绝对值之和：令x1；变换原来式子里的符号，边为相加；再令x1； 4. 求导和积分的形式。

n三、 对二项式定理的理解：组合项、整除

1. 二项式定理的a,b理解：都表示一个整体；

2. 根据所求的问题，对前面的a,b进行重新组合。

例题讲解

一、 求某项的系数

1. 求(x19)展开式中第几项为常数项，并求常数项的值。 2xr9r2rrr93r解：直接用通项公式打开：Tr1C9(x)(x)C9(1)x；（注意系数都放一起）

常数项即x的次数为0，也即：93r0r3；所以常数项为第4项；

33且常数项为：C9(1)84

2. 在二项式(143n1x)的展开式中，第四项的系数为56，求的系数。 3xx解：第四项的系数为56：注意：项数与展开式中r的取值的关系。此时：r3。

3Cn=56，解得：n8；

再利用通项公式：Tr1C(x)r8138r(x)Cx34rr813r3212；

要求

113r321的系数，所以：r2；

122x故

12前的系数为：C828 x12x3. 求二项式(3x2)10展开式中常数项的值。

解： Tr1C(3x)r10210r5r111r40r10r2r2(x)C10(3)()x，所以r8； 22常数项的值为：C103()

82128405。（一定严格按步骤来，注意系数的符号） 25684. 求二项式(x23x)展开式中有理项的系数和。

解：什么是有理项x，当kZ时为有理项；

128r13r24r6k用通项公式打开：Tr1C(x)要满足有理项，即：

r8(2x)C(2)xr8r；

24rZ且0r8,rZ，所以：r0或r6 60066当r0时，C8(2)1；当r6时，C8(2)1792；

故：有理项的系数和为1793。

5. 求多项式(x16)(x1)10展开后常数项。 x解：因为这里有两个式子，可以用两个展开式，所取的r1,r2的取值范围；

16r16r1r2(x2)10r2(1)r2 )展开：C6(x)(x2)r1；(x1)10展开：C10 (xx1116r2(1)r2x)(x1)10展开后：C6r1C10所以：(xx22r23r12（0r16,0r210）

所以：22r23r10，所以：r14,r210或r15,r27或r16,r24； 当r14,r210时，C6C10(1)4101015；

577当r15,r27时，C6C10(1)720；

644当r16,r24时，C6C10(1)210；

所以常数项为：15210720495。

26. 求展开式(13x)(12x)中，x的系数。

43解：(13x)展开：C41(3x)1；(12x)展开：C32(2x)2； 所以：(13x)(12x)展开：C41C3231(2)2x143rrrrrr24rr3rr，其中：0r14,0r23；

r10r11r12所以：或或；

r2r1r0222020211112020故系数为：C4C33(2)C4C33(2)C4C33(2)6

7. 已知(1xx)(x解： (x21n)（2n8）的展开式中没有常数项，则n的值为。 3x1nr1r1n4r1(x)nr1(x3)r1Cnx； )展开：Cn3x由题意可知，展开式中没有常数项。则n4r10,n4r11,n4r12， 所以：n4r1,n4r11,n4r12，所以：n5。

8. 求(x37161)(2x)中，x的系数。 3xx9529. 求(x3x1)(x2)的展开式中，x前的系数为

2310. 求(x1)(x1)(x1)(x1)(x1)的展开中x的系数。

2378

二、 系数最值

1. 在(ab)的展开式中，二项式系数最大的项是第几项。

解：展开式式中一共有：2n1项。所以中间项为：第n1项。一定要时刻注意项数与次数的关系。

2. 在(x)的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 解：只有第4项二项式系数最大，所以一共有7项，所以：n6。 通项公式：Tr1C6(x)r26r22n1xn14r123r，常数项r4，所以：C615。 ()rC6xx3. 已知(2x)，若展开式中第5，第6与第7项二项式系数为等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少 解：通项公式为：Tr1Cn()r12n12nrr2rnr(2x)rCn2x；

546二项式系数为等差数列，所以：2CnCnCn，解得n7或n14；

当n7时，二项式系数最大是第4项和第5项，故：T4C723673541，T5C7270； 27当n14，二项式系数最大是第8项，故：T8C143432。

注意题目的问题：是二项式系数最大项的系数！ 4. 求(12x)的展开式中系数最大的项

rrrrrrr解：通项公式为：Tr1C7(2x)C72x，各项系数的通项为：C72

7rrr1r1C72C72则：rr解得：r5； r1r1C72C725555所以系数最大项为第6项；T6C72x672x。

5. 求(32x)的展开式中系数最小的项是第几项

6三、 赋值

1. 若(x13x2)n的展开式中偶数项系数和为256，求n的值。

解：令x1，得所有项的系数和(11)0；

n故22256512n9。

注意“各项系数和”与“二项系数和”的联系与区别； 注意“减号”与“加号”的联系与区别。

n2. 若(311n)的展开式中所有奇数项的系数和为1024，求它的中间项。

25xx解：由题可知所有奇数项的系数和即为所有奇数项的二项式系数和为1024；

所以：221024n11，所以中间项第6,7项；

6115n所以：T6462x，T7462x4。

20063. 在(x2)的二项式展开中，记含x的奇次幂的项之和为S，当x2时，求S

解：令x2，则(x2)2006(22)20060；令x的偶次幂的项之和为T；

200623009； 令x2，则(22)TS0则：TS0S23008。 3009TS2题目如果改为：x3时，S的值呢

还是要注意：奇次幂和偶次幂，对于x取相反数的时候的影响。

4. 若二项式(3x)中所有项的系数和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则

最小值为（B ）

解：所有项的系数和即令x1，所以a2；

所有项绝对值的和就是要把系数是负的变成正的，令x1，所以：b4； 所以：

nnnab的baab15n2n。注意nN*。 ba223xn5. 若(x)展开式中各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项系数为 解：由上一题可知，尝试令x1，发现不可行，原式没有意义； 发现(x)与(x)展开式中各项系数的绝对值相等；

故(x)的绝对值之和等价于(x)的各项系数和；

3xnn3xn3x3xn 所以：令x1，41024n5； (x)展开的通项公式：

125r53r1rrr(3)C5(3)x2；

xn3xnTr1C(x)r511 故x的一次项系数为：C5(3)15。

上述两个例题就是求各项系数绝对值之和的两个思想。 6. (1x5y)的展开式中不含x的项的系数和为

5解：不含x的项，可令x0；则题目等价于(15y)的各项系数和；

令y1，则(15y)(4)1024。 要消除x，可以令x0。

5914137. 设多项式展开：(1x)(32x)a0(x1)a1(x1)a13(x1)a14，则

555a0a1a13（ D）

A. 3 B. 23 C. 2 D. 32

9解：观察右边的形式：可令x0，则a0a1a13a143；

959595此时，离目标多了一个a14； 再令x1，则a142；

95所以：a0a1a1332。

58. 若(12x)2009a0a1xa2009x2009，则

aa1a2的值为 220092009222解：观察所求的形式：令x再令x0，则a01； 所以：

a20091aa，则a0120； 222222009aa1a2220091。 22220099. 已知x20144是函数f(x)asinxcosx图象的一条对称轴，(1ax)2014aixi，

i02014则

a的为

ii1解：由题意可知：f(0)f()1a；

2令x0，则a01；

令x1，则a0a1a20140； 所以：a1a20141。 10. 若(2x1)2013a0a1xa2013x2013，则a1a3a2013的值。

解：发现要求的是x的奇数次幂的系数和； 令x1，则a0a1a20131；

2013令x1，则a0a1a2a3a2012a20133；

所以：a1a3a2013132013。

22211. 设(2x2)4a0a1xa4x4，求(a0a2a4)(a1a3)的值。

22解：(a0a2a4)(a1a3)(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)；

即：(a0a2a4)2(a1a3)2(22)4(22)416

12. 若(2x1)2013a20131aa0a1xa2013x2013，则222013的值。

22a12a1解：发现所求的式子分母中都有a1，所以：

a2013a20131a1aa222013(12) 22a12a1a122222013令xa20131aa0； ，则：a012220132222令x0，则a01； 所以：

aa1a2220131； 20132222012又a1C201324026；

所以：

a2013a20131a1aa1222013(12)。 22a12a1a1222220134026

82813. 已知(12x)a0a1xa2xa8x，则a12a28a8（ D）

A. 8 B. 8 C. 16 D. 16

解：发现求的形式，用常规的思想不好解，令x1不行；令x1也不行； 再观察发现ai前面的系数，正好是对应的x的次数； 所以两边都时求导，即：

[(12x)8]'(a0a1xa2x2a8x8)'16(12x)7a12a2x8a8x7

此时，令x1，则：

16a12a28a8。

201414. 若(2x1)2014a0a1xa2014x2014，则求

i1a的值。

ii01解：由上一题的解法，发现每个要求的ai前的系数正好是对应x的次数加1； 联想到可求积分，即：

2014(2x1)1(2x1)2015C1； 4030aa12x2014x2014C2； 220152014(aaxax)a0x012014则：

a1a(2x1)2015C1a0x1x22014x2014C2； 403022015a1aa012014C2C1； 403022015令x1，则

令x0，则所以：a0

1C2C1； 4030aa121。 20142201540302015四、 组合、整除

1. 已知(1x)10a0a1(1x)a10(1x)10，则a8（ ）

A. 5 B. 5 C. 90 D. 180

解：二项式展开(ab)中的a,b仅仅是字母的表示，可以代表一个整体； 观察右边的形式，可以发现(1x)应该是a,b中的一个；

n(1x)10(1x)10[2(1x)]10；

82所以a8C10(2)180。

也可根据次数，直接定位出a8的值。

210102. 已知xxa0a1(x1)a10(x1)，则a9的值。

解：由题意发现，a9的值与x无关； 且(1x)应该是a,b中的一个；

2所以：x10[(1x)1]10；

1所以a9C1010。

553. 将f(x)(x1)表示为f(x)a0a1(x1)a5(x1)，则a3a4=

解：由题意可知：x1应该是a,b中的一个；

所以：(x1)[(x1)2]；

21所以：a3a44C52C530。

55

4. (x213展开式中的常数项为（C ） 2)2xA. 8 B. 12 C. 20 D. 20

解法一：由展开式的原理可知：要出现常数项，要么都是常数，要么x的次数和为0；

311所以：(2)C3C2(2)20。

解法二：把三项中的两项看成一个整体，再利用二项式展开定理进行展开；

(x211322)[(x)2]3， 22xxr3r1所以通项为：C31(2)又(x2(x21r1)； 2x1r1)展开的通项为：Crr12x2r14r2 2x2所以：(x1r1r23r12r14r23的展开式为：（0r13,0r2r1） 2)CC(2)x3r12xr20r21所以常数项可能的情况为：或；

r0r211321故常数项为：(2)C3C2(2)20；

解法三：(x211231632)[(x)](x)； 2xxxrr62r故展开式的通项为：C6(1)x；

所以常数项为r3；

3C6(1)320。

4325. (abc)的展开式中，abc项的系数为

9解：由上题解法一思想：在9个括号中，分别去取项；

43432则abc的系数为：C9C51260。

12n1n6. 求Cn6Cn6Cn的值。（用含有n的式子来表示）

解：观察形势，发现与二项式展开的形式比较接近，但是6的次数不匹配； 所以Cn6Cn612n110n12nCn(Cn6Cn62Cn6nCn1)；

6则可发现6肯定是a,b中的一个；

107n1122nn所以：(Cn6Cn6Cn6Cn1)；

667n1也即：C6C6C。

61n2nn1nn7. 证明：32n28n9能被64整除。

解：要证明能被64整数，希望原来的式子化简完后每个因式都能被64整除； 结合二项式展开定理的形式，希望a,b中的一个为64或64的某个因子；

32n29n19(9)n9(18)n；

n12232nn22则(18)1Cn8Cn8Cn88Cn88；

所以：32n21223nn2289Cn89Cn8829Cn88； 9(18)n99Cn所以：32n2223nn2289Cn8829Cn88； 8n964n9Cn所以3

2n28n9能被64整除。

课后练习

1. 求(x21921)展开式中x9的系数。 2x216)的展开式中第几项为常数项，并求出常数项的值。第四项，20 2x2. 求二项式(2x23. 若(x)的展开式中，第5项为常数项，求n的值。6

51xn4. (3x1)展开式中各项系数绝对值之和。

35. 求(2x)(2x)(2x)展开式中x的系数。

286. 在(x31n)展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 4x2n)展开式中常数项是（ C） x7. 已知函数f(x)x2f'(2)x，nf'(2)，则(x3A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项

523458. 若(2x3)a0a1xa2xa3xa4xa5x，则a12a23a34a45a510

9. 已知(1x)10a0a1(1x)a10(1x)10，求a8180

4n110. 求C3C3C。

31n2nn1nn11. 求(x3x2)的展开式中x的一次项系数。

2512. 求(x12)4的常数项。 x13. 设二项式(3x则n的值为

321n)的展开式中各项系数和为p，二项式系数和s，若ps512，4x1234n1nn114. 求证：12CnCn2CnCn2CnCn32。

15. 求71被8除的余数。 16. 求(8x212)5的展开式中的常数项为 x12nn117. 求证：Cn2CnnCnn2

18. 求证：Cn0111211nCnCnCn(2n11) 23n1n1