北京大兴区2019高三4月重点试卷--数学(文)

北京大兴区2019高三4月重点试卷--数学（文）

数学〔理〕

【一】选择题

〔1〕复数(1+i)2的值是( )

〔A〕2 〔B〕-2 〔C〕2i 〔D〕-2i

〔2〕设集合A={x|x2>1}，B={x|log2x>0|}，那么AÇB等于( ) 〔A〕{x|x1} 〔B〕{x|x0} 〔C〕{x|x1}

〔D〕{x|x1，或x1}

开始 〔3〕执行如下图的程序框图、假设n4，那么输出s的值是( )

〔A〕-42 〔B〕 -21 〔C〕 11 〔D〕 43 (4)设

y14,y28y1>y2

0.70.45输入n s=1,i=1 ii1 s=s+(-2)i 11.5，那么( ) ,y3()2y1>y3

i≤n? 是 〔A〕y3>〔C〕y1>〔B 〕y2>〔D〕y1>

否 输出s y2>y3 y3>y2

结束 〔A〕假设m，m，那么∥ 〔B〕假设m∥n，m，那么n 〔C〕假设m∥，n，那么m∥n 〔D〕假设m，m，那么、 〔6〕函数〔A〕在

1cos2x() f(x)cosx上递增，在π上递减 ππ上递增〔B〕在π(,)(,0](0,)2222

〔C〕在

上递减，在π上递增 ππ上递减〔D〕在π(,)(,0](0,)2222〔7〕假设实数a,b满足a2+b2≤1，那么关于x的方程x2-2x+a+b=0无．实数根的概率为()

〔A〕1〔B〕3〔C〕3π+2〔D〕π-442

4π4π〔8〕抛物线y=x2(-2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如下图的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，那么此正方体的棱长是() 〔A〕1〔B〕2 〔C〕22〔D〕4

【二】填空题

〔9〕函数f()的最小正周期是. xsincxosx〔10〕中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为3，实轴长为

24，那么双曲线的方程是.

〔11〕矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E、F分别是BC、CD的中点，那么(AE+AF)?AC等于、 〔12〕数列{an},an+1=an+2，a1=1，数列禳镲1镲睚镲anan+1镲铪的前n项和为18，那么

37n=.

〔13〕函数

xx0在区间[-1,m]上的最大值是211f(x)x02x1，那么m的取

值范围是

、 〔14〕函数

f(x)是定义在(0,+?)上的单调递增函数，且xÎN*时，

f(x)ÎN*，假设f[f(n)]=3n，那么f(2)=；f(4)+f(5)=.

【三】解答题

〔15〕〔本小题总分值13分〕

在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)求sinC及的面积、 ABC〔16〕〔本小题总分值13分〕

一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表：

A 学生 1cosA=π，b=3，B=452、

A2 A3 A4 A5 数学 物理 89 87 91 89 93 89 95 92 97 93 (Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；

(Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率、 〔17〕〔本小题总分值13分〕

如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，DABC是等边三角形，D是BC的中点. 〔Ⅰ〕求证：直线A1D⊥B1C1；

〔Ⅱ〕判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论.

〔18〕〔本小题总分值14分〕 函数f(x)=(ax+1)ex、

〔I〕求函数f(x)的单调区间； 〔Ⅱ〕当a>0时，求函数f(x)在区间[-19.〔本小题总分值14分〕

2,0]上的最小值、

动点P到点A〔-2,0〕与点B〔2,0〕的斜率之积为为曲线C。

(Ⅰ)求曲线C的方程；

1，点4P的轨迹

(Ⅱ)假设点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于

M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求线段MN长度的最小值。

(20)〔本小题总分值13分〕 数列{a}的各项均为正整数，且a1a2n设集合

nan，

Ak{x|xiai，i1，或i0，或i1（}1≤k≤n）i1。

成立，

性质1假设对于xAk，存在唯一一组i〔i1,2,，k〕使

xiaii1k那么称数列{an}为完备数列，当k取最大值时称数列{an}为k阶完备数列。

性质2假设记

mka（）i1≤k≤ni1k，且对于任意x≤mk，xZ，都有xAk成立，那么称数列{a}为完整数列，当k取最大值时称数列{a}为knn阶完整数列。

性质3假设数列{a}同时具有性质1及性质2，那么称此数列{a}为

nn完美数列，当k取最大值时{a}称为k阶完美数列；

n〔Ⅰ〕假设数列{a}的通项公式为an2n1，求集合A2，并指出{a}分

nn别为几阶完备数列，几阶完整数列，几阶完美数列；

〔Ⅱ〕假设数列{a}的通项公式为an10n1，求证：数列{a}为n阶完nn备数列，并求出集合An中所有元素的和Sn。

〔Ⅲ〕假设数列{a}为n阶完美数列，试写出集合An，并求数列{a}通

nn项公式。

参考答案

【一】选择题

〔1〕C〔2〕A〔3〕C〔4〕A〔5〕C〔6〕D〔7〕D〔8〕B 【二】填空题

(9)π (10)x2y21(11)15(12)18(13)1,1(14)3,15

452【三】解答题 〔15〕解:〔Ⅰ〕因为由正弦定理:a,所以4 3sinA,cosA,A是ABC内角 55得:8 b知a2a5sinAsinB4πsin54〔Ⅱ〕在ABC 中,sinCsin[(AB)]sin(AB)

423272

sinAcosBcosAsinB525210ABC 的面积为:

1187228 sabsinC22251025〔16〕解：

（I) 5名学生数学成绩的平均分为:15(8991939597)93

5名学生数学成绩的方差为:

122222[(8993)(9193)(9393)(9593)(9793)]855名学生物理成绩的平均分为:15(8789899293)90

5名学生物理成绩的方差为:

124 22222[(8790)(8990)(8990)(9290)(9390)]55因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.

(Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A 5名学生中选2人包含基本事件有：

A1A2,A1A3,A1A4,A1A5,A2A3,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共10个.

事件A包含基本事件有：A1A4,A1A5,A2A4,A2A5,A3A4,A3A5,A4A5,共7个.

7

则 P(A)10所以，5名学生中选2人,选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为7.

10(17)解:(Ⅰ)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，所以AA1BC, 在等边ABC 中，D是BC中点，所以ADBC

因为在平面A1AD中，A1AADA，所以BC面A1AD 又因为A1D面A1AD，所以，A1DBC

在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，所以

B1C1//BC

所以，A1DB1C1

(Ⅱ)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1是平行四边形， 在平行四边形ACC1A1中联结A1C,交于AC1点O,联结DO. 故O为A1C中点.

在三角形A1CB中,D为BC中点,O为A1C中点,故DO//A1B. 因为DO平面DAC1,AB1 平面DAC故,A1B与面 ADC1平行 〔18〕解：定义域为R

f'(x)(ax1)'ex(ax1)(ex)'ex(axa1)

,所以,A1B//面 ADC1,

(Ⅰ)①当a0时，f'(x)ex0,那么f(x)的单调增区间为(,) ②当a0时，解f'(x)0得,那么f(x)的单调增区间为

a1,解f'(x)0得,a1,

xxaa,f(x)的单调减区间为a1a1

(,)(,)aaa1,解f'(x)0得,a1, xxaa③当a0时，解f'(x)0得,那么f(x)的单调增区间为(Ⅱ)①当a0 a1,f(x)的单调减区间为a1(,)(,)aaa1上是减函数,

(2,)aa12a时,即当a1时,f(x)在

在

a1上是增函数,那么函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为(,0)aa1aa1f()aea

时,即当0a1时,f(x)在[2,0]上是增函数,

②当a0a12a那么函数f(x)在区间[-2,0]上的最小值为

12a

f(2)2eaea1a综上:当a1时,f(x)在区间[-2,0]上最小值为

当0a1时,f(x)在区间[-2,0]上最小值为12a

e2〔19〕解：〔Ⅰ〕设P(x,y)，由题意知 yy1(x2)x2x24化简得曲线C方程为：x24y1 (x2)2kAPkBP1，即

4

〔Ⅱ〕思路一:满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为yk(x2)，

由〔Ⅰ〕知

kQBk1(x2)， 1，所以，设直线QB方程为y4k4

当x4时得N点坐标为所以

1，易求M点坐标为M(4,6k) N(4,)2k， 11=1|6k||MN|6k2|6k|23|2k|2k|2k|3时，线段MN的长度有最小值23.

k6当且仅当

思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为

yk(x2)，

联立方程：x2y14yk(x2)2

消元得(4k21)x216k2x16k240， 设Q(x0,y0)，M(x1,y1),N(x2,y2)， 由韦达定理得：所以所以

16k24，

2x04k214k， 8k22，代入直线方程得y02x024k14k1，又B(2,0) 28k24kQ(,)14k214k24k02114k,4k28k22214k所以直线BQ的斜率为

以下同思路一

思路三：设Q(x0,y0)，那么直线AQ的方程为直线BQ的方程为当x4，得

y0y(x2)x02 y0y(x2)x026y0，即6y0 yMM(4,)x02x02

当x4，得那么

yN2y0，即2y0 N(4,)x02x026y02y02x8MN2y020x02x02x042

2x082

MN4y0(2)x042又x024y024 所以

4(x04)2MN4x022

利用导数，或变形为二次函数求其最小值。 〔20〕解：〔Ⅰ〕A2{4,3,2,1,0,1,2,3,4}；

{an}为2阶完备数列，n阶完整数列，2阶完美数列；

〔Ⅱ〕假设对于xA，假设存在2组i及〔使i1,2,n〕inxiaii1n成立，那么有

11002102n10n111002102n10n1，即

(11)100(22)101(nn)10n10，其中i,i{1,0,1}，必有

11,22nn，所以仅存在唯一一组i〔i1,2,n〕使

xiaii1n成立，

即数列{a}为n阶完备数列；

nSn0，对xAn，

xiaii1n，那么

xiai(i)aii1i1nn，因为

i{1,0,1}，那么i{1,0,1}，所以xAn，即Sn0

〔Ⅲ〕假设存在n阶完美数列，那么由性质1易知A中必有3n个元素，

n

由〔Ⅱ〕知A中元素成对出现〔互为相反数〕，且0An，又{a}具有

nn性质2，那么A中3n个元素必为

n3n13n3An{,,221,0,1,3n33n1。an3n1

,}22