第３ｌ卷 第４期 ２０１１年 ７月 高师理科学刊 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ ＣｏＨｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ＶｏＬ ３１ Ｎｏ．４ Ｊｕ１．２０１１ 文章编号：１００７—９８３ １（２０１ １）０４—００７７—０３ 在线性代数教学改革中融人数学建模思想的研究 岳晓鹏，孟晓然 （许昌学院数学与统计学院，河南许昌４６１０００） 摘要：阐述了将数学建模思想融入到线性代数教学改革的必要性，给出了如何将建模思想融入线 性代数教学改革各个环节的方法，以提高学生对实际问题的分析和解决能力． 关键词：数学建模思想；线性代数；教学改革 中图分类号：０１５１．２：Ｇ６４２．０ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１。２０１１．０４．０２６ Ｓｔｕｄｙ ＯＮ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｔｈｏｕｇｈｔ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｉｎｔｏ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｒｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ＹＵＥ Ｘｉａｏ—ｐｅｎｇ，ＭＥＮＧ Ｘｉａｏ－ｒａｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＸｕｃｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｃｈａｎｇ４６１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｅｘｐｌａｉｎｅｄ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｏｆ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｔｈｏｕｇｈｔ ｉｎｔｏ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｒｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｌｌｅｇｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｅｓｐｅｃｉｌｌａｙ ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ，ｇａｖｅ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｈｏｗ ｔｏ ｂｒｉｎｇ ｏｕｔ ｉｔ ｉｎ ｅｖｅｒｙ ｃｈａｉｎ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ ａｂｉｌｉｔｙ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ａｎｄ ｓｏｌｖｅ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ ｔｈｏｕｇｈｔ；ｌｉｎｅａｒ ａｌｇｅｂｒａ；ｔｅａｃｈｉｎｇ ｒｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ２Ｏ世纪５Ｏ年代以来，我国在理工科各专业开设线性代数课程时，以介绍理论部分为主，教学主要是 偏重自身的理论体系，强调其基本定义、定理及其证明，对线性代数的方法和应用重视不够，几乎不涉及 到具体的应用实例．同时，由于对线性代数课程的重视程度不够，课时安排较少，在线性代数的教学实践 过程中，要完成线性代数的理论和实践教学内容也非常紧张．教师在课堂上争分夺秒，学生在学习中苦于 应付，大大降低了学生的学习热情，也不利于学生从中学向大学教育的过渡和学习方法的改变．在这样的 形势下，线性代数教学也需要与时俱进，现有的线性代数课程的教学体系内容和方式同样需要进行调整和 改革…． １数学建模的发展 不论是用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是 将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表述出来，即建立所谓的数学模型，还要将求解得到的结果返 回到实际问题中去，这种解决问题的全过程称为数学建模 ． ２Ｏ世纪８０年代初数学建模教学开始进入我国大学课堂，经过２０多年的发展现在绝大多数本科院校 和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题 的能力开辟了一条有效的途径． 收稿日期：２０１ Ｊ－Ｊ０２—２０ 基金项目：河南省自然科学基金资助项目（０７２３００４４０１９０） 作者简介：岳晓鹏（１９８１－），男，河南开封人，讲师，硕士，从事矩阵理论及应用研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｙｕｅｘｉａｏｐｅｎｇ００１＠１６３．ｃｏｒｎ ７８ 高师理科学刊 第３１卷 从１９９４年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛起，十儿 年来这项竞赛的规模以平均年增长２５％以上的速度发展．２０ｌ０年国内外共有ｌ １９５所院校、１７ ３０３支参赛 队伍、５万多名来自各个专业的大学生参加竞赛，数学建模活动，已经成为社会和学界普遍关注的一项大 学生课外科技活动． ２数学建模思想融入线性代数改革的途径 ２．１ 在线性代数定义中融入数学建模的思想 线性代数中的基本定义都是从实际问题中经过抽象和概括得到的，因此，在讲授线性代数定义时，町 借助于定义产生的历史背景、产生实例及产生过程进行讲解．通过对实际背景问题的提出、分析、归纳和 总结过程的引入，使学生感受到由实际问题背景转化为数学定义的方式和方法，逐步培养学生的数学建模 思想 ． 例如：在行列式定义的引入时，如果仅仅告诉学生这是求解方程组的需要，由于缺乏应用背景，学生 会感到非常空洞且难于理解，为此可以模拟法国数学家Ｃａｕｃｈｙ求解空间多面体模型体积的过程，从平行四 边形面积和空间六面体体积出发，得到２阶和３阶行列式的基本公式，从而引发学生对高阶行列式公式推 导的兴趣 ． 在矩阵概念的引入时，可以从诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家和数学家Ｌｅｏｎｔｉｅｆ的投入产出模型 出发，建立简单的投人产出模型，引导学生构建低维直接消耗矩阵，有了实际应用背景，学生学习的目的 性会更加明确． ２．２在线性代数例题中融入数学建模的内容 数学应用题就是最简单的数学建模问题．因此，在讲授理论知识的同时，要选择一些现实问题，引导 学生进行分析，通过适当的简化和合理的假设，建立简单的数学模型并进行求解，从而去解释现实问题．这 样既让学生了解了数学建模的基本思想，又让学生体会了线性代数在解决现实问题中的重要作用．同时还 有利于提高学生分析问题和解决问题的能力． 对于不同的专业，在补充数学模型时，可以有所侧重地补充不同类型的模型，例如：对于电信专业的 学生，在方程组的相关例题中，可以适当加入电路网络方面的数学模型；对于信息专业的学生，在线性变 换的相关例题中，可以加入关于计算机图形处理模型；对于土木专业的学生，在矩阵的相关例题中，可以 加入弹性钢梁受力形变模型等 ． ２．３在线性代数课外习题中融入数学建模的内容 传统的线性代数教学体系和内容都侧重于理论，而真正的实际运用训练则远远不够，数学建模习题就 是培养学生用所学知识来解决实际问题的很好的训练．开展数学建模习题活动，不但是线性代数课程的补 充和升华，而且还可以培养学生的团队精神和互相合作的精神．可以每个月针对所学的内容开展１次数学 建模训练，通过数学建模活动加强和巩固课堂教学内容．例如：简单的交通流模型、人口预测问题、奶制 品销售问题、线性规划类问题等．某种意义上，数学建模就是一个小型的科研活动，通过此项活动能使学 生更早地接触到科研方法，培养学生解决具体问题的能力． ３结束语 近年来，在组织学生参加全国大学生数学建模竞赛过程中，深深地感到深化大学数学教学改革特别是 线性代数教学改革中融人数学建模思想的重要性和必要性．数学建模是综合运用数学、计算机等知识解决 实际问题的过程，它需要学生拥有多方面的知识和能力．因此，通过数学建模的学习，不仅培养了学生综 合运用各个方面知识解决实际问题的能力，而且培养了学生的语言表达、科技写作、创新精神、团队合作 等多方面的能力，从而提高学生的整体综合素质。所以在线性代数教学改革中适当融人建模思想，有利于 学生整体综合素质的提高，适应素质教育的要求，让学生终生受益． 同时，如何更有效地将数学建模思想融人线性代数教学改革是一个有待』 大教育工作者继续深入探讨、 研究和实践的大的工程，需要广大教育工作者付出更多的努力 第４期 岳晓鹏，等：在线性代数教学改革中融人数学建模思想的研究 ７９ 参考文献： …叶家琛，詹佳．关于《线性代数》教材改革的几点想法【ＪＪ．大学数学，２００６，２２（２）：１６—１９ ［２Ｊ姜启源．数学模型【Ｍ】．３版．北京：高等教育出版社，２００３ 【３】姜启源．数学实验与数学建模［Ｊ１＿数学的实践与认识，２００１（５）：６１３—６１７ ［４】段勇，黄廷祝．将数学建模思想融入线性代数课程教学 中国大学教学，２００９（３）：４３—４４ ［５】Ｄａｖｉｄｃ Ｌ．线性代数及其应用【Ｍ］．沈复兴，译．北京：人民邮电出版社，２００７ ［６］王秀琴．数学建模思想方法融入线性代数教学中的研究与实践【Ｊ］＿工程数学学报，２００５，２２（８）：８９—９３ 在大学数学教学中提高学生数学素养的探讨 黄祖达，张月莲 数学素养是通过课堂教学使学生达到的一种学数学、用数学、创新数学的素养，也叫数学素质．它一般包含５个方面： 主动探寻并抓住数学问题中的背景和本质的素养；熟练地用准确、严格、简练的数学语言表达自己的数学思想的素养；具有 良好的科学态度和创新精神并合理地提出数学猜想与数学概念的素养；以“数学方式”的理性思维，从不同角度探讨解决问 题途径的素养；对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，并建立数学模型的素养“ ． １ 提高大学生的数学素养的基本条件 １．１大学教师较高的数学素养大学教师要不断地加强业务学习、拓宽知识领域、更新知识结构，并能通过“言传”和“身 教”影响学生，成为学生的示范者、咨询者、质疑者和鼓励者． １．２必要的数学基础知识从事不同行业工作的人，需要的数学知识是不同的．专门从事数学研究的工作者，需要比较高 深的数学课程体系，如数学分析、高等代数、微分几何、实变函数与泛函分析、拓扑等．而一般大学生，往往只学高等数学、 线性代数与概率率与数理统计等课程就行．这些数学知识是历经多年积累下来的宝贵财富，是具有高数学素质的人才必须要 掌握的．但目前大学数学都面临教学时数严重不足的困难，因此教师应努力改进教学方法，使学生能在有限的教学课时中掌 握必须的数学基础知识．首先，在教学中不仅要注重数学知识的讲授，更应该注重学生学习能力的培养．课堂实践中可以是 有些内容重点讲解，而有些内容学生自己找参考书解决．其次，应注重培养学生解决实际问题的能力．数学教材大都采用“定 义、公理、定理”的严格逻辑体系，从中很难看出数学与实际问题间的关系．因此在教学时要注意对定义与公理引入的原因、 背景及定理证明过程的分析．否则，学生还是不会运用数学解决实际问题． １．３ 良好的数学思维能力具有良好的数学思维能力也就是需要掌握将实际问题转化为数学问题的能力．数学思维能力在 过去是不受重视的，因为从前大学中开设高等数学是为其后续课程提供支持的．但这些课程学完后，尤其是毕业后，学生往 往将学过的数学知识忘记了，更谈不上在实际中如何应用．现在情况有了重大变化，电脑的普及与大量应用软件的出现，使 得只会读书而不会应用的情形必须加以改变．通过案例教学与数学建模竞赛等方式使学生具备良好的数学思维能力是较好的 途径．由于实际问题多而复杂，许多教师自己也不知道如何处理，因此要在数学建模与数学实验课中进行训练． １．４熟练的数学计算能力 要使学生有熟练的计算能力，一定要给学生开设ＭＡＴＬＡＢ课程，但开课方式则要作重大改革．如 上课时可采用初学时由教师提问题，学生自己看书及上机操作，遇到问题时由教师指导；而入门后学习编程时，则由教师提 问题，对稍难一些的问题由教师先编程序再让学生运行与读程序，后由教师改变问题，学生编程的方法学习等．另外，一个 人同时具备前述的多种能力是不多见的，因而，在平时的教学中应该培养学生的团队协作精神． １．５学习并掌握数学思考力所谓数学思考力，是指能够分部分整理、思考事物结构的能力．在运用这个能力的过程中， 重点是在接触信息时消除自己的偏见，坦诚客观地接触信息．换言之，就是通过消除自己的偏见，准确将信息分类、准确把 握重点，并在此基础上，通过“假设”和“验证”看穿“本质”的能力．再进一步，就是运用逻辑，通过联系这些“本质” 建立“信息基础”的能力． １．６开展数学研究大学生或研究生可以在指导教师的指导下参与并从事有关的数学研究工作，并通过撰写科研论文深刻 体会数学家的辛苦与喜悦，这对数学素养的锻炼是有极大益处甚或其它方法不可替代的．开展数学研究对培养学生不断追求 完美，无穷无尽的推广，恰到好处的限定，远见卓识的归纳，化繁为简，化简为繁，逆向思维等 数学研究必备的品质和能 力将是非常有益的． ２ 关于数学教学的建议 在教学中注重采用研究性教学法，引导学生发现问题、提出问题，并从科研的角度研究问题，激发学生的学习兴趣，探 索解决问题的途径；开设数学建模课，注意培养学生的素质和能力；研制开发相应的教学软件，充分利用网络技术，建立开 放式辅助学习平台，发挥学生自主学习的习惯，使学生的学习时间和空间得到扩展． 参考文献： ［１］吴晓层．案例教学是培养学生数学素质的好方法闭．广西大学学报：自然科学版，２００３（增刊）：５４—５７ 【２］潘庆年．发现数学问题的主要途径与数学研究的基本方法（下）【Ｊ］．惠州学院学报：自然科学版，２００５，２５（６）：１０８一ｌｌｌ （作者单位：湖南文理学院芙蓉学院，湖南常德４１５００３）