不定积分习题

内容： 不定积分的概念及积分方法

基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。

2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。 3．掌握不定积分的积分方法。

4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。 内容与方法精讲：

一． 原函数与不定积分的概念

1． 原函数定义：在区间I上，若F(x)f(x)（即dF(x)f(x)dx），称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数。

2． 原函数存在的条件：若函数f(x)在区间I上连续。则f(x)在区间I上有原函数。 3． 不定积分：函数f(x)在区间I上的所有原函数F(x)C称为f(x)在区间I上

的不定积分，记作

f(x)dxF(x)C.

4． 不定积分与导数的关系：

（1） 先积分再求导（或微分）

[f(x)dx]f(x)，或 d[f(x)dx]f(x)dx； （2） 先求导（或微分）再积分

F(x)dxF(x)C，或 dF(x)F(x)C. 5． 不定积分的线性性：

（1）kf(x)dxkf(x)dx；

（2）[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx.

二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法

1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分

公式中的积分，从而进行积分。（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。 2． 凑微分法：

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C.

主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。 要熟练常用的几个凑微分式子：

（1）

f(axb)dx11f(axb)d(axb) (a0)； a1f(ax1b)d(ax1b)a(a0)；

（2）xf(ax1b)dx （3）

f(lnx)dxf(lnx)dlnx； x （4）exf(ex)dxf(ex)dex；

（5） （6）

f(arctanx)dxf(arctanx)darctanx； 21xf(arcsinx)1x2dxf(arcsinx)darcsinx；

（7） （8） （9）

f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx； f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx； f(tanx)sec2xdxf(tanx)dtanx；

（10）

f(secx)secxtanxdxf(secx)dsecx；

f(x)df(x)dxlnf(x)C. f(x)f(x) （11）

多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：

换元名称 三角换元 含有xa 含有xatant根式换元 含有naxb 22被积函数特点 含有a2x2 具体换元公式 换元目的 去根号化为有理函xasint xatant xasect tnaxb 数或三角函数有理根式换元 axb含有n cxd分母幂次比 分子幂次较高 tnaxb cxd式的积分 倒代换 1x t降低分母幂次

4． 分部积分法：u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx 或u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)

主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好u(x)与v(x)的

选取，原则是v(x)好找原函数，u(x)的导数简单，积分u(x)v(x)dx积分。要掌握以下几种常见类型的分部积分： u(x)v(x)dx容易（至少不难）被积函数类型 幂函数×三角函数 幂函数×指数函数 幂函数×对数函数 幂函数×反三角函数 指数函数×三角函数 四．几类特殊函数的积分

条件 正整数次幂 正整数次幂 实数次幂 实数次幂 u(x)取作 幂函数 幂函数 对数函数 反三角函数 v(x)取作 三角函数 指数函数 幂函数 幂函数 目的 降低幂次 降低幂次 去掉对数函数 去掉反三角函数 u(x)与v(x)任取，用两次分部积分，出现“打回头”

例题精讲

1．若

f(x)dx(x1)exC，求函数f(x).

解：（本题考核导数与积分的关系。给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导） 对等式两边同时求导，有f(x)e(x1)exe.

2．若函数f(x)满足f(tanx)secx，且f(0)1，求函数f(x).

解：（本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。

222本题要注意积分变量是tanx，或先将式子f(tanx)secx改写为f(x)1x，再

22xxx两边求积分）

对等式两边同时求积分，有

122tanx(tanx)C.21212 所以，f(x)Cxx，由f(0)1，得C1，于是f(x)1xx.

222f(tan2x)f(tan2x)dtan2xsec2xdtan2x(1tan2x)dtan2x3．设函数f(x)x,sinx,x0,x0. 求不定积分

f(x)dx.

f(x)dx.在分界点处应连续）

解：（这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数F(x) 当x0时，F(x) 当x0时，F(x)x2f(x)dx(x)dxC；

21f(x)dxsinxdxcosxC.

有F(0)F(0)F(0)，有C1C1，得C11C.

x2C, 所以，f(x)dx21cosxC,2x0, x0.4．若f(x)的一个原函数为lnx，求不定积分xf(x)dx.

解：（尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与f(x)的导数f(x)乘积的形式，因此首先要进行分部积分）

 由f(x)的一个原函数为lnx，即于是，xf(x)dxxf(x)2f(x)dxln2xC，所以f(x)22lnx. xf(x)dx2lnxlnxC.

xex5．设函数F(x)是f(x)在x0时的一个原函数，满足f(x)F(x)，且22(1x)F(0)1，F(x)0. 求函数f(x).

xex 解：（本题还是考核原函数概念。由于在条件f(x)F(x)中同时出现了f(x)22(1x)与F(x)，为方便都统一于F(x)，然后再积分）

xexxex 由F(x)是f(x)的一个原函数及f(x)F(x)，有F(x)F(x)，

2(1x)22(1x)2对上式两边同时求积分，得

F2(x)xex11xF(x)F(x)dx dxxed() 2221x2(1x)1xex(1x)exexdx)C. (21x1x2(1x)ex 由F(0)1及F(x)0，得C0，且F(x)，

1xdexxex/2 所以，f(x)F(x). ()3/2dx1x2(1x)6．求下列不定积分（本例都是典型的、常见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分） （1）

xlnx1lnxdx； （2）； （4）

x2dx；

(exex)4 （2）

dx4xarcsintanxcosx2arctan1x1x2dx；

（5）

dx； （6）lnx1lnxdxlntanxdx.

sinxcosx 解：（1）

x(1lnx)1d(1lnx)

1lnx [1lnx11lnx]d(1lnx)2(1lnx)3/221lnxC. 3dxe4xdx1(e2x1)12x（2） x2x2xd(e1) x4442(e1)(ee)(e1)111[]d(e2x1) 2x32x42(e1)(e1)111113e2x. C2x22x32x34(e1)6(e1)12(e1)C（3）

dx4xarcsin2x2xdarcsin2xlnarcsinC. xx2xarcsin221(x)arcsin2x2d（4）

arctan1x1x2dx1x dxd(1x)12x[1()][1(x)]212xarctan1xarctan1x arctandarctan111(arctan)2C. x22（5）

tanxcosxdxsinxcosxcosxdx(cosx)32dcosx2cosxC.

lntanxlntanxlntanxdxdxsinxcosxtanxcos2xtanxdtanx

12 lntanxdlntanxlntanxC.

2（6）

7．求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分式）

x31dxdxdx； （2） （1）3； （3）. 3282x(x1)x(1x)x1 解：（1）(本题除了利用部分分式，没有太好的办法。)

x31212x2dx(1x313x13x2x1)dxd(x121(2x1)dx2)xlnx1232233xx1(2)(x1)2211xlnx1ln(x2x1)3arctan3321x2x122x1xlnarctanC.3(x1)233(x12)32

CR(xn)R(xn)ndx型, 可以凑成dx型) （2）(本题属于nxxdx1dx31(x31)x33x(x31)23x3(x31)23x3(x31)2dx1dx3d(x31)1dx3d(x31)1 [333][]

3x(x1)3x3x31(x1)2x311x31(ln33)C.3x1x1 （3）(本题由于分母的幂次相对于分子的幂次较高, 因此应当用到代换.) 令x, 则dx1tdt, 于是 2t

dxt81642dt(ttt1)dt2x8(1x2)1t21t(ttt11111tarctant)C753arctanC.7t3xx7x5x3x753

8．求下列不定积分（本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的，尽量不用万能代换，通常都可以用凑微分求解）

sin2xtanxsinxcosxdx； （1）dx； （2）cos4x1sin4x （3）

dxsinx； （4）sin2x2cosxsinxcosxdx.

解：（1）（本题属于

f(sinx)cosxdx型）

sinxcosxsinx1dsin2x12dxdsinxarctan(sinx)C. 221sin4x1sin4x21(sinx)2 （2）（本题属于R(sin2x,cos2x,tanx)dx型，可作代换tanxt. 也可以直接凑微

分）

sin2xtanx22dx(tanxsecxtanx)dtanxcos4x 432tanxtanxtanx(tan3xtan2xtanx)dtanxC.432 （3）（本题有两个关键点，一是要统一角度，二是要将分母上的两项之和化为一项）

dx1dx11sinxsin2x2cosx2cosx(sinx1)2cos3xdx111 (sec3xsec2xtanx)dx(secxtanxlnsecxtanx)secxdsecx242111sinx1(secxtanxlnsecxtanx)sec2xC(lnsecxtanx)C.2444cosx （4）（本题解法很多，下面仅介绍几种有代表型的解法） 方法一：本题可以通过拆项的方法求解

sinx1(sinxcosx)(sinxcosx)1sinxcosxdxdx(1)dxsinxcosx2sinxcosx2sinxcosx1d(sinxcosx)1[x](xlnsinxcosx)C.2sinxcosx2 方法二（伴侣型积分）：记I1sinxcosx，dxI2sinxcosxsinxcosxdx. 则

sinxcosxdxdxxC.sinxcosx

sinxcosxd(sinxcosx)I1I2dxlnsinxcosxC.sinxcosxsinxcosxI1I2 两式相加，得

sinx1dxI(xlnsinxcosx)C. 1sinxcosx2方法三：为将分母化为一项，分子、分母同乘cosxsinx，则

sinxsinxcosxsin2x1sin2x1cos2xdxdxdxsinxcosxcos2xsin2x2cos2x

1111(1tan2xsec2x)dx(xlncos2xlntan2xsec2x)C22221(xlnsinxcosx)C. 2方法四：分子、分母同乘2/2，通过两角和公式将分母唤为一项，则

sinx1sin(x/4)cos(x/4)dxdxsinxcosx2sin(x/4)11 (dxcot(x/4)d(x/4)(xlnsin(x/4))C1

2211(xlnsinxcosx)C.(CC1ln2).22 方法五：分子、分母同除cosx，然后令ttanx，则xarctant，dxdt，于是 21tsinxtanxtdt11t1dxdx(sinxcosx1tanx(1t)(1t2)21t21t)dt111(arctantln(1t2)ln1t)C(xlnsinxcosx)C.222

方法六：用万能代换，令tanxu，则 2sinx4udu1u1udx(sinxcosx(1u2)(12uu2)1u21u212uu2)du1122 arctanuln(1u)ln12uuC

221xxx[xln(1tan2)ln12tantan2]C.22229．求下列不定积分（本例都是无理函数积分，如果能够通过凑微分求解，当然最好；如果不能用凑微分求解，就要设法去根号） （1）x34x2dx； （2）dxxx12；

（3）

xxdxdx； （4）. 1x231x解：（1）本题属于 方法一：

f(x2)xdx类型，直接凑微分即可，当然也可以用三角代换x2sint

32x4xdx123/2([(4x)21[4(4x2)]4x2dx2 2144(4x2)1/2]d(4x2)(4x2)5/2(4x2)3/2C.

53 方法二：令x2sint，则dx2cost，于是

323242x4xdx32sintcostdt32(costcost)dcost

323214cos5tcos3tC(4x2)5/2(4x2)3/2C.5353

（2）方法一：x0时，令xsect(0t/2)，

xdxx21secttant1dtdttcarccosC.

secttantxx0时，方法类似，结果为dxxx21arccos1C. x方法二：本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。 当x0时，令xcht（t0），（当x0时，方法类似，结果相同）

xdxx21ch tdsh t2dtarctan(sh t)Carctanx1C. 22cht1sht 方法三：本题特别，作代换x21t，也可以达到去根号的目的。 当x0时，令x21t，则x1t2，dxtdt1t2，于是

xdxx21tdtdt2arctantCarctanx1C. 22t(1t)1t 当x0时，方法类似，令x21t，则x1t2，结果相同 方法四：由于分母上x的幂次比分子上x的幂次高一些，因此可考虑倒代换，

令x，则dx

1tdt. 于是，当x0时，有 2tarcsintCarcsindt1t21C. x1C. xxdxx21dt1t2dxx21 当x0时，

xarcsintCarcsin （3）本题解法也较多，各种解法的目的都是取根号。 方法一：按R(x,axb)dx类型作。

cxdn2xtt，则x 令n,21x1tdx2tdt，于是 22(1t)

x2t2dt1tdt dxtd222221x(1t)1t1t1ttx2CarctanxxC. 21x1tarctant 方法二：分子、分母同乘x，转化为R(x,ax2bxc)dx型

xxdx1dx12xdx[1xxx22xx2xx2dx]

1d(x1/2)d(xx2)1[]arcsin(2x1)xx2C.22(1/2)2(x1/2)2xx2 （注：转化为

xdxxx22后，也可以用代换x11sint求解） 22 方法三：令xsint，则dx2sintcostdt，于是

x2sin2tcostsin2tdxdt(1cos2t)dttC 1xcost2arcsinxxx2C. （4）本题不是常见的典型题，这里出现了复合函数，当一时看不到解法时，可以考虑用中间变量作代换进行试解。如该题可考虑的换元有：t3x2、t或t133x、t13x2

x2，通过试解，发现第二和第四种换元更好一些。

3 方法一：不妨设x0（x0时也类似）令tx，则xt3，dx3t2dt，于是

xdx13x23t5dt1t23(1t2)22(1t2)1d(1t2)21t2

325/223/22(1t)2(1t)31tC

53(13x2)5/22(13x2)3/2313x2C.5 （注：转化为3t5dt1t32后，也可以再作代换ttanu求解）

方法二：令t1x2，则x(t21)3，dx3tt21dt，于是

22

xdx13x2t52t33(t1)dt3(t)C53

3(13x2)5/22(13x2)3/2313x2C.510．求下列不定积分（本例都属于分部积分类型）

（1）

xlnxxcosxarcsinxdx； （2）； （3）dx(1x2)3/2sin3x1xdx；

ln(1ex)arctanxxexdxdx； （5）dx. （4）2， （6）xxx(1x2)ee1 解：（1）本题属于幂函数（正整数次幂）×三角函数类型的积分，要试图先将三角函数凑

到微分号后面，即先求出三角函数部分的积分。

xcosxxdsinx11dxxdsin3xsin3x2sin2x

1xdx1x(2)(2cotx)C.2sinx2sinxsin2x （2）本题属于幂函数（非正整数次幂）×对数函数类型的积分，要试图先将幂函数凑

到微分号后面，微分号外面只留对数函数。

xlnx1lnxd(1x2)1lnxdxdxlnxd(1x2)3/2x1x22(1x2)3/21x21x2 lnx1xlnx2d(1/x)1(1/x)211ln(12)Cxx1x2lnx

11x2lnC.2x1x （3）本题属于幂函数（非正整数次幂）×反三角函数类型的积分，要试图先将幂函数凑

到微分号后面，微分号外面只留反三角函数。

arcsinx1xdx2arcsinxd1x21xarcsinxdxx21xarcsinx2xC1x1(x)x2dx

21xarcsinx （4）本题也属于幂函数（非正整数次幂）×反三角函数类型的积分，直接将幂函数凑到

微分号后面有一定困难，可以先单独进行这部分的积分。因为

dx111()dxarctanxC， 所以 x2(1x2)x21x2xarctanx1dxarctanxd(arctanx)x2(1x2)xarctanx1dx ( arctan2x)(arctanx)2xx1xarctanx1x(arctan2x)()dxarctanxdarctanx2xx1xarctanxarctan2x1x2lnC. 2x221x （5）本题属于幂函数（正整数次幂）×指数函数类型的积分，要试图先将指数函数凑到

微分号后面。

xexdxex1xd(ex1)ex12xdex12(xex1ex1dx)

2tdt，于是 1t2 对积分

xex1dx，令ex1t，则xln(1t2)，dx

t2dt1Ce1dx22(1)dt2(tarctant)1t22 1t22(ex1arctanex1)C/2.

xexdxex12(x2)ex14arctanex1)C.

（6）本题比较特殊，困难在于含有对数函数，这时可以先将对数以外的东西凑到微分号

内，微分号外只留对数函数，通过分部积分进行试解。

ln(1ex)ln(1ex)exdxxxexdxln(1e)deexex(1ex)ln(1e)11ln(1e)xx()dexln(1e)C.ex1exexexxx

11．求下列不定积分（本例又是一种积分类型。在这种积分中，其中有一部分是不能进行

积分的（即原函数不能用初等函数表示），这一部分暂时不要管它，先对其它部分进行积分，在积分过程中会产生出不能进行积分的部分的相反的值，从而将那部分抵消掉）

lnx12x2dx； （2）e(1tanx)dx. ln2xlnx1dxdxx11dx 解：（1）dxx()dxlnxln2xlnxln2xxln2x

ln2x （1）

xdxdx22lnxlnxlnx

xC.lnx （2）e2x(1tanx)2dxe2x(12tanxtan2x)dx

e2x(sec2x2tanx)dxe2xdtanx2e2xtanxdx e2xtanx2e2xtanxdx2e2xtanxdx

e2xtanxC.同步练习:

33x1dx1．求.. ( x3xxC ) 354x1541xlnx112. ( dxlnxC ) x2x21cosx3．求dx. ( lnxsinxC )

xsinx2．求4．求

dxxxx. ( 41xC )

35．求

4arcsinx(arcsinx)2C ) . ( dx23xx6．求

1lnx1dx. ( C ) (xlnx)2xlnxdx11. ( arctanxC ) x4(1x2)3x3x7．求

1x211xarctanx2C ) 8．求8dx. ( ln28x14x1111x2C ) 9．求. ( dx97989910097(x1)49(x1)99(x1)(x1)sinxcosx12dxarctan(tanx)C ) . ( sin4xcos4x2dx12secxlntanxC ) 11．求. ( 32sinxcosxsinx12．求dx. （ secxtanxxC ）

1sinx10．求

13．求

2x81xx2dx. ( 21xx29arcsin2x15 )

14．求

xdxx22x3. (

x2C ) x15．求

x(xx3x)xdx. ( lnx6ln(6x1)C )

1ex11e1x16．求

1edx. ( 21elnxdx. ( xarcsinx22xC )

17．求arcsinxx2x2arctanC ) x22exex(cos2x2sin2x)C ) 18．求esinxdx. (

210x19．求

xln(1x)1 （ dx(1)ln(1x)C ）x2xxlnxlnx1x2dx. ( 20．求lnC ) 22(1x2)242(1x)1xxsinxx. ( dxxtanC ) 1cosx2ln(1x)22．若函数f(x)有连续导数，且f(x)，求f(x).

x21．求

ln(1x2)2arctanxC ） （ x23．若xf(x)dxarcsinxC，求

dx1. （ (1x2)3C ） f(x)324．若f(sinx)2xx，求 f(x)dx. （ 21xarcsinx2xC ）sinx1x225．已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，当x0时，F(x)f(x)sin2x，且F(0)1，F(x)0，求f(x). （

1cos4x4xsin4x4 ）