变化的纸条

图3-1 图3-2

2222A．34cm B．36cm C．38cm D．40cm

解析：折叠后重合部分为直角三角形．

解：重合部分其面积为2212，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 － 两22个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（cm）．故选B． 例4 将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是 【解析】注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ 解：如图，作QH⊥PA，垂足为H，则QH=2cm， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ， ∴∠APQ=60°， 又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ为等边三角形， HQ在Rt△PQH中，sin∠HPQ = PQ3243 = ，则PQ = ． 2PQ3例5 将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=°，则∠1= 度；△EFG的形状 三角形． 【解析】对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，D‘注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图C‘形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF． FA1GD解：∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称 532∴∠2 = ∠3 = ° 4∴∠4 = 180° - 2 × ° = 52° BEC∵AD∥BC ∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5 又∵∠2 = ∠3 ∴∠3 = ∠5 ∴GE = GF ∴△EFG是等腰三角形． 例6 如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ） ∴AEDAEFB图aFCB图bGCDB图cGFAEDC

【解析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b中的∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．

解：∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=20°，

在图b中，GE = GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°．

例7 如图5-1，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A’、B’处，线段FB’与AD交于点M．

(1)试判断△MEF的形状，并说明你的理由；

(2)如图5-2，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C’、D’处，且使MD’经过点F，试判断四边形MNFE的形状，并说明你的理由； (3)当∠BFE＝_________度时，四边形MNFE是菱形．

A’ A’

B’ B’ D M E A M E A D

C F C N F D’ B B

图5-1

C’ 图5-2

【解析】矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题．由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系．

（1）由折叠可知 ∠MFE=∠EFB，再由 ∠MEF=∠EFB得∠MEF=∠MFE，所以 ME=MF，因此△MEF为等腰三角形；

（2）由（1）ME=MF，同理MF=NF，所以ME=NF，再由ME∥NF得四边形MNFE为平行四边形

（3）若四边形MNFE是菱形，则ME=EF，由ME=MF得ME=MF=EF，△EFM是等边三角形，所以∠MFE=60°，由折叠知∠BFE=∠MFE=60°．

解：（1）△MEF为等腰三角形 理由：因为 AD∥BC 所以 ∠MEF=∠EFB

由折叠可知 ∠MFE=∠EFB 所以∠MEF=∠MFE 所以 ME=MF

所以△MEF为等腰三角形 （2） 四边形MNFE为平行四边形 理由：因为ME=MF，同理NF=MF

所以 ME=NF 因为ME∥NF

所以四边形MNFE为平行四边形 （3） 60．