2019北京大兴区高三(上)期末数学(文)

数 学（文）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）设集合A={xR|x2}，B={xR|x2−3x≤0}，则A（A）[0,+) （B）(2,+) （C）(2,3] （D）[0,2) （2）已知ab0，则下列不等式成立的是

（A）

11（B）abab B等于

（D）2−a2−b

（3）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,−1)，则(1+i)z等于

（C）lgalgb（A）3+i （C）1+i

（B）2+i

（D）1−i

4，则输入i的值为 5（4）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

（5）已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，则“a+b0”是“f(a)+f(b)0”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

（6）已知向量i=(1,0)，j=(0,1)，若|a|=1，则(a+i)(a+j)的最大值为

1 / 11

（A）3 （B）2−1

（C）2 （D）2+1 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

（A）

2 322114（B）

38（C）

3正视图侧视图俯视图（D）2

（8）A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：

A品牌车型 A1 A2 A3 B品牌车型 环比增长率 -7.29% 10.47% 14.70% 环比增长率 -8.49% -28.06% 13.25% 根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论: ①A1车型销量比B1车型销量多；

②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；

④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确结论的个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9） 抛物线x2=y的焦点到准线的距离等于 ．

（10）在ABC中，已知a2+b2=c2−2ab，则C= ________．

B1 B2 B3 y≥0,（11）若x，y满足x−y+1≥0,则z=x−2y的最大值为 ．

x+y−1≤0, 2 / 11

（12）能说明“如果an是等比数列，那么a1+a2,a3+a4,a5+a6仍为等比数列”为假命题的an的一个通项公式

为_______．

（13）直线l:y=kx+k与圆C:(x−1)2+y2=1交于A，B两点，当ABC的面积最大时，k的值为 ．

−|x|(x+2),x≤a,f(x)=（14）设函数①若a=1，则f(x)的零点有_____个； lnx, xa.

②若f(x)的值域为[−1,+)，则实数a的取值范围是

．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知函数f(x)=sinxcosx+（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

ππ（Ⅱ）求f(x)在区间[−,]上的最大值和最小值．

643(cos2x−sin2x)． 2

（16）（本小题13分）

已知数列an满足a1=1，an+1=3an，数列bn满足b1=1，且an+bn是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求an和bn的通项公式； （Ⅱ）求bn的前n项和Sn．

（17）（本小题13分）

自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；

（Ⅱ）从被抽取的年龄在[50,70]使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50,60)的概率；

3 / 11

（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购

物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？

（18）（本小题14分）

1如图，正方形ABCD和梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，EF=BD， AC与BD交于点O，G，

2H分别为线段AB，BF的中点．

E（Ⅰ）求证：AC⊥BF； （Ⅱ）求证：GF∥平面ADE；

DOFHC（Ⅲ）若DF⊥BF，求证：平面AHC⊥平面BGF．

（19）（本小题13分）

3已知函数f(x)=x−ax+AGB1． 4（Ⅰ）若x轴为曲线y=f(x)的切线，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)在[0,1]上的最大值和最小值．

（20）（本小题14分）

x2y21已知椭圆C:2+2=1(ab0)的离心率为，左顶点为A(−2,0)，过椭圆C的右焦点F作互相垂直的两条

ab2直线l1和l2，分别交直线l:x=4于M，N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求FMN的面积的最小值；

（Ⅲ）设直线AM与椭圆C的另一个交点为P，椭圆C的右顶点为B，求证：P，B，N三点共线．

4 / 11

数学试题答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 A 8 B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 1（9）

2 （10）

3π 4（11）1

（12）an=(−1)n（答案不唯一，满足公比为−1均可）

（13）7 （只写一个且正确给3分） 71（14）2 ；[,2−1]（第一个空3分，第二个空2分）

e三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

13解：（Ⅰ）因为f(x)=sin2x+ ……4分cos2x22

π=sin(2x+)， ……5分

3所以f(x)的最小正周期T=2π……7分 =π.

2

πππ5π（Ⅱ）因为x[−,] ，所以2x+[0,]. ……2分

6436所以当2x+当2x+（16）（共13分）

πππ时，f(x)取得最大值为1， ……4分 =，即x=1232ππ=0，即x=−时，f(x)取得最小值为0. ……6分 36解：（Ⅰ）由a1=1，an+1=3an，

an是首项为1，公比为3的等比数列. ……1分

所以 an=3n−1． ……2分 因为 a1+b1=2， ……3分 所以an+bn是首项为2，公差为2的等差数列．

5 / 11

可得an+bn=2+(n−1)2=2n． ……5分

所以bn=2n−3n−1． ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， bn=2n−3n−1． 数列bn的前n项和为 Sn=b1+b2+b3++bn

+(2n−3n−1) ……1分

=(21−30)+(22−31)+(23−32)+ =2(1+2+3++n)−(30+31+32+3n−1) ……2分

n(n+1)1(1−3n)− =2 ……6分 21−33n−1 =n(n+1)− ． ……7分

2（17）（共13分）

解：（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，

年龄在[30, 50)且未使用自由购的有3+14=17人，

……1分

所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30, 50)且未参加自由购的概率估计为

P=17. ……3分 100（Ⅱ）设事件A为“这2人年龄都在[50,． ……1分 60)”

60)的4人分别记为a1，a2，a3，a4，被抽取的年龄在[50, 70]的2人分别记为b1，b2 ，被抽取的年龄在[60，

从被抽取的年龄在[50,70]的自由购顾客中随机抽取2人

共包含15个基本事件， ……2分

a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2b1，a2b2， 分别为a1a2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2， ……3分

事件A包含6个基本事件， ……4分

a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4， ……5分 分别为a1a2， 6 / 11

则P(A)=62=． ……7分 155

（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3+12+17+6+4+2=44人，

……1分

所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为

445000=2200. ……3分 100（18）（共14分）

解：（Ⅰ）因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD． ……1分 又因为平面ABCD⊥平面BDEF，

平面ABCD平面BDEF=BD，

所以AC⊥平面BDEF． ……3分 又因为BF平面BDEF，

所以AC⊥BF． ……4分 （Ⅱ）方法一：取AD中点M，连接ME，MG，

在ABD中，G，M分别为AB，AD的中点， 所以GM∥BD且GM=1BD． ……1分 21BD， 2又因为EF∥BD且EF=所以GM∥EF且GM=EF． ……2分

所以四边形GMEF为平行四边形.

所以GF∥ME.……3分

因为ME平面ADE，

GF平面ADE， ……4分

所以GF∥平面ADE． ……5分

7 / 11

方法二： 连接OF，OG， 因为EF∥BD且EF=1BD， 2所以EF∥OD且EF=OD.

所以四边形DOFE为平行四边形． ……1分 所以OF∥DE． 因为DE平面ADE，

OF平面ADE，

所以OF∥平面ADE． 因为O，G分别为BD，AB的中点， 所以OG∥AD．

又因为OG平面ADE， AD平面ADE，

所以OG∥平面ADE． 因为OGOF=O，

所以平面GOF∥平面ADE． 因为GF平面OGF，

所以GF∥平面ADE． OH，

在BDF中，O，H分别为BD，BF的中点，

所以OH∥DF. 因为DF⊥BF，

所以OH⊥BF. 因为BF⊥AC，

ACOH=O，

8 / 11

……2分 ……3分 ……4分 5分

……1分 ……2分 ……（Ⅲ）连接AC平面AHC，OH平面AHC，

所以BF⊥平面AHC. ……4分 因为BF平面BGF，

所以平面AHC⊥平面BGF． ……5分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）由于x轴为y=f(x)的切线，设切点坐标为(x0,0)， ……1分

则x30−ax0+14=0，……① 又f(x0)=0，即3x20−a=0， ……② ②代入①，解得x10=2， 所以a=34．

（Ⅱ）f(x)=3x2−a，

（1）当a≤0时，f(x)≥0，f(x)在[0,1]单调递增， 所以x=0时，f(x)取得最小值

14． x=1时，f(x)取得最大值54−a． （2）当a≥3时，f(x)0，f(x)在[0,1]单调递减， 所以，x=1时，f(x)取得最小值54−a．

x=0时，f(x)取得最大值

14． （3）当0a3时，令f(x)=0，解得x=a3， x，f(x)，f(x)在区间[0,1]的变化情况如下：

9 / 11

……2分 ……3分 ……4分 1分

……3分

……4分 ……5分 ……x (0,a) 3− a 30 极小值 (a,1) 3f(x) f(x) + 单调递增↘ 单调递减↗ 由上表可知，当x=a12aa时，f(x)取得最小值−；……7分 3433由于f(0)=15，f(1)=−a， 445当0a1时，f(x)在x=1处取得最大值−a， ……8分

4当1≤a3时，f(x)在x=0处取得最大值

1． ……9分 4（20）（共14分）

解：（Ⅰ）由题意a=2， ……1分 离心率e=c1=，所以c=1． ……2分 a2 所以b2=a2−c2=3． ……3分 x2y2=1． ……4分 所以椭圆C的方程为+43 1 （Ⅱ）F(1,0)，由题意，设l1:y=k(x−1)，l2:y=−(x−1)， ……1分

k3 令x=4得：M(4,3k)，N(4,−)，……2分

k 31 所以MN=|3k−(−)|=3|k+|.

kk

设d为点F到直线l的距离，则FMN的面积为

191S=|MN|d=|k+|22k……3分

9191=(k+)≥2k=9． ……4分 2k2k

10 / 11

当且仅当k=1， k即k=1时，FMN的面积的最小值为9． ……5分

（Ⅲ）直线AM的方程为y=k……1分 (x+2)，

2

 由y=k2(x+2)消元，得 3x2+4y2=123x2+k2(x+2)2=12 ， 即(3+k2)x2+4k2x+4k2−12=0， 设P(x)，则−2x4k2−12P,yPp=3+k2，

x6−2k2所以p=3+k2．

所以P(6−2k23+k2,6k3+k2)． 又B(2,0)，N(4,−3k)，

6k3所以kBP−k=3+k2−−06k3BN6−2k2−k=+=0.3+k2−24−2−4k22k所以kBP=kBN，所以P,B,N三点共线． word下载地址

11 / 11

……2分

……3分 4分

……5分 ……