数学论文_浅谈数列求和的若干方法

目录

摘要 .......................................................................... 错误！未定义书签。 ABSTRACT ................................................................................................ 1 1．引言 ....................................................................................................... 2 2．公式法 ................................................................................................... 2 3．错项相消法 ........................................................................................... 3 4．倒序相加法 ........................................................................................... 4 5．通项分析法 ........................................................................................... 5 6．待定归纳法 ........................................................................................... 6 7．裂项法 ................................................................................................... 7 8. 逐差法 .................................................................................................... 8 9. 组合数法 ................................................................................................ 9 10．导数求和法....................................................................................... 10 11．数学归纳法 ....................................................................................... 11 12．递推数列求和法 .............................................................................. 12 13．无穷递缩等比数列求和法 .............................................................. 12 小结 ........................................................................................................... 14 参考文献 ................................................................................................... 14 致谢 ........................................................................................................... 15

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摘要:初学者对这部分的内容有畏难情绪，以至没有学好此内容.关于数列求和前

人也作过不少文章，但随着数学的发展，数列求和出现了新题型，数列求和的若干方法不但解决了数列的一般求和也很好的处理了递推问题.要解决一类问题，数列求和是从它们的本质特点出发，去寻找最一般的方法，从而得出的结论比较具有针对性，可以普遍推广.本章的内容规律性比较强，只要抓住它们的不同特点，相应的归类就比较容易地解答.根据数列的不同特点，给出了数列通项与求和的一般形式，很好地解决了数列求和的若干问题，为学好本章起到很大的帮助作用.

关键词：数列；前n项和；通项公式；递推求和

ABSTRACT

Series summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of the series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the general promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to learn to play a great help in this chapter .

Key words : series ； pre-n and ; formula ; recursive summation

1

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1．引言

数列是高中代数的重要内容，是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列外，大部分求和都需要技巧，下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

2．公式法

对于以下数列可利用公式直接求和.

（1）等差数列： Sn(a1an)n(n1)n2na12d （其中：首项，：an末项，d：公差，n：项数，下同）

a11qn（2）等比数列：Sn,q1 1qSnna1,q1n (3) 自然数的和in(n1)i12 n（4）自然数的平方和i21i6n(n1)(2n1) 1n（5）自然数的立方和i31i14n2(n1)2 例1 求和S2n12232n2

分析：由(k1)3k33k23k1得 k13k33k23k1，令k=1、2、3、n得

2313312311 3323322321

2

Sn：前n项和，a1：

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4333332331

……

n13n33n23n1

3把以上各式两边相加得：n11331222 3Snn1133n2312nn

nn1n 21因此，Snnn12n1

6例2 求和：sincossin3cossin5cossin2n1cos 解：设所求之和为Sn，则

Sncos(sinsin3sin5sin2n1)，这是公比为sin2的等比数列前n项之和.

（1）、若qsin21,即n2,n,则有

sin(1sin2n)Sncostg(1sin2), 21sin（2）、若qsin21,即n

2,n,则有Sn0

3．错项相消法

如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积形成，那么此数列可采用错项相减消法.

132n32n1例3 求和Sn2n1n

22221 解：由原式乘以公比得：

21132n32n1Sn23nn1 22222 原式与上式相减，得

3

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1111  SnSn222222n3  Sn3n

2

12n1 2n12n1 例4 设a0求数列a、2a2、3a3…nan…的前n项和

分析：这个数列的每一项都含有a，而a=1或不等于1，对数列求和方法上有本质的不同，所以解题时需要进行讨论.

n(n1)解：若a1，Sn123n

2若a1，Sna2a23a3nan，

此时，该数列可以看成等差数列1、2、3…n与等比数列a、a2、a3…an的积构成的数列，且公比qa，在上述等号两边同时乘a，有

aSna22a33a3nan1

两式相减得

(1a)Saa2a3annan1

a(1an)nan1 所以，(1a)Sn1aa(1an)nan1nan2(n1)an1a从而得Sn 1a(1a)2(1a)2

4．倒序相加法

如果一个数列与首末两项等距的 两项之和等于两项之和，可采用正着写与倒着

写的两个和式相加，就得到一个常数列的和. 例5 已知an为等差数列，求a1a2a3解：令Sna1a2a3an

an

将上式中各项的次序反过来就得到：

Snanan1an2a1

上两式相加的

2Sna1ana2an1 4

ana1

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由等差数列性质得：a1ana2an1所以得2Snna1an 所以Snna1an 2ana1

12n6Cn3nCn例6 求和：3Cn.

0123n3Cn6Cn9Cn3nCn. 解：令Sn0Cn将上式中各项的次序反过来，得：

nn1n210Sn3nCn3(n1)Cn3(n2)Cn3Cn0Cn. knkCn上述2式左右两边分别相加，并利用Cn，得 012n1n2Sn3n(CnCnCnCnCn)3n2n.

所以Sn3n2n1

5．通项分析法

对数列的通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和.

aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，例7 求数列1，…的前n项和Sn，（a0）

解：当a=1时，akk. 则Sn1n(n1) 2当a1时，ak0 ，（k为偶数）和ak1，（k为奇数）

11(1)nn] 可见Sn[22ak1a2k1当|a|1时，ak ，

1a所以Sn=

1[(1a)(aa3)(a2a5)(an1a2n1)] 1a1[(1aa2an1)(aa3a5a2n1)] 1a 5

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11ana(1a2n)1nn1=[[(1a)(1a)] 221a1a1a(1a)(1a)

6．待定归纳法

解决与自然数有关的某一问题，首先应对结论的代数形式做一个正确推测，并将结论用待定系数设出来，随之令其满足数学归纳法的各个步骤，从中得到得到待定系数的方程，求出待定系数，即可使问题得解. 例8 求数列212，432，652，

2，2n2n1的前n项和Sn

2因为数列an2n2n18n38n22n它是关于n的多项式，与之类似的数列求和问题我们熟悉的有

⑴ 135n21n2

nnn3⑵ 1223⑶ 13233311nn31n 212n2n1 4以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于n的多项式，对其

次数进行比较便可得到这样的结论：若数列an的通项公式是关于n的多项式，则其前n项和是比通项公式高一次的多项式，对本题而言，因为通项公式

2an2n2n18n38n22n

是关于n的三次多项式，所以我们猜想该数列的前n项和Sn是关于n的四次多项式，故可设SnAn4Bn3Cn2DnE 即n1，nk，nk1时上式均成立，有

S1ABCDE2 SkAk4Bk3Ck2DkE

Sk1Ak1Bk1Ck1Dk1E 即

432Sk1Ak44ABk36A3BCk24A3B2CDkABCDE 6

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又因为Sk1Skak1

所以Sk1Ak4B8k3C16k2D10kE2 比较上两式同类项系数可得 AA4ABB8 6A3BCC164A3B2CDD10ABCDEE214 解方程得 A2,B,C1,D,E0

3341故Sn2n4n3n2n

337．裂项法

顾名思义，裂项法就是把数列的项拆成几项，然后相加时各项相消，达到求和目

的的一种方法.通项分解如：

⑴ anfn 1fn ⑵ an111

nn1nn12 ⑶

2n1an12n12n1211 n21n21 ⑷ an1111

nn1n2n1n1n22n224262(2n)2,,,,例9 求数列的前n项和Sn 133557(2n1)(2n1)分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积，用分子凑分

母的方法，化简分式，然后再拆项，有

(2n)2(2n)211111111().(2n1)(2n1)(2n1)2n1)(2n1)(2n1)22n12n1解：

2242(2n)2111111111Sn[1()][1()][1()]n1335(2n1)(2n1)21323522n12n1 7

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+ 112n(n1) (1)22n12n1例10 求和Sn333333333 n个解：Sn333333333 n个39）=（99999999 9n个3（[101）（1021）（1031）（10n1)] 9310n=[1010210310nn](10n1) 9273=

8逐差法

针对一类高阶等差数列求和的问题.某些数列的构成规律不十分明显.我们可以逐次求出它的各阶差数列，如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列，那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式，然后再求出其前n项和Sn.

例11 求数列5,6,9,16,31,62考虑数列的各差数列： 原数列：5,6,9,16,31,62一阶差数列：1,3,7,15,31二阶差数列：2,4,8,16

的前n项和Sn

由于二阶差数列是等比数列，可用逐差法求数列的通项，然后再求出其前n项和

Sn.

解：设原数列为an，一阶差数列为bn，二阶差数列为cn 那么b2b1c1 b3b2c 2 b4b3c 3

8

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bnbn1cn1

以上n1个式子相加，有bnb1c1c2c3cn1

n12

24816 n1212122n2

因为b11，所以bn2n212n1 又 a2a1b1 a3a2b 2 a4a3b3

anan1bn1

所以 ana1b1b2b3bn1bm2m12nn1

m1m1n1n1n2n 4 an2nn15数列an的前n项和为

Sn2m42m4n

mmm1m1m1nnn n21212nn14n 2 2n1

nn72 29．组合数法

mm1m 原数列各项可写成组合数的形式，然后再利用公式CnCnCm1求解.

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例12 求1，12，123，，123n

12由123nnn1Cn1知可以利用“组合数法”求和

2 解 Sn112123123n  136nn1 22nC 12nC 122C32C4 C232C32C4 C3 

3 Cn2

1 nn1n2

6

10．导数求和法

通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式(xn)/nxn1 ，可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的结构特征. 例13 求和：Sn12x3x2nxn1(x0) 解：当x=1时， Sn=1+2+3+…+n

n(1n) =

2当x1时，

xxn1xxxx,

1x23n两边都是关于x的函数，求导得

xxn1/), （xxxx)(1x23n/即 Sn12x3xnx

2n11(n1)xnnxn1. 2(1x) 10

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11．数学归纳法

有些题目通过求出的an的前n项之和，猜想出Sn，然后用数学归纳法证明. 例14 设数列bn的前n项之和为Sn，满足3Snnbn12bn(n*),求Sn. 解：因为S1b1,由，3Snnbn12bn，得 3（S1S1)12S1 所以 S11 4而b2S2S1

所以 3S22S2S112(S2S1) 得 S22 73 10同理 求 得S3推测Snn(n*). 3n1下面用数学归纳法加以证明 （1）、当n=1时，结论显然成立

（2）、假设nk时结论成立，即Sk由题设有

3[Sk1(k1)bn1]12bk1知

k 3k1bk113Sk13k1

又因为Sk1Skbk1

所以 Sk113Sk1k有 3k13k1Sk1k1

3(k1)1则nk时结论亦成立.

由（1）（2）知，对于n*,Snn总成立. 3n1 11

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12．递推数列求和法

递推数列求和是较难的一类，针对这类题，一般先要研究通项公式，而求通项公式又往往是难点，通项求出就可以从本质上去求和，下面介绍地推数列通项的方法.

例15 已知数列an中a11,a22,an13an2an1,求Sn 解：要求Sn，首先寻找an

因an13an2an10 故an1an2(anan1)

所以an1an是以2为公比，a2a1为首项的等比数列. 所以an1an2n1

所以an(aan1)(an1an2)(a2a1)a1 =2n22n3212012n1 所以Sn12222n12n1.

13．极限求和

当数列为无穷数列，这就是我们高等数学要学的一个重要组成部分——级数，那它的和怎么求啦？有些我们可以直接运用公式，有些我们还是可以裂项，然后再求极限.

1111例16 求数列1,,,,,n,的前n项和

24821解：由题设可知此数列为递缩等比数列，公比q1，故前n项和

2111n2Sn21 2112n故 limSn2

n 12

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例17 求数列

111,,,132435,1nn2

解：因为

1111

nn22nn211 nn2所以S1111123241111 =1

22n1n2所以SlimSnlimn111131 n22n1n24

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结束语

数列求和问题虽然很难，但我总可以通过找出共同的特点和规律或进行恒等变换得到解决的途径.以上几种方法是求数列较适用的方法，是从根本上去认识数列求和.类型较全，公式简单易懂，对学好数列的求和有很大的帮助.

参考文献

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[2] 泸海运、付延卫、田春林等.创新方案[M].北京：中国青年出版社； [3] 叶锋，浅谈数列的求和[J].成都教育出版社2006.6；

； [4] 广冬雁、李居强、刘利琴，数列求和十法[J].数理化学习（高中版）

[5] 李增旺、宋胜利.名师一号[M].北京：人民日报出版社；

[6] 刘玉琏、 数学分析讲义（下册）[M]，北京：高考教育出版社，2003； [7] 陈传璋，数学分析讲义下册[J],北京：高考教育出版社，2004.

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致谢

经过几个月的奋斗，我的学年论文终于完成了，在此我要感谢我的指导老师曾德强老师，没有他就没有我这篇论文的一些思想，没有他我很多地方的数学思维是不可能有的，他使我的数学水平提过了一个档次，明白了如何写数学论文，如何查找文献等等，也感谢他在每周星期六上午对我们的辅导，在这些时间里我学会了很多利用数学建模的思想去解决实际问题，如何把实际中的问题与数学联系起来，使我数学有了长足的进步，他也对我大四写毕业论文做了很多指导，使我对以后有了信心，我也可以写出好的论文.

另外，在论文资料的收集上，我要谢谢我们学校的图书馆，在上面我找到了很多有用资料，对我论文的书写有了很大的帮助.但由于初次尝试写论文，有很多地方想的并不是很周到，如有不足之处，希望大家批评指正.

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