◆教学目标 【知识与能力目标】
会求解方程的存在性问题，会解简单的分式不等式和简单的高次不等式． 【过程与方法目标】
培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力． 【情感态度价值观目标】
激发学习数学的热情，培养勇于探索、创新的精神，同时体会从不同侧面观察同一立场的思想．
◆教学重难点 【教学重点】
熟练掌握一元二次不等式的解法，初步掌握分式不等式及简单高次不等式的解法． 【教学难点】
分式不等式及简单高次不等式的解法的理解．
◆教学过程
解分式不等式的关键是转化，根据实数运算的符号法则，分式不等式的同解变形有如下几种： (1) (2) (3) (4)
f（x）
>0⇔f(x)g(x)>0； g（x）
f（x）
<0⇔f(x)g(x)<0； g（x）
f（x）
≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0； g（x）
f（x）
≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0. g（x）
一元高次不等式f(x)>0用穿针引线法(或数轴穿根法，或根轴法，或区间法)求解，其步骤是：
①将f(x)最高次项的系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或一次因式与二次不可分解的因式的积；
③将每一个使一次因式等于0的根标在数轴上，从最大根的右上方依次穿过每一点画曲线
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(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)； ④根据曲线显现的f(x)的值的符号，写出不等式的解集． 【问题导思】
x＋2x＋2
不等式>0①，≥0②.
x－3x－3不等式①与(x＋2)(x－3)>0同解吗？ 不等式②与(x＋2)(x－3)≥0同解吗？
f（x）
1.＞0与f(x)·g(x)＞0同解． g（x）f（x）2.＜0与f(x)·g(x)＜0同解． g（x）
f（x）3.≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解． g（x）f（x）4.≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解． g（x）
高次不等式的解法: 【问题导思】
对于函数f(x)＝x(x－1)(x－2)有几个零点？分别是什么？若x分别属于下列区间，f(x)的符号怎样？
①(－∞，0)；②(0，1)；③(1，2)；④(2，＋∞)． 【提示】 三个，0，1，2.
①f(x)<0 ②f(x)>0 ③f(x)<0 ④f(x)>0
如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法． 分式不等式的解法:
2x＋1x＋1 解不等式：(1)<0；(2)≤1.
1－x2x－3【思路探究】
2x＋1
(1)<0等价于哪个整式不等式？
1－xx＋1(2)≤1应如何变形？ 2x－3
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1x＋22x＋1
【自主解答】 (1)由<0，得>0，
1－xx－11
此不等式等价于(x＋)(x－1)>0，
21
解得x<－或x>1，
2
1
∴原不等式的解集为{x|x<－，或x>1}．
2x＋1(2)∵≤1，
2x－3x＋1∴－1≤0. 2x－3
－x＋4x－4∴≤0.即≥0. 2x－33
x－2
3
此不等式等价于(x－4)(x－)≥0，
233
且x－≠0，解得x<或x≥4，
223
∴原不等式的解集为{x|x<，或x≥4}．
2
x＋1
1．本例(2)易出现把 ≤1直接变形为x＋1≤2x－3这样的错误．
2x－3
2．解分式不等式一般先移项，使不等式的一端为零，再利用不等式的性质将其转化整式不等式(组)来解．
简单高次不等式的解法： 3x2
解不等式－x>0.
2x－1
【思路探究】 先把不等式通分化简，再用穿针引线法求解． 3x2－x（2x－1）
【自主解答】 原不等式可改写为＞0.
2x－1x（x＋1）即＞0，
2x－1
此不等式可转化成x(x＋1)(2x－1)＞0，
函数f(x)＝x(x＋1)(2x－1)的函数值的符号如图所示． 1
由图可知，不等式x(x＋1)(2x－1)＞0，即原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或x＞}．
2
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高次不等式的解法：
化成标准型p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0(或<0)．再利用穿针引线法写出解集，穿根的步骤：
(1)分解因式；(2)确定零点；(3)在数轴上按照从小到大的顺序标根；(4)当最高次项的系数为正时，右起为正(其中奇过偶不过)进行穿根．
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解不等式x－<2.
x
【解】 先化简不等式得x(x2－2x－8)<0， 分解因式得x(x＋2)(x－4)<0.
如图所示，由穿针引线法可知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，4)．
一元二次不等式的实际应用:
解不等式应用题，一般可按以下四步进行：
(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．
等价转化思想在解分式不等式中的应用: x＋1
(12分)解不等式≤3.
x
【思路点拨】 先通分再转化整式不等式． x＋1
【规范解答】 原不等式可化为－3≤0，
x1－2x2x－1即≤0，∴≥0，
xx
x（2x－1）≥0，∴ x≠0，
1
解得x≥或x<0.
2
1
故原不等式的解集为{x|x≥或x<0}.
2
解分式不等式就是把分式不等式转化为整式不等式求解．要注意转化时看一下是否等价．这
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体现了等价转化思想． 总结：
1．解分式不等式和高次不等式一般的方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积或商，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大排在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要穿而不过，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论． 2．应用一元二次不等式解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，解不等式时，要注意变量的实际意义．
◆教学反思 略
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