七年级数学（ 七年级数学（下）重要知识点总结 数学
第一章：整式的运算
一、单项式:都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。
二、多项式:几个单项式的和叫做多项式。
三、整式:单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减：整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类 项法则，以及乘法分配率。
五、同底数幂的乘法：同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变， 指数相加。即：a ·a =a 。
六、幂的乘方：幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ） 七、积的乘方：1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中 的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab） =a b 。3、此法则也可以逆用，即：a b =（ab） 。 。
八、同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a ÷a =a （a≠0）
十、零指数幂：零指数幂的意义：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即：a =1（a≠0） 。
十一、负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的 p 次幂的倒数，即： 0 m n m-n n n n n n n m n m+n m n mn a? p = 1 ap (a ≠ 0)
（一）单项式与单项式相乘：单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别 相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
（二）单项式与多项式相乘：单项式与多项式乘法法则： 单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即： m(a+b+c)=ma+mb+mc。
（三）多项式与多项式相乘：多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。
十三、平方差公式： （a+b）(a-b)=a -b ，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。
十四、完全平方公式 ( a + b) 2 2 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a ? b) 2 = a 2 ? 2ab + b 2 , 即：两数和（或差）的平方，等于它 们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。掌握理解完全平方公式的变形公式： a 2 + b 2 = ( a + b) 2 ? 2ab = ( a ? b) 2 + 2ab = 1 [( a + b) 2 + ( a ? b) 2 ] 2 (a + b) 2 = (a ? b) 2 + 4ab 完全平方公式可以逆用，即： a 2 ab = 1 [( a + b) 2 ? ( a ? b) 2 ] 4 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , a 2 ? 2ab + b 2 = (a ? b) 2 .
十五、整式的除法
（一）单项式除以单项式的法则:单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系 数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的 一个因式。 （二）多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项 式 的 每 一 项 分 别 除 以 单 项 式 ， 再 把 所 得 的 商 相 加 。 用 字 母 表 示 为 ： ( a + b + c ) ÷ m = a ÷ m + b ÷ m + c ÷ m.
第二章 平行线与相交线
一、余角与补角 1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。 2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。 3、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
二、对顶角 1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反 向延长线，这两个角叫做对顶角。3、对顶角的性质：对顶角相等。
三、同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截，形成了 8 个角。 2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。 3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。 4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
四、平行线的判定方法 1、同位角相等，两直线平行。2、内错角相等，两直线平行。3、同旁内角互补， 两直线平行。4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，
那么这两条直线平行。5、在同一平 面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
平行线的性质 1、两直线平行，同位角 相等。2、两直线平行，内错角相等。3、两直线平行，同旁内角互补。尺规作线段和角 1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。 2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
第三章 生活中的数据
一、单位换算 1、长度单位： （1）百万分之一米又称微米，即 1 微米=10 米。 （2）10 亿分之一米又称纳米， 即 1 纳米=10 米。 （3）1 微米=10 纳米。 （4）1 米=10 分米=100 厘米=10 毫米=10 微米=10 纳米。2、面积单位（1）10 千米 =1 米 =10 分米 =10 厘米 =10 毫米 =10微米 =10 纳米 。3、质量单位（1）1 吨=10 千克=10 克。 二、科学计数法表示绝对值小于 1 的较小数据 1、用科学计数法表示绝对值小于 1 的较小数据时，也可以表示为 a×10 的形式，其中 1≤〡a〡<10,n 为负 整数，n 等于这个数的第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前面的一个零）的相反数。
三、近似数与精确数 1、精确数是指一个物体或描述一事件的真实数值。2、近似数是指用测量或统计的方 法、四舍五入、估计等得到数。
四、有效数字 1、对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，到 精确到的数位为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。 2、对于科学计数法型的近似数，由 a×10（ 1≤〡a〡<10）中的 a 来确定，a 的有效数字就是这个近似数 的有效数字。与×10 无关。
五、近似数的精确度 1、近似数的精确度是近似数精确的程度。2、近似数四舍五入
到哪一位，就说这个近 似数精确到哪一位。3、精确度是由该近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定的。 六、统计图（表）1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。2、折线统计图：能清楚地反映 事物的变化情况。3、扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。4、象形统计图：能直 观地反映数据之间的意义。
第四章 概率
一、事件:1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的 事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是 100%（或 1） 。3、不可能事件：事 先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。4、不 确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性 在 0 和 1 之间。
二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一 个比例数，一般用 P 来表示，P（A）=事件 A 可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。 2、必然事件发生的概率为 1，记作 P（必然事件）=1；3、不可能事件发生的概率为 0，记作 P（不可能事 件）=0；4、不确定事件发生的概率在 0∽1 之间，记作 0 四、几何概率 1、事件 A 发生的概率等于此事件 A 发生的可能结果所组成的面积（用 SA 表示）除以所有可能结果组成图形的面积（用 S 全表示） ，所以几何概率公式可表示为 P（A）=SA/S 全，这是 因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。 2、求几何概率： （1）首先分析事件所占的面积与总面积的关系； （2）然后计算出各部分的面积； （3）最后代入公式求出几何概率。 第五章 三角形 一、1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。 2、顶点是 A、B、C 的三角形，记作“ΔABC” ，读作“三角形 ABC” 。3、组成三角形的三条线段叫做三角形 的边，即边 AB、BC、AC，有时也用 a，b，c 来表示，顶点 A 所对的边 BC 用 a 表示，边 AC、AB 分别用 b，c 来表示；4、∠A、∠B、∠C 为ΔABC 的三个内角。 二、三角形中三边的关系 1、三边关系： 三 角 形 任 意 两 边 之 和 大 于 第 三 边 ， 任 意 两 边 之 差 小 于 第 三 边 。 用 字 母 可 表 示 为 a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b 三、三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 。 2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边 AB 称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直 角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 四、三角形的三条重要线段 1、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平 分线。 （2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。 3、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。 4、三角形的高线： （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的高线，简称为三角形的高。 （2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。 区 中 线 平分对边 平分内角 垂直于对边 （或其延长 线） 角平分线 高 线 别 相 同 三条中线交于三角形内部 三条角平分线交于三角表内部 锐角三角形：三条高线都在三角形内部 直角三角形：其中两条恰好是直角边 钝角三角形：其中两条在三角表外部 （1）都是线段 （2）都从顶点画出 （3）所在直线相交于一点 0 a ?b < c < a +b. 五、全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 六、全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于” 。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA” 。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或 “AAS” 。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS” 。 九、作三角形; 十、利用三角形全等测距离; 十一、直角三角形全等的条件 1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL” 。 第六章 变量之间的关系 一、变量、自变量、因变量 1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。 2、如果一个变量 y 随另一个变量 x 的变化而变化，则把 x 叫做自变量，y 叫做因变量。 变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量。 在我们日常生活中普遍存在，笔者结合七年级数学教材（北师大版）浅谈几种表示变量之间关系的 表示方法。简单地说：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量，反之，可以取不同数值的就叫做 变量。而变量包括自变量和因变量。自变量即能够影响其他变量的一个变量，或者说因为自己改变导致其 它的变量也随之而变化的量。因变量则为受其它变量改变后而随之影响变化的变量。例如，计算圆的面积 公式 S= 中，圆周率常量，圆的面积随着圆的半径的变化而变化，就是变量。圆的半径是自变量，圆的面 积是因变量。同理，在一个变化过程中有两个量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那 么 x 是自变量，y 是因变量。 一.列表法。 列表法。 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一 些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从 表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。 例 1：在全国抗击“非典”的斗争中， 黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗 非典型肺炎的抗生素。据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的 含药量（微克）与时间（分钟）之间的关系近似地满足下表： 时间 0 (分钟) 含药量 0 (微克) （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当注射药液 60 分钟后血液中含药量是多少？ （3）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时，控制“非典”病情是有效的。如果病人按规定的 剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？ 【分析】从这个表中可以看出两个量都是变量，且血液中的含药量随着注射药液的时间的变化而变化。因 分析】 此，注射药液的时间是自变量，血液中的含药量是因变量。从这两个变量之间的关系的表格中可以得到， 注射药液的时间与血液中的含药量的多少一一对应，知道注射药液的时间即可找到血液中的含药量，反之， 2 4 6 5.7 5.2 4.8 4.4 4 3.6 3.2 2.8 2.4 2 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 2 知道血液中的含药量即可找到注射药液所对应的时间。而要找到控制病情的有效时间有多长？关键要观察 出表内注射药液的时间与血液中含药量的变化规律： 注射药液后的开始 60 分钟内血液中的含药量是由 0 微 克上升至 6 微克，60 分钟以后，血液中的含药量是逐渐下降，只要找出开始上升至 4 微克的时间和下降至 4 微克的时间，两者的时间差即是控制病情的有效时间。 【解答】（1）上表反映了注射药液的时间和血液中的含药量这两个变量之间的关系，自变量是注射药液的 解答】（1 】（ 时间，因变量是血液中的含药量。 （2）当注射药液 60 分钟后血液中含药量是 6 微克。 （3）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时，控制“非典”病情是有效的。如果病人按规定的 剂量注射该药液后， 那么这一次注射的药液经过 40 分钟后控制病情开始有效， 这个有效时间是 120 分钟 （从 表格中可以看出：当注射药液达到 40 分钟时，血液中的含药量上升到 4 微克，之后继续上升至最高值为 6 微克，然后缓慢下降，当注射药液 160 分钟后，血液中的含药量下降至 4 微克，所以，如果按规定的剂量 注射该药液后需要经过 40 分钟控制病情开始有效，这个有效时间为 160 分钟—40 分钟=120 分钟）。 二.关系式法。 关系式法。 关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应 的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。 已知梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8，梯形面积 为 y。 (原题见课本 197 页数学理解第 例 2：已知 1 题) （1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是什么？ （2）用表格表示当 x 从 10变到 20 时（每次增加 1），y 的相应值； （3） 当 x 每增加 1 时，y 如何变化？说说你的理由； （4） 当 x ＝0 时，y 等于什么？此时它表示的什么？ 【分析】根据题意及其梯形的面积公式 S= (a+b)h/2 可以得到： 分析】 梯形的下底 b 和高 h 都是常量，梯形的上底 a 和梯形的面积 S 是未知数，且梯形的面积 S 随着梯形的上底 a 的变化而变化。梯形的上底 a 是自变量，梯形的面积 S 是因变量。即为梯形面积 y 与上底长 x 之间的 关系式是 y=4x+10。然后根据关系式列出表格不难看出，当 x 每增加 1 时，y 随之增加 4。因为 4（x+1） +60—（4x+60）=4。那么当 x=0 时，梯形的上底为 0，此时梯形上底边上的点 A 与点 D 重合，因此，此时 它不是梯形，而是一个三角形。 【解答】（1）梯形面积 y 与上底长 x 之间的关系式是 y=4x+10。 解答】 （2）用表格表示当 x 从 10 变到 20 时（每次增加 1），y 的相应值如下表： 梯形的上底 x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 梯形的面积 y 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 （3） 当 x 每增加 1 时，y 增加 4。 （4）当 x ＝0 时，y 等于 60。此时它表示的是三角形的面积。 三.图象法。 图象法。 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量 x 与因变量 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标， 在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它 是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似 的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：①列表：列表给出 自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。②描点：在用图象表示变 量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或 x 轴）上的点来表示 自变量，用竖直方向的数轴（纵轴 或 y 轴）上的点来表示因变量。③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起 来。 例 3： 如图是某天温度变化的情况。(原题见课本 198 页) （1）上午 9 时的温度是多少？ 12 时呢？ （2） 这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度呢？ （3） 这一天的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多长时间？ （4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？ （5） 图中 A 点表示的是什么？B 点呢？ 【分析】在图象中，我们可以直观地看出它表示的是时间与温度两个变量之间的关系，温度随着时间的变 分析】 化而变化。时间是自变量，温度是因变量。在一天中温度的变化情况，在不同的时间都有一个不同的温度 和它对应。为此，我们可以在图象中任意取一个点，都可以找出对应的时间和所对应的温度。还可以看出 一天中的最高气温和最低气温。 【解答】（1）上午 9 时的温度是 27℃，12 时是 31℃。 解答】 （2）这一天的最高温度是 37℃，是在 15 时达到的，最低温度是 23℃，是在 3 时达到的。 （3）这一天的温差（最高温度和最低温度的差值）是 37℃—23℃=14℃，从最低温度到最高温度经过了 15 时—3 时=12 时。 （4）在 3 时到 15 时温度在上升，在 0 时到 3 时、15 时到 24 时温度在下降。 （5）A 点表示的是 21 时的温度是 31℃，B 点表示的是 0 时的温度是 26℃。 四.三种表示方法的关系。 三种表示方法的关系。 表格、 关系式与图象都能表示两个变量之间的关系， 已知关系式可以列出表格， 画出图象， 已知表格、 图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般 的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。 五.优缺点比较。 优缺点比较。 类 别 情 况 表 示 方 法 对于表中自变量的每一个值可以不 只能列出部分自变量与因变量的对应 通常自变量表示在表格的 列表法 通过计算,直接把因变量的值找到, 值,难以反映变量间的变化全貌,而且 上方，因变量表示在表格的 查询时很方便 关系式法 简明扼要,规范准确 形象直观,可以很形 象地反映事物变 图象法 (因变量的增减性,点的对称,最大值 确定的因变量的值往往是不准确的 或最小值)等 从表中看不出变量间的对应规律 下方 有些变量之间的关系很难或不能用关 通常自变量表示在式子的 系式表示,求对应值也需要逐个计算, 右边，因变量表示在式子的 比较麻烦 左边 通常自变量用水平方向的 因变量用竖直方向的数轴 （纵轴）上的点来表示 优 点 缺 点 备 注 化的全过程,变化的趋势和某些性质 图象是近似的,局部的,观察或由图象 数轴 （横轴） 上的点来表示， 总之，数学表达信息是多样化的，数学的应用在表达形式上也是灵活多样的，除了常见的用文字、 符号、关系式等表达形式外，辅以图象、图形或表格等多种形式，对丰富的现实背景做了更加生动、形象、 科学、直观地描述，达到了内容与形式的完美统一。 一、概念： 变量：在某一过程中发生变化的量，其中包括自变量与因变量。自变量是最初变动的量，它在研究对象反 应形式、 特征、 目的上是独立的； 因变量是由于自变量变动而引起变动的量， 它“依赖于” 自变量的改变。 常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量. 二、变量的表示 1.列表法 采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一般第一行代表自变量，第二行 代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。 列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表 示因变量的一部分。 2.图象法 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量 x 与因变量 y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标， 在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系） 。它是 我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、 局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：①列表：列表给出自变 量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。②描点： 在用图象表示变量之 间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或 x 轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或 y 轴）上的点来表示因变量。③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象； b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标）. 3.关系式法（解析法） 关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量 的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。 注意：三种表示方法的关系 三种表示方法的关系 表格、图象与关系式都能表示两个变量之间的关系，已知关系式可以列出表格，画出图象，已知表格、 图象却不一定有相应的关系式。但是，关系式的确定也是根据表格、图象所提供的信息，用从特殊到一般 的数学思想，经过类比、比较和归纳，从而猜想得出结论进行验证后的结果。 三、事物变化趋势的描述 对事物变化趋势的描述一般有两种： 1.随着自变量 x 的逐渐增加（大） ，因变量 y 逐渐增加（大） （或者用函数语言 函数语言描述也可：因变量 y 随着自 函数语言 变量 x 的增加（大）而增加（大）； ） 2. 随着自变量 x 的逐渐增加（大） ，因变量 y 逐渐减小（或者用函数语言 函数语言描述也可：因变量 y 随着自变量 函数语言 x 的增加（大）而减小）. 注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量 x 的逐 渐增加（大） ，因变量 y 逐渐增加（大）等等. 四、估计（或者估算） 对事物的估计（或者估算）有三种： 1.利用事物的变化规律进行估计（或者估算）.例如：自变量 x 每增加一定量，因变量 y 的变化情况； 平均每次（年）的变化情况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等； 2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量 y 的 值； 3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可. 第七章 一、轴对称图形 生活中的轴对称 1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条 直线叫做对称轴。 二、轴对称 1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是 对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。 三、角平分线的性质 1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。2、性质：角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等。 四、线段的垂直平分线 1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。 2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 五、等腰三角形 1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边； 3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。 5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外） ，其底边上的高或顶角的平分线，或底边 上的中线所在的直线都是它的对称轴。6、 、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重 合，简称为“三线合一” 。8、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角” 。 六、等边三角形 1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形 2、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。 4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是 60 。 七、轴对称的性质 1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点） ，能够重合的线段称为对应线段，能 够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。 3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。 九、镜面对称 1.当物体正对镜面摆放时，镜面会改变它的左右方向； 2.当垂直于镜面摆放时，镜面会改变它的上下方向； 3.如果是轴对称图形，当对称轴与镜面平行时，其镜子中影像与原图一样； 学生通过讨论，可能会找出以下解决物体与像之间相互转化问题的办法： （1）利用镜子照(注意镜子的位置摆放)； （2）利用轴对称性质； （3）可以把数字左右颠倒，或做简单的轴对称图形； （4）可以看像的背面； （5）根据前面的结论在头脑中想象。 七年级上）知识点总结 《数学》 第一章 丰富的图形世界 1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。 3、常见的几何体及其特点 ，正方体长方体：有 8 个顶点，12 条棱，6 个面，且各 面都是长方形（正方形是特殊的长方形）是特殊的长方体。棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。棱锥：一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。圆柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是半径相等的圆。圆锥：有一个底面和一个顶点，且侧面展开图是扇形。球：由一个面围成的几何体 4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。 5、正方体的平面展开图：11 种6、截一个正方体：（1）用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。注意：①、正方体只有六个面，所以截面最多有六条边，即截面边数最多的图形是六边形． ②、长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处．（2）用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．（3）用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面还有其他截面，初中不予研究（4）用平面去截球体，只能出现一种形状的截面——圆．（5）需要记住的要点： 几何体 截面形状 正方体 三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形 圆 柱 圆、长方形、正方形、…… 圆 锥 圆、三角形、…… 球 圆 7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。 8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首 尾 相连组 成的封闭平面图形，叫做多边形。从一个 n 边形的同一个顶点出发， 可以把这个 n 边形分割成 分别连接这个顶点与其余各顶点， （n-2）个三角形。弧：圆上 A、B 两点之间的部分叫做弧。扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 第二章 有理数及其运算 1、有理数的概念及分类 正整数 正整数 正有理数 正分数 整数 零 ① 有理数 零 ② 有理数 负整数 负整数 正分数 负有理数 分数 负分数 负分数 注意： 因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数． 2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。注意：①在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等. ②相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数. 3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要 。素缺一不可） 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。 4、倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。 倒数还可以说成是：1 除以一个数除数不等于 0的商叫做这个数的倒数，如 a≠0，a 的倒数 1为 ． 5、绝对值：（1）在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （a≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若aa，则 a≥0；若a-a，则 a≤0。也可表示为： ；绝对值的问题经常分类讨论； （2）绝对值的有关性质 ①对任意有理数 a，都有a≥0； ②若a0，则 a0； ③若ab，则 ab 或 a－b； ④若ab（b0） ，则 a±b； ⑤若a＋b0，则 a0 且 b0； ⑥对任意有理数 a，都有a－a. 6、有理数大小的比较法则： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 正 数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小 . 7、有理数的运算 ：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方（2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 ab ba加法结合律 a b c a b c乘法交换律 ab ba乘法结合律 abc a bc乘法对加法的分配律 a b c ab ac 8、乘方的概念 （1）求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，即 n n 在 a 中，a 叫做底数，n 叫做指数， a 叫做幂． （2）a 是重要的非负数，即 a ≥0；若 a b0 a0b0； 2 2 2 0.12 0.01 12 1 （3）据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 10 100 2 第三章 字母表示数 1、代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。规定：单独的一个数字或字母也是代数式。 2、同类项所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。注意:①两个相同:字母相同；相同字母的指数相等.②两个无关:与系数无关与字母顺序无关. 3、合并同类项法则：（1）找同类项（2）合并同类项：①各同类项的系数相加作为新的系数 ②字母以及字母的指数不变（3）不同种的同类项间，用“”号连接（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄 4、去括号法则（1）括号前是“” ，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。（2）括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里 各项的符号都要改变。 5、整式的运算：整式的加减法： （1）去括号； （2）合并同类项。6、代数式求值------------用数值代替字母，按照代数式指明的运算进行计算 化简，求值------------①先化为最简的代数式（格式：解：原式……）；②再用数值代替字母，按照代数式指明的运算进行计算格式：当……时，原式…… 第四章 平面图形及其位置关系 1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。 2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。（可以说延长或反向延长线段，反向延长射线；但不能说延长射线、延长或反向延长直线！ ） 4、点、直线、射线和线段的表示在几何里，我们常用字母表示图形。一个点可以用一个大写字母表示。一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面） 。一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 5、点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 6、直线的性质（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度 量，不能比较大小。（4）直线上有无穷多个点。（5）两条不同的直线至多有一个公共点。 7、线段的性质（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短，简称：两点之间线段最短。（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。（3）线段的中点到两端点的距离相等。（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 8、线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条相等的线段 AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点。（注意：若一点M，使得 AMBM，则 M 为线段 AB 的中点这句话是错误的，有两种修改方式……） 9、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。 （静态定义）或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。 （动态定义） 10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。 11、角的表示角的表示方法有以下四种：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3 等。②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C 等。④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE 等。注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。 12、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角 180 等分，每一份就是 1 度的角，单位是度，用“°”表示，1 ，n度记作“1°” 度记作“n°” 。把 1°的角 60 等分，每 一份叫做 1 分的角，1 分记作“1’”。把 1’ 的角 60 等分，每一份叫做 1 秒的角，1 秒记作“1””。1°60’，1’60” 13、角的性质（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。 14、角的平分线 （像中点一样，有一点注意！ ）从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 15、平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“‖”表示，如“AB‖CD”，读作“AB平行于 CD” 。注意： （1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 16、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。注意：平行线的画法：①平移（推）②方格纸上 17、垂直：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 （学会在方格纸上画垂线。画垂直时，要注意标上直角符号。）直线 AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD” （或“CD 垂直于 （或“CD⊥AB”，读作“AB 垂直于 CD” ）AB”。 18、垂线的性质：性质 1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 19、点到直线的距离：过 A 点作 l 的垂线，垂足为 B 点，线段 AB 的长度叫做点 A 到直线 l 的距离。 20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 第五章 一元一次方程 1、方程含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。（2）等式的两边同时乘以同一个数（ （或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。 4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。 5、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边， ）这种变形叫移项。（4）合并同类项（5）将未知数的系数化为 1。 6、列一元一次方程解应用题：（1）读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题” “大，小，多，少，是，共，合，为，完 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： 成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最 后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法: ………… 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图 形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方 程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方 程的基础. 7、列方程解应用题的常用公式： 距离 距离（1）行程问题： 距离速度时间 速度 时间 ； 时间 速度 工作量 工作量（2）工程问题： 工作量工效工时 工效 工时 ； 工时 工效 部分 部分（3）比率问题： 部分全体比率 比率 全体 ； 全体 比率（4）顺逆流问题： 顺流速度静水速度水流速度，逆流速度静水速度-水流速度； 1 售价 成本（5）商品价格问题： 售价定价折 ，利润售价-成本， 利润率 100 ； 10 成本 2（6）周长、面积、体积问题：C 圆2πR，S 圆πR ，C 长方形2ab，S 长方形ab， C 正方形4a， 2 2 2 3 2 1 2 S 正方形a ，S 环形πR -r V 长方体abc ，V 正方体a ，V 圆柱πR h ，V 圆锥 πR h. 3 第六章 生活中的数据 1、科学记数法（1）一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a 10 的形式，其中 1 a 10 ，n 是正整数，这种 n记数方法叫做科学记数法。（2）近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.（3）有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 2、扇形统计图及其画法：扇形统计图：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分， 扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。画法：（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360 的比）。（2） 计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。 3、各种统计图的优缺点条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 第七章 可能性 确定事件和不确定事件1 、确定事件必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。2、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件 3、 必然事件 确定事件 事件 不可能事件 不确定事件2、不确定事件发生的可能性一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的，但一定大于 0，且小于 1。必然事件发生的可能性是 1，不可能事件发生的可能性是 0注：某事件发生概率的书写格式为“P（某事件）……” 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容