材料结构与性能复习参考

晶体学点群

1，点群的定义:点对称操作的集合所构成的群称为点群，点群也满足群的定义。 2，群的性质 :封闭性:任意两个操作的积，还是集合内的一个操作

结合律：对连续操作有（fg）h=f（gh）。注意组合过程不能颠倒次序！ 有单位元素：有单位元素，即恒等操作1（E），而且只有一个。 有逆元素：对称操作都有逆操作，即操作的转换矩阵都有逆矩阵。

3，晶体结构中的对称元素共有多少种，列举并说明：

晶体的微观对称元素有以下七类：这七类对称元素的在空间的组合所表现出的对称性的集合即为空间群，它反映了晶体微观结构的全部对称性。

1、旋转轴(如果晶体绕轴旋转一定角度后，再作垂直此轴的镜面反映，可以产生晶体的等价结构，则将该轴和镜面组合所得到的对称元素称为旋转轴)：1，2，3，4，6 2、反映面(为一假想平面，相应的对称操作是镜面的一个反映)：m

3、对称中心(对于晶体中任何一个原子来说，在中心点的另一侧，必能找到一个同它相对应的同类原子，互相对应的两个原子和中心点同在一条直线上，且到中心点有相等距离。这个中心点即是对称中心，通常称之为对称心)： 1 4、反轴： 4

5、螺旋轴：21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65 6、滑移面：a，b，c，n，d 7、平移

4，说出下列符号的含义：

Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。

Cnh:具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv:具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。

Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn: 具有一个n次反轴的点群。

T: 具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。

O: 具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。 5，32种点群表示符号和性质：

①旋转轴：C1,C2, C3, C4, C6代表有 1,2,3,4,6度旋转轴

3②旋转轴加上垂直于该轴的对称平面： 符号C1h=Cs,C2h,C3h,C4h,C6h代表m,2/m, 6 ,4/m,6/m

m③旋转轴加通过该轴的镜面：符号为C2v,C3v,C4v,C6v代表性质为 mm2,3m,4mm,6mm ④旋转反演轴：S2= Ci, S4,S6=C3d; 1,4,3⑤旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴： 符号为D2,D3,D4,D6代表性质为 222,32,422,622 ⑥旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：D2h,D3h,D4h,D6h； mmm, 6 m 2 ,4/mm,6/mm ⑦D群附加对角竖直平面： D2d,D3d；4 3 m , 2 m⑧立方体群：T, Th, O, Td, Oh； 23,m3,432, ,m3m 4 3 m6，外延法推导32种晶体学点群，如单斜和正交：

①单斜晶系：其在三斜晶系的基础上多了一个二次轴2(c2)或2次旋转反演轴 2 =mh (1) 当一物体有单一的2次对称轴是就具有单斜对称性，构成一点群，用2或C2表示，即2(C2)。这是一个阶数h为2的点群。其对称操作为{1，2}或{E，C2}。 (2) 当一物体只有 2 或m对称时，也构成阶数h为2的点群{1，m}或{E ，σh}。其点群符

号为m(C1h)。

(3) 如果单斜晶系中2及轴同时存在，则必有反演对称性。这就形成了一个新的点群 {1，2，1 ，m}或用熊夫利斯符号表示成{E，C2，i,σh}。其中h为4，即为四元素点群。

2 {C2h}，重要元素为2和m。 符号是 m②正交晶系：正交晶系有两个互相垂直的2次轴或两个镜面，因此也必有第三个2次轴。

2(1) 正交晶系中二次轴必然相互垂直。点群{ 1， 2 [100 ] ， [010 ] ， 2 [001 ] }或用222表示。

这里国际符号按字符顺序表示的内容依次是a、b和c轴的对称性。对称特征：h是4 。 (2)两个相互垂直的镜面决定了两个镜面的交线上有一个2次轴。如果两个镜面分别垂直于a、

mm2b向，则c必为2次轴。构成点群{ 1， [100 ] ， [ 010 ] ， [001 ] }或mm2表示，h是4。 (3)在不改变正交晶系的前提下，可使a、b、c轴均为2次轴，且有垂直于三轴的3个镜面。3个镜面可导出反演操作。构成一个新点群，即{1, 2 [100]， 2 [010]， 2 [001]， m [100]， m [010]， m [001]，1 } 或用 2 2 2 表示，也可简略成mmm，其h是8。

mmm7，对称元素组合定律推导7种晶系32种晶体学点群： （1） 对称轴Ln与垂直于它的对称面的组合。（5种）

2 L 2PL1PPLPC L 4  P   对于奇次轴L1和L3 3L 4 PC6LPL66i L  P   L PC

（2）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。(5种）

4 L 1  P //  P L 2  P //  L 2 L 3  P //  P L  P //  L 4 4 P L 6  P //  L 332 PL 6 6 P（3）对称轴Ln与包含它的对称面以及垂直于它的对称面的组合

由于垂直Ln的P以及包含的P之交线必定为垂直Ln的L2，所以

L L n  P   P //  L n  P   P 2  L n nL 2 (n  1)P 当n为偶数时，还会派生出一个//  2对称心来，故可以有以下组合： L 1  P  2 L2PPP//3L3PC//L2P262 L 3 // 3 3 L  L 6 2 L 4  P   P //  L 4 4 L6PPP L4 PL 2 5 PCPi3L3P//L6L7PC8，两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移操作，并且该平移操作垂直于滑移面的分量也是一个平移操作（图A）

a1 •a2 = m1 •a/2 •m2 •a/2 = m1 •m2 •a= t•a= T

图A 图B

9，平移T与滑移面G斜交，如滑移面的平移分量为g1, T在垂直于滑移面的平移分量为t，平行于滑移面G的平移分量为g2，则存在一平行于G的滑移面G’，它与滑移面G’相距t/2，滑移操作的平移分量为g1 + g2（图B）

G •T= m •g1 •t•g2 = m1 •g1 •g2 = G’

10，c4同形的空间群推导：

C4的国际符号为4，四方晶系，有P，I两种格子，在微观结构中，4次轴可以为4，41，42，43次螺旋轴。与P, I格子组合得：P4, P41, P42, P43, I4, I41, I42, I43八种。

I格子产生附加平移：(a+b+c)/2, 它与螺旋轴组合：

42•(a+b+c)/2 = 4 •c/2 •(a+b+c)/2= 4 •(a+b)/2•c = 4 •(a+b)/2= 4 (在a/2或b/2处） 43•(a+b+c)/2 = 4 •3c/4 •(a+b+c)/2= 4 •(a+b)/2•c/4= 4 •c/4 = 41(在a/2或b/2处） I4 = I42，I41=I43，C4同形的空间群有P4, P41, P42, P43, I4, I41六种。 11，滑移面的种类，滑移方向，滑移距离： 滑移面 滑移方向 滑移距离 a x 1/2a b y 1/2b c z 1/2c n x+y,x+z,y+z 1/2(a+b);1/2(a+c);1/2(b+c) d x+y,x+z,y+z 1/2(a+b);1/4(a+c);1/4(b+c) 12，微观对称性和宏观对称性的区别与联系：

晶体的微观对称元素：

晶体的宏观对称性是晶体结构微观对称性的反映。晶体的宏观对称元素在微观对称中也同样存在。晶体结构是由其结构单位（晶胞）在三维空间上的无限排列，晶体的微观对称性还具有宏观对称不能出现的对称元素—平移，平移和旋转或反映的复合对称操作，又产生新的对称元素，螺旋轴和滑移面。它们是在微观的无限空间中所特有的，称为微观对称元素。

微观对称性和宏观对称性的主要区别：

1、宏观对称性对称元素必须相交一点，微观对称性中对称元素不须交于一点，可以在三维空间无限分布； 2、宏观对称性对称元素只考虑方向，微观对称性中需要考虑对称元素的相互位置关系。

晶体对称定律证明

在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，二不可能存在五次及高于六次的对称轴。

B1ma a α a B2 α a

a

A1A2 A3A4

假设阵点A1、A2、A3、A4相隔为a，有一个n次轴通过阵点。每个阵点的环境都是相同的，以a为半径转动α角度（α=3600/n），会得到另外的阵点。绕A2顺时针方向转α角得到阵点B1，绕A3逆时针方向转α角得到阵点B2。由格子构造规律知，直线B1B2平行于A1A2，且B1B2长度为周期a的整数倍，记作ma，此处m为整数。故可以得出：

a+2acosα=mα cosα=(m-1)/2 (m-1)/21

m coα α n 3 1 00 1 2 1/2 600 6 1 0 900 4 0 -1/2 1200 3 -1 -1 1800 2 a

晶体学点群的相关证明

1，单斜晶系中2及2同时存在，则必有反演对称性：

100100用矩阵加以证明：设c为2及2轴，有2001010，2001010，所

001001以有：200120011000101

0012，两个互相垂直的镜面决定了两个镜面上交线上有一个2次轴

1002m0102证明：001100，010m010001100010，因此有： 001210010022010010001 0013，点阵垂直于4次轴的方向加一个2 次轴，则必有另一个2次轴 证明：4001210010100010200110 001001

位错的相关计算

Gb21，二个单位长度同位螺位错的作用力F与它们之间的距离d的关系为：F，位错

2d的柏氏矢量b22a=*0.3nm=0.212nm=2.12*10-10m 222，两个螺位错从100nm推进到8nm所做的功为：

Wd1d2Gb2Gb2dd2d210d1d21Gb2d2ddln= d2d17*10*0.211*102102ln100J/m0.125*1010J/m 83，一个多晶体的晶粒直径为50m，在晶粒中都有位错源。若在晶界萌生位错所需应力约为

G，为需要多大的外力才能使晶界萌生位错？位错塞积群中的位错很多时，可以假设10塞积群长度和位错源到原先位错的距离相同，位错的柏氏矢量b=0.3nm。

解：在位错塞积群前沿有应力集中，如果位错塞积群的位错数目为n，则应力集中约为外应力的n倍。当外力为0，位错塞积群的长度为L，塞积群位错数目为

n1L02GbG，当应力集中达到晶界萌生位错所需的应力，则会在晶界萌生位10bG时会萌生位错，故外加应力0G101L101/21/2错，即：

n01L0Gb2

0.3*1090G1010.350*1065.22*104G

位错相关题目

1，两个平行刃位错或两个平行螺位错之间的相互作用？ 两个平行螺位错的交互作用(图略)：假设位错A和位错B是同号螺位错，位错A在原点，位错B的位置是r,，位错A的应力场只有一项z，位错A对位错B的交互作用力为：FinABrBzAb，位错B对位错A的交互作用力的大小和上式相同但方向相反。 2，两个平行刃位错的交互作用(图略)：位错A和位错B是同号位错，位错A在原点，位错B的位置是x1,x2，它们的柏氏矢量都平行于x1轴。位错A的应力场中的13和23为

B0。因为只有第3分量，即k=3；b只有第一分量，即l只能为1。因此位错A对位

错B交互作用的分量为：

22bAbBx1x1x2bAbBcoscos2123b，第二分量为： 2221x1x221rAB21BFABin1FABin222bAbBx23x1x2，位错B对位错A的交互作用力大小和213b22221xx12AB11上式相同，但方向相反。如果位错A和位错B是异号位错，则交互作用力是上式的反号。

分别解释下列空间群符号表示的意义：

Fmmm I4/mmm Pm3m Im3 I4/amd

Fmmm所对应的点群为mmm，完整形式为

222，晶体的点阵为面心斜方结构。

mmm在001方向有对称面以及与之垂直的对称轴2 在010方向有对称面以及与之垂直的对称轴2 在100方向有对称面以及与之垂直的对称轴2

I4/mmm所对应的点群为

4422mm，其完整形式为，晶体点阵为体心立方结构 mmmm在001方向有对称面m以及与之垂直的对称轴4 在100方向有对称面m以及与之垂直的对称轴2 在110方向有对称面m以及与之垂直的对称轴2 Pm3m所对应的点群为m3m，其完整形式为

423，晶体点阵为原始立方结构 mm在001方向有对称面m以及与之垂直的对称轴4 在111方向有倒转轴3

在110方向有对称面m以及与之垂直的对称轴2 I4/amd所对应的点群为

4422mm，其完整形式为，晶体点阵为体心立方结构 mmmm在001方向有滑移面a及与之垂直的螺旋轴4 在100方向有对称面m及与之垂直的螺旋轴2 在110方向有滑移面d及与之垂直的螺旋轴2

电子函数的性质和意义：

电子密度函数的形式为：

1xyzVHKLFHKLcos2HxKyLzHKL，FHKL称为结构振幅，

22hkl，HKLarctgHKL称为相角。FHKLhklHKL。其中H,K,L的数值都是从HKL到，即级数是用无穷项的加合来表达电子密度的分布。实际可获得的结构因子数是有限的，利用有限的结构因子计算电子密度函数能近似地求出晶胞内原子的实际分布情况。例如可以计算三维电子密度函数中某些截面上的分布密度值。如将x,y,z中的某一个变量固定为常数，计算相应二维截面，并以等密度线的方式把二维截面上的密度分布绘于平面图上，以便直观分析。

其它（参考

2008考试提纲）

① 螺旋轴造成的系统消光：

假设晶体在c方向有一螺旋轴21，且位于x=0，y=0处，这种螺旋轴操作可使点(x,y,z)移到对称位置(-x,-y,z+1/2)。

计算结构因子Fhkl，当h=k=0时，l为奇数时，F00l=0。

所以c有二次螺旋轴21时，00l型衍射中l为奇数时的衍射一律消失。

同样，a或b方向有二次螺旋轴21且h或k为奇数时h00型或0k0型衍射一律消失 n/ 2

l为偶数时,F00l2fjexp(i2lzj) j1② 滑移面造成的系统消光：

设垂直于c轴有一滑移量为1/2b的b滑移面，且位于z=0处。这种滑移面操作可使点(x,y,z)移到对称位置(x, y+1/2,-z)。计算结构因子Fhkl。 当l=0且k为奇数时，Fhk0=0。

即垂直于c向有b滑移面时hk0型衍射中k为奇数的衍射一律消失。 同样，hk0型衍射中h为奇数时，也出现系统消光。

h0l型、0kl型中h，l分别为奇数；k，l分别为奇数时，出现系统消光。 对于hk0，h0l及0kl型衍射，  h  k  奇数或 hk4n(n为自然数)

hl奇数或hl4n(n为自然数) kl奇数或kl4n(n为自然数)所有情况也出现系统消光。 ③物理性能判别非中心对称性：

倍频效应：当激光通过点群为432，622，422以外的非中心对称性晶体时，其波长会缩短

一倍，即频率增加一倍。检测透过晶体的激光频率，有倍频效应则该晶体没有中心对称性。

压电效应和热电效应：压电效应只会发生在没有中心对称的晶体中；非中心对称的晶体收

到外力作用时，在晶体的某些表面上会呈现出电荷，而且电荷密度与机械力成正比，当外力反向时，电荷符号也会改变。这种因机械力而使电介质晶体极化并形成晶体表面电荷的效应称为压电效应；点群432例外，压电效应为0；某些晶体的偶极矩能够自发地有序排列，即自发极化。当温度变化时这种自发极化强度也会随之发生变化，这种效应称为热电效应，也称热释电效应；极化反向往往是晶体内的高对称轴方向；中心对称的晶体不会产生热电效应，但无中心对称的晶体也不一定会有热电效应。10种点群的非中心对称晶体产生热电效应：三斜晶系1，单斜晶系2、m，正交晶系mm2，四方晶系4、4mm，三方晶系3、3m，六方晶系6、6m；测定晶体的压电效应及热电效应有助于判定晶体的非中心对称性。

旋光性：当一束偏振光透过某些晶体时，偏振光的偏振平面会发生旋转，因此这种晶体有

旋光性。有旋光性的晶体没有中心对称性

总结：测量到晶体有倍频效应、热电效应、压电效应和旋光性可以判定晶体没有中心对称

性，但如果未测到上述物理性能则不能判定晶体没有中心对称性。

④简述体心立方金属轧制织构及影响因素：

 体心立方轧制织构主要有111 uvw和hkl 110两类。主要有112110、

111110、111112、001110和110110等类型

材料的化学成分对体心立方金属各形变织构组分的强弱有很大影响。工业纯铁的冷轧织构组分主要有001，则冷轧织110和112110，若含有少量的碳或氮（低于0.01%）

构除了001110和112110组分外，还会有111110和111112组分。 ⑤简述帕特森函数及其基本特征：

1 帕特森函数为：Prst，其特征为： Fhklexpi2hrksltVhkl 单胞内有n各原子，则相应矢量空间内有n2各帕特森函数峰，n2个峰中有n个原子自身的矢量峰，且重叠在一起，在原点构成一个很大的P（000）峰，所以帕特森峰中原点峰最大。另外n(n-1)非原点峰因有相互重叠，会使实际峰的额数目减少。晶体对称性越高，非原点峰重叠的机会也越多，造成非原点峰的数目下降。帕特森函数峰的高低原则上与组成该峰的两原子核外电子数目的乘积成正比。 ⑥直螺位错应力场的直角坐标表达式：

2xzGbyGbx，， xxyyzzxy0； yz22222xy2xy2x23x12x2 直刃位错应力场的直角坐标表达式：

11b21vx12x222sin2cos2 21vrb2212b2x2x12x221vx2x2212sincos2

21vrcoscos2

21vrbb2x1x12x221vx2x2212b33v1122， 13230

⑦体心立方中可能存在的位错反应：

 若在(110)滑移面上2个<111>/2型位错发生反应：111/2111/2001

100面的位错反应也可能存在：a001a100a101

在112面上柏氏矢量为<111>/2的全位错核心可以“分解”为两个分位错，并夹带着不

111111111111111111111111稳定层错：，。对于螺位错，263366位错也可以作非共面扩展。在<112>面上的一个<111>/2螺型位错可以“分解”为三个

<111>/6型的分位错，并扩展到以柏氏矢量为晶带轴的三个<112>面上。例如，全位错作

1111111111111111，对于纯螺位错，位错核心可如下形式“分解”：2666能在{110}面作非共面式扩展。在以<111>为交线3个{110}面上的非共面扩展的情况是：

111/2111/4110/8101/8011/8。