高等数学各章总结

第一章 函数

一、知识结构：

函数 集合 集合的运算 （交、并、补） 函数关系 实数集（区间） 实数集 （区间） 函数的表示 基本初等函数，初等函数 建立函数关系（应用问题） 经济学常用函数 函数的性质 复合函数 单调性 分段函数 奇偶性 反函数 周期性 有界性

二、例题：

判断题

1. 设yarcsinu,ux22,可以复合成一个函数yarcsinx22；

12. 函数y的定义域是x1且x10；

lglgx3. 函数yex在(0,)内无界；

14. 函数y在(0,)内无界；

1x21x25. f(x)是奇函数；

cosx6. f(x)x与g(x)(x)2是相同函数 ； 7. 函数yex是奇函数；

8. yx与yx2 是同一函数； 9. 函数yx3x1是奇函数；

x110. 函数yarcsin的定义域是(1,3) ；

2x211. yx与 y不是同一个函数；

x.

212. 函数yxcosx是偶函数 .

填空题

1. 设y3u,uv2,vtanx,则复合函数为yf(x)= _________；

2. 设f(x)1x,g(x)1x,则f[g(x)] = _______ ；

3. 复合函数ye(sinx)2是由 ________, ________, _______函数复合而成的；

4. 已知f(1x)11x,则 f(2) __________ ；

5. y11xx4,其定义域为 __________ ； 6. 设函数f(x)x2x1,则f(1)= __________；

7. 考虑奇偶性,函数yln(xx21)为 ___________ 函数 ；

8. 函数ye2x的反函数是 ,它的图象与ye2x的图象关于________ 选择题

1. 函数yx2x3的定义域是 ( ) (A) (2,) (B)[2,] (C)(,3)U(3,) (D)[2,3)U(3,)

2. 函数 yx2(x1)2在区间 (0,1) 内 ( )

(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )

(A)yx4x2 (B) yxx2 (C)y2x2x (D)y2x2x

4. 已知函数 f(x)axbx0x21x0，则f(0)的值为 ( )

(A) ab (B) ba (C) 1 (D) 2

.

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对称 .

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第二章 极限与连续

一、知识结构：

极限连续 极限 连续函数的计算 连续 初等函数的连续性 极限的定极限的性极限的计连续的定闭区间连续函数的性质数列极限 唯一性 四则运算法则 一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续 连续函数的四则运算 连续函数的复合 由连续性求极限 间断点及类型 有界性 函数极限 有界性 夹逼准则 两个重要极限 无穷小与无穷大及关系 最值性 保号性 介值性 零点定理 无穷小性质及等价无穷小代换 二、例题：

判断题

1. 函数在点x0处有极限，则函数在x0点必连续； 2. x0时,x与sinx是等价无穷小量；

3. 若f(x00)f(x00)，则f(x)必在x0点连续； 4. 当x0时，x2sinx与x相比是高阶无穷小； 5. 函数y2x21在(,)内是单调的函数； 6. 设f(x)在点x0处连续，则f(x00)f(x00) ；

12xsin,x07. 函数 f(x) 在x0点连续； xx00,8. x1是函数yx22的间断点； x19. f(x)sinx是一个无穷小量；

10. 当x0时，x与ln(1x2)是等价的无穷小量； 11. 若 limf(x) 存在，则f(x)在x0处有定义；

xx0.

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12. 若x与y是同一过程下两个无穷大量，则xy在该过程下是无穷小量； 13. yx22是一个复合函数；

x114. lim；

x0xsinx211115. 数列,0,,0,,0,L收敛；

248116. 函数 yxsin 在 x0 点连续；

xln(x2)17. x0是函数y的间断点；

x18. 以零为极限的变量是无穷小量；

填空题

sinx _______ ；

xxx2. lim = _______ ； xxsinxx23. 函数 y2 在 _______ 处间断；

x93n24. lim2 = _______； n5n2n15. 当 x0 时，1cosx 是比 x ______ 阶的无穷小量；

6. 当 x0 时， 若 sin2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a ______；

x(xx)7. lim __________ ； x0sinxsin2x,x08. 设 f(x)x 连续，则 a _________ ；

x0a,xhx___________ ； 9. limh0h210. lim(1)x________；

xxln(13x)11. lim_________ ；

x0sin3x

1x212. 设 f(x)e,x0 在 x0 处________（是、否）连续；

x00,13. 当x0时，4x2与9x3是______（同阶、等价）无穷小量.

1. lim选择题

1. 2.

1当x0时，ysin 为 ( )

x(A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 x1 时，下列变量中为无穷大量的是 ( )

12

x1x11(A) 3x1 (B) (C) (D) 2

x1x1x.

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2,x13. 已知函数f(x)x1,1x0，则limf(x) 和 limf(x)( )

x1x020x11x,(A) 都存在 (B) 都不存在

(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在

xx14. 函数 f(x)1 的连续区间是 ( ) x12(A)(,1) (B)(1,) (C)(,1)U(1,) (D) (,)

3x2,x05. 设 f(x)2 ，则 limf(x) ( ) x0x2,x0(A) 2 (B) 0 (C) 1 (D) 2

1,x07. 函数 f(x) ，在 x0 处 ( )

1,x0(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续

2x8. lim ( )

x05arcsinx2(A) 0 (B) 不存在 (C) (D) 1

59. f(x) 在点 xx0 处有定义，是 f(x)在 xx0处连续的 ( )

(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )

12x1x(x1)1xlime(A)lim (B) (C) (D) limlim2xx0xx0xx21x计算与应用题

x23x2,x2,1. 设 f(x) 在点 x2处连续，且f(x)x2 ，求 a .

a,x22. 求极限 :

1xxx32x1cosx12x1x1) . (3)lim(1)lim . (2)lim(. (4)lim(1) .

x0xx0x2x14x752x2(1cosx)tanx11122n(5)lim . (6) . (7)lim(L)lim(1) . 32nx0nnx222n1x3xx31(8)lim(. (10)) . (9)limlim()

xx1x11x3x823x1x3. 求极限 :

x32x2x2x2x35x4(1)lim . (2) lim. (3)lim. 222x0x0x0xxxxx35x2011112x3113x114112x5113x114(4) lim . (5) lim . (6) lim . 35xxx2012x52012x1152012x311511111(7)limsinx . (8) limxsin . (9) limxsin. (10) limsin

x0xxx0xxxxx.

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第三章 导数与微分

一、知识结构：

导数微分 导数 导数的定义 导数的计算极限的计算 微分 可微的定义 微分的计算 左导数 右导数 导数的几何意义，切线方程 可导与连续的关系 基本公式 导数四则运算 反函数求导 复合函数求导 可微、可导及连续的关系 可微的几何意义 基本微分公式 微分形式不变性 微分在近似计算中的应用 隐函数导数（对数求导，参数方程求导） 高阶导数 二、例题：

判断题

1. 若函数f(x)在x0点可导，则f(x0)[f(x0)]； 2. 若f(x)在x0处可导，则 limf(x) 一定存在；

xx03. 函数 f(x)x 在其定义域内可导；

4. 若 f(x)在 [a,b]上连续，则 f(x) 在 (a,b) 内一定可导； 5. 已知yef(x),则yef(x)f(x)；

2x2,x16. 函数 f(x)x 在 x1 点可导；

ln,0x147. 若 f(x)xn, 则 f(n)(0)n! ；

8. d(ax2b)2ax ；

9. 若 f(x) 在 x0 点不可导，则 f(x) 在 x0 不连续； 10. 函数 f(x)xx 在点 x0 处不可导 .

填空题

1. f(x)ln1x2 ，则 f(0) _________ ；

.

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2. 曲线 yx3 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ； 3. 设 yxeexlnxee，则 y= ______ ； 4. ysin(ex1) ，dy_______ ；

5. 设 yx22xe2 ，则 y = ________ ； 6. 设 yxne ，则 y(n) = ________ ；

7. 曲线 yxex 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；

u(x)] = _________ ； 8. 若 u(x) 与 v(x) 在 x 处可导，则 [v(x)9. (xx) = _______；

f(x02h)f(x03h)10. 设 f(x) 在 x0 处可导，且 f(x0)A，则 lim用A的代数

h0h式表示为_______ ；

11. 导数的几何意义为 ________________________ ；

112. 曲线 y 在 (1,1) 处的切线方程是 ___________ ；

x13. 曲线 yx31 在 (1,0) 处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数 yx3sin(x21) 的微分 dy__________ ； 15. 曲线 yx2 在点 (0,0)处切线方程是_________ ； 16. dyy 的近似值是 _________ ；

17. yxn(n 是正整数)的 n 阶导数是 ________ .

选择题

1. 设f(x)在点x0处可导，则下列命题中正确的是 ( )

f(x)f(x0)f(x)f(x0)(A) lim 存在 (B) lim不存在

xx0xx0xx0xx0f(x)f(x0)f(x)f(x0)(C) lim存在 (D) lim不存在

xx0x0xxx1，则f(x0)等于 ( ) 2. 设f(x)在点x0处可导且limx0f(x2x)f(x)400(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –2

x21,1x03. 设 f(x) ，则f(x)在点x= 0 处 ( )

,0x21(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义

4. 设 yf(x) 可导，则 f(x2h)f(x) = ( )

(A) f(x)ho(h) (B) 2f(x)ho(h) (C) f(x)ho(h) (D) 2f(x)ho(h)

f(x)f(x)＝ ( ) 5. 设 f(0)0 ，且 lim 存在，则 limx0x0xx1(A) f(x) (B) f(0) (C) f(0) (D) f(0)

26. 函数 yef(x)，则 y\" ( )

(A) ef(x) (B) ef(x)f\"(x)

(C) ef(x)[f'(x)]2 (D) ef(x){[f'(x)]2f\"(x)}

.

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7. 函数 f(x)(x1)x的导数为 ( )

xln(x1)] x18. 函数f(x) 在 xx0处连续，是 f(x) 在 x0 处可导的 ( )

(A)x(x1)x (B)(x1)x1 (C)xxlnx (D)(x1)x[计算与应用题

1. 设 f(x) =

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知 yxlnx ，则 y(10) ( )

118!8!(A) 9 (B) 9 (C) 9 (D) 9

xxxxx10. 函数 f(x) 在 x0 处 ( )

x(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导

1,x011. 函数 f(x) ，在 x0 处 ( )

1,x0(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设 yexex ，则 y( )

(A) exex (B) exex (C) exex (D) exex

0,x013. 函数 f(x) ，在点 x0 不连续是因为 ( ) 1,x0x(A) f(00)f(0) (B) f(00)f(0) (C) f(00)不存在 (D) f(00)不存在

114. 设 f(x2) ，则 f(x) ( )

x11111(A)  (B) (C) (D) 22x1x1(x1)(x1)15. 已知函数 ylnx2 ，则 dy（ ）

2211(A) dx (B) (C) 2 (D) 2dx

xxxx1xcos,x0x16. 设 f(x)0,x0 ，则 f(x) 在 x0处（ ）

1tanx2,x0x(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 17. 已知 ysinx ，则 y(10) ( )

(A) sinx (B) cosx (C) sinx (D) cosx

ax2a2aarccos (a0), 求 f(2a)

xdy2. 设 yln(xy) 确定 y 是 x 的函数，求

dx.

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11cos ，求 dy xx14. 设 y(1x2)arctanxcosx，求 y

23. 设 yln5. 设 eyylnx 确定 y 是 x 的函数，求 6. 设 yln(lndy dxx)，求 dy

17. ye2xx2arcsiny , 求 y 及 dy

xx8. ylntanlnsinx21 ，求y 及 dy

29. ysin(xy) ，求 y，dy并求其在点(,0)处的切线与法线方程.

110. yln5cosx22 ，求 y 及 dy

x11. yearctanx ，求 y 及 dy

12. yexxy ，求 y，dy并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知 ycos23x，求 y 14. 设 2y2xsiny0， 求 y

15. 求 ye13xcosx 的微分

16. 设 yxln(x1x2)，求 y 17. 设 yecos2x ，求 dy

18. 方程 eyexxy0 确定 y 是 x 的函数，求 y

2x19. 设 yarctan() ，求 y 21x20. 方程 y2cosxey0 确定 y 是 x 的函数，求 y 21. yx3cosxecosx ，求 dy 22. yxlnx ，求 y

23. 已知 yln(xx2a2) ，求 y 24. 设 yxxexxeee ，求 y

25. 已知 f(x)sin3x ，求 f()

2e2x26. 求 y 的微分

x

.

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第四章 函数

一、知识结构：

中值定理及应用

中值定理

中值定理的应用

罗尔定理 洛必达法则

函数的单调性

极值 渐近线，函数作图

拉格朗日定理

曲线的凹向 拐点 边际与弹性分析

柯西定理 最大值与应用问题

二、例题：

判断题

1. 曲线yx3x在(,0)是下凹的，在(0,)是上凹的；

12. x1是f(x)x3x在 [2,2]上的极小值点；

33. 曲线y3x在x0点没有切线； 4. 函数可导，极值点必为驻点；

5. 函数的极值只可能发生在驻点和不可导点；

1116. x是曲线yx3x2的拐点；

2647若f(x0)0，f(x0)0，则f(x0)是f(x)的极大值；

8.函数f(x)ln(2x1)在[0,2]上满足拉格朗日定理； 9.若xx0是函数f(x)的极值点，则f'(x0)0 ； 10. 函数f(x)在[a,b]上的极大值一定大于极小值； 11. 当x很小时，ln(1x)x；

xsinx112. lim ；

x0x3313. 曲线 yx3 的拐点是 (0,0)；

14. 函数 yf(x) 在 xx0 点处取得极大值，则 f(x0)0 或不存在； 15. f(x0)0是可导函数yf(x)在xx0点处取得极值的充要条件； 16. 曲线 y1lnx 没有拐点；

.

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17. 设f(x)(xa)(x)，其中函数(x)在xa处可导，则 f(a)(a) ；

11

18. 因为 y 在区间(0,1)内连续，所以在(0,1)内 y 必有最大值；

xx

填空题

xn1. limax （ a0, n 为正整数）= ________ ；

xe2. 设 y2x2ax3在点 x1 处取得极小值，则 a = _______ ； 3. 设 y(xa)3 在 (1,) 是上凹的，则 a = ______ ； 4. 若函数 f(x) 在区间 (a,b) 内恒有 f(x)0，则曲线 yf(x) 在 (a,b) 内的凹向

是_______；

5. 若 f(x)x3，则曲线 yf(x) 的拐点横坐标是 ______ ；

6. 7. 1.

函数yx5x在[0,5]上满足罗尔中值定理的 ______ ；

函数y2x2x在[0,2]上满足拉格朗日中值定理的 __________ ；

选择题

函数 ysinx 在区间 [0,] 上满足罗尔定理的  ( )

(A) 0 (B) (C) (D) π

422. 函数 yf(x) 在点 xx0 处取得极大值，则必有（ ）

(A) f(x0)0 (B) f(x0)0

(C) f(x0)0 且 f(x0)0 (D) f(x0)0 或不存在

计算与应用题

1.

求极限：

1x111sinxsinx)x. ); (2) lim(x); (3) limx; (4)lim(1(1)lim(x1x1x0xx0x0lnxe1 2.

设某产品价格与销量的关系为P10Q5（Q为销量），求：

(1) 销量为 30 时的总收益； (2) 销量为 30时的平均收益； (3) 销量为 30时的边际收益；

3、设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是

C(x)1002x0.02x2R(x)7x0.01x2

(1) 求边际利润函数； (2) 当产量分别200公斤，250 公斤和 300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。

Q2 4. 某商品的成本函数 为 CC(Q)1000，求：

4(1) Q20时的总成本，平均成本及边际成本；

(2) 产量 Q 为多少时，平均成本最小？并求最小平均成本。 (3) 求平均成本最小时,价格上涨一个单位,成本的增加为多少?

5.给定函数f(x)19x3x2x3，求其单调区间，极值，凹向区间及拐点。

证明题

1.证明当x0时，ex1x

.

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2．证明当x0时，ln(1x)x； 3. 证明当x0时，ln(1x)lnx11x

第五章 不定积分

一、知识结构：

二、例题：

判断题

1. 2. 3.

F(x)dxF(x)C ； df(x)dxf(x)C ； dx若 f(x) 可导，则 df(x)f(x) ；

1设f(x)1且f(0)0,则f(x)dxx2xC ；

2xcosxdxxsinx2cosxC ；

1x1dx ____ ；

设 exsinx 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) = _____；

1xlnxdx ______ ；

4. sinx 是 cosx 的一个原函数； 5. 若 f(x)dxx3C, 则 f(x)x2 ； 6. 7.

填空题

1. 2. 3.

.

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4. 5. 6. 7. 1.

d(lnxcos2xex)dx_______ ； 函数 ________ 的原函数是 ln(5x) ；

若 f(x)dxarcsin2xC ，则 f(0) ______ ；

2ln2xtan2xdx= ；

选择题

若 f(x)g(x) ，则必有 ( )

f(x)dxg(x)dx

(C) df'(x)dxdg'(x)dx (D) df(x)dxdg(x)dx

(A) f(x)g(x) (B) 2.

设 F(x)G(x)，则 ( )

(A) F(x)G(x) 为常数 (B) F(x)G(x)为常数

dd(C) F(x)G(x)0 (D) F(x)dxG(x)dx dxdx3. 下列等式中，正确的是 ( )

d(A) df(x)dxf(x) (B) f(x)dxf(x)dx

dxd(C) f(x)f(x)C (D) df(x)dxf(x)dx

dx4. 已知函数 f(x)sinx ，则 f(x) 的所有原函数是 ( )

(A) cosx (B) cosxC (C) sinx (D) sinxC 5. 下列计算过程正确的是 ( )

x1sinx1(A) cos2dxdx(xcosx)C

222x1cosx1(B) cos2dxdx(xsinx)C

222x1cosx1(C) cos2dxdx(xsinx)C

222x1sinx1(D) cos2dxdx(xcosx)C

2226. 若 f(x)dxx2e2xC ，则 f(x)( )

(A) 2xe2x (B) 2x2e2x (C) xe2x (D) 2xe2x(1x)

计算与应用题

x4131 (xx3)dx 2 2dx

1xxx(1x)223 x(x5)dx 4 dx

x5 3xexdx 6 cos2xdx

27 2cos2xdx 8 1dx

2x59 x .

1x2 dx 10 e5tdt

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11 e3xxdx 12 13 (32x)3dx 15 sin 17 ttxdx 12x14 3dx23x2 dt 16 xexdx

dx 18 23x23x3 19 4dx 20 xcosxdx

sinxdx 3cosx21 23

.

1xlnxdx 22 xarctanxdx 24 xsinxdxxexdx

xexdx 25