高等数学(少学时)第二章课后习题答案

习题2-1

1. 求函数y3x从x1变化到x1x处的改变量y，并求

2y的值。

x0xlim解：yf(1x)f(1)3(1x)23123(12x(x)2)3

3(x)26x

y3(x)26x3x6 xxylim(3x6)6

x0xx0lim4．

5（3）yxx

3解：yx5xx331x516516x5

y16(x5)1651615x11x5

x23x2（5）y 4xx23x2x2解：y14xx4y29(x12)292x321(2)34x29x12

291212912xx 1212175（1）. 已知曲线

ylnx通过点P（1,0），

（1）求曲线过点P的切线方程； （2）求曲线过点P的法线方程。

1

1ky'|1，k-1-1解：因为y'(lnx)'，切. x1法k切x（1）切线方程为 y01(x1)， 即，yx1.

（2）法线方程为 y01(x1) 即，y(x1). 5（2）. 已知曲线

ysinx通过点P(,42) 2（1）求曲线过点P的切线方程； （2）求曲线过点P的法线方程。 解：因为y'(sinx)'cosx，k切y'|

（1）切线方程为 y4x21，k法--2

2k切22(x)， 224即，8y42x2(4)0 （2）法线方程为 y22(x) 24即，4y42x2(2)0

习题2-2

lnx1（6）.y2

x12xlnx(2x)lnx(lnx)x2lnx(x2)x解:y(2) x(x2)2x412lnx 3x 2

2（6）.

y(3x1)3(2x3)5

35解：y[(3x1)(2x3)]

[(3x1)3](2x3)5(3x1)3[(2x3)5]

3(3x1)2(3x1)(2x3)55(3x1)3(2x3)4(2x3)9(3x1)2(2x3)510(3x1)3(2x3)4 (3x1)2(2x3)4(48x37)

4（1）. 求

y(x51)2的二阶导函数。

555y2(x1)(x1)2(x1)5x 10x610x 解：

y(10x610x)60x510

习题2-4

4（4）.求e0.08的近似值

解：设因为

f(x)ex,则f(x)ex，由于0.0800.08，取x00,x0.08

x0.08很小，所以由公式f(x)f(0)f(0)x得

f(0.08)f(0)f(0)0.08e0e00.081.08

5.水管壁的正截面是一个圆环，设它的半径为10cm，壁厚为0.05cm，利用微分来计算这个圆环面积的近似值。 解：因为圆环的面积等于水管壁截面内外两个圆的面积之差，所以它就是水管壁截面内圆面积s2R2当R在R0取得该变量R时的改变量s。

02s(R)2R0 R求sR在0处的导数RR0RR由公式s2R0R,而R0.05，R010

2（cm于是s23.14100.053.142）

因此，这个圆环面积的近似值为3.14cm。

3

第三章课后习题答案

习题3-1

2（2）. limsin5x

x0x0则，有 解：这是\"\"型不定式，由洛必达法0limsin5x（sin5x）limlim5cosx5

x0x0x0xx11x（6）. lim

x0xe1“”解：这是型不定式，

11ex1x0（ex1x）lim（x）lim(型)limx0xx0x(ex1)0x0[x(ex1)]e1ex10（ex1）limx(型)limx x0e1xex0x0[e1xex]ex1limx x0eexxex2exex3（1）. lim

xexexexex1e2xlim1 解：limxxeexx1e2x3（2）. limxxsinx

xxsinxsinxlim(1)xxxx解： 11lim(sinx)[无穷小乘有界函数]101xxlim 4