一、单选题 1．设集合A．【答案】C
【解析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案． 【详解】
解：∵x﹣3x≤0，∴0≤x≤3，∴B＝[0，3]，
2
，
B．
C．
，则
D．
等于( )
A＝（2，+∞），∴A∩B＝（2，3]．
故选：C． 【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 2．已知
，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出． 【详解】
解：∵a＞b＞0，∴只有B正确． 故选：B． 【点睛】
，，lga＞lgb，2＜2．
﹣a﹣b本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．在复平面内，复数对应的点的坐标为A．
B．
C．
D．
，则
等于( )
【答案】A
【解析】由已知可得z，代入（1+i）z，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
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【详解】
解：由已知得，z＝2﹣i，
∴（1+i）z＝（1+i）（2﹣i）＝3+i． 故选：A． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的值为( )
A． B． C． D． 【答案】B
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】
解：模拟程序的运行，可得
S＝0，n＝1
满足条件1＜i，执行循环体，S，n＝2
满足条件2＜i，执行循环体，S，n＝3
满足条件3＜i，执行循环体，S，n＝4
满足条件4＜i，执行循环体，S（1）+（）+（）
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+（），n＝5
由题意，此时应该不满足条件5＜i，退出循环，输出S的值为，可得4＜i≤5，可得
i的值为5．
故选：B． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 5．已知奇函数
是定义在上的增函数，则“
”是“
”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】
解：∵奇函数f（x）在R上为增函数， ∴若a+b＞0，得a＞﹣b，
则f（a）＞f（﹣b），即f（a）＞﹣f（b），则f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立， 若f（a）+f（b）＞0，则f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b）， ∵函数f（x）在R上为增函数，
∴a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，
则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”充分必要条件， 故选：C． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质，结合函数奇偶性和单调性之间的性质是解决本题的关键．综合性较强． 6．已知向量A． B．【答案】D
，
，若
，则
的最大值为( )
C． D．
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【解析】向量加法的坐标运算及及数量积的运算有：（cosθ，1+sinθ），（
）•（
（1+cosθ，sinθ），
）＝（1+cosθ）cosθ+sinθ（1+sinθ）
由三角函数辅助角公式有：（【详解】 解：由||＝1设则
）•（）＝1sin（），再求最值即可.
（cosθ，sinθ），
（cosθ，1+sinθ），
（1+cosθ，sinθ），
所以（即（
）•（）•（
）＝（1+cosθ）cosθ+sinθ（1+sinθ）＝1）的最大值为：1
，
sin（），
故选：D． 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算及数量积的运算，三角函数辅助角公式及最值，属简单题． 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A． B． C． D． 【答案】A
【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，再由棱锥体积公式求解． 【详解】
解：由三视图还原原几何体如图，
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该几何体为三棱锥P﹣ABC，
则该几何体的体积V故选：A． 【点睛】
．
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 8．A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：
A品牌车型 A1 环比增长-7.29% 率 B品牌车型 环比增长-8.49% -28.06% 率
根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:①A1车型销量比B1车型销量多；
②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；
④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确结论的个数是( ) A． B． C． D． 【答案】B
【解析】根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可． 【详解】
解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：
对于①，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误； 对于②，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%， 所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误；
第 5 页 共 18 页 13.25% 10.47% 14.70% A2 A3 B1 B2 B3 对于③，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%， 所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确； 对于④，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率， 也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，④正确； 综上所述，其中正确的结论序号是③④． 故选：B． 【点睛】
本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题．
二、填空题 9．抛物线
的焦点到准线的距离等于_______
【答案】
【解析】利用抛物线的标准方程可得 p【详解】
，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．
解：抛物线x＝y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p2
，
故答案为：． 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键． 10．在
中，已知
，则
________．
【答案】
，所以
，
【解析】试题分析：因为
所以由余弦定理得：C=450。
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，因为C为三角形内角，所以
【考点】本题考查余弦定理的变形应用。
点评：利用余弦定理通常用来解决：（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； （2）已知三边，求三个内角。
11．若，满足【答案】
则的最大值为______
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】
解：由x，y满足作出可行域如图，
联立
，解得A（1，0）
函数z＝x﹣2y为y，由图可知，
当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z的最大值为：1．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 12．能说明“如果
是等比数列，那么
仍为等比数列”为假命题的
的一个通项公式为_______． 【答案】an＝a×（﹣1）n．（a≠0）
【解析】当{an}的公比为﹣1时，a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，（a≠0），{an}是等比数
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列，a1+a2，a3+a4，a5+a6不为等比数列． 【详解】
解：当{an}的公比为﹣1时，a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，（a≠0）， {an}是等比数列，a1+a2，a3+a4，a5+a6不为等比数列．
∴“如果{an}是等比数列，那么a1+a2，a3+a4，a5+a6仍为等比数列” 为假命题的{an}的一个通项公式为：an＝a×（﹣1）n．（a≠0）． 故答案为：an＝a×（﹣1）n．（a≠0）． 【点睛】
本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．直线________
与圆
交于，两点，当
的面积最大时，的值为
【答案】
【解析】根据题意，设圆心C到直线的距离为d，由直线与圆的位置关系可得△ABC的
面积Sd×2，结合基本不等式的性质分析可得当d2
，即
d时，△ABC的面积最大；由点到直线的距离公式可得d，解可得k的
值，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，直线l：y＝kx+k与圆C：（x﹣1）+y＝1交于A，B两点， 设圆心C到直线的距离为d，
圆C：（x﹣1）+y＝1的圆心C（1，0），半径r＝1；
2
2
2
2
则△ABC的面积Sd×2，
分析可得：当d2
，即d时，△ABC的面积最大；
此时有d，
解可得k；
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故答案为：【点睛】
．
本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 14．设函数域为
①若
，则
的零点有_____个；②若
的值
，则实数的取值范围是________．
【答案】
，分段分析函数的零点，
【解析】①根据题意，若a＝1，f（x）综合即可得答案；
②根据题意，由函数的解析式分析可得a≥0，在同一坐标系中作出y＝﹣|x|（x+2）与
y＝lnx的图象，结合图象分析可得若f（x）的值域为[﹣1，+∞），必有
解可得a的取值范围，即可得答案． 【详解】
解：①，根据题意，若a＝1，f（x）
当x＞1时，f（x）＝lnx，f（x）＝0即lnx＝0，无解；
当x≤1时，f（x）＝﹣|x|（x+2），若f（x）＝0即﹣|x|（x+2）＝0， 解可得x＝0或﹣2，
则f（x）＝0有2解，即x＝0或﹣2，即f（x）有2个零点； ②，根据题意，
，必有a≥0， ，y＝lnx，其图象如图：
，
，
，
y＝﹣|x|（x+2）
若f（x）的值域为[﹣1，+∞），必有
解可得：a1，即a的取值范围为[，1]；
故答案为：①、2，②、[，1]．
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【点睛】
本题考查分段函数的性质以及应用，涉及函数的零点，函数的值域，属于综合题．
三、解答题
15．已知函数（Ⅰ）求
的最小正周期；
．
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）最大值为1，最小值为0
【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出
f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间【详解】
上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）因为 ，
所以的最小正周期.
（Ⅱ）因为，所以.所以当，即时，取得最大
值为，当【点睛】
，即时，取得最小值为0.
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础
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题． 16．已知数列的等差数列． （Ⅰ）求（Ⅱ）求
和
的通项公式； 满足
，
，数列
满足
，且
是公差为2
的前n项和．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）利用分组求和法求{bn}的前n项和Sn即可． 【详解】 解：（Ⅰ）由因为可得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列
的前，，所以
，
是首项为，公比为的等比数列.所以
．
是首项为，公差为的等差数列． ．所以
．
项和为
．
【点睛】
.
本题考查等差数列以及等比数列的应用，考查分组求和法，是基本知识的考查． 17．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：
70上 12 0 17 3 6 14 4 36 2 3 0 0 以 20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 使用人数 3 未使用人数 0
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在
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且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在求这2人年龄都在
使用的自由购顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，
的概率；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）2200
【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；
（Ⅱ）设事件A为“这2人年龄都在[50，60）”，由列举法可得基本事件的总数为15，事件A包含的个数为6，计算可得所求值；
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值． 【详解】
解：（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，
年龄在[30,50)且未使用自由购的有3+14=17人，
所以随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[30,50)且未参加自由购的概率估计为（Ⅱ）设事件为“这2人年龄都在
被抽取的年龄在从被抽取的年龄在共
包
含
15
的2人分别记为
”．被抽取的年龄在
.
的4人分别记为
的自由购顾客中随机抽取2人
个
基
本
事
件
，
分
事件包含6个基本事件，分别为
别
为
，则
（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有
．
人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为【点睛】
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.
本题考查古典概率的求法，注意运用列举法和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．
18．如图，正方形和梯形所在的平面互相垂直，，，与交
于点，，分别为线段，的中点．
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：（Ⅲ）若
； 平面
；
平面
．
，求证：平面
【答案】详见解析
【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，由此能证明AC⊥BF；
（Ⅱ）法一：取AD中点M，连接ME，MG，则GM∥BD且，从而GM∥EF且GM＝
EF，进而四边形GMEF为平行四边形，从而GF∥ME，由此能证明GF∥平面ADE；
法二：连接OF，OG，推导出四边形DOFE为平行四边形，从而OF∥DE，进而OF∥平面
ADE，由O，G分别为BD，AB的中点，得OG∥AD，从而OG∥平面ADE，进而平面GOF∥
平面ADE，由此能证明GF∥平面ADE；
（Ⅲ）连接OH，则OH∥DF，由DF⊥BF，得OH⊥BF，再由BF⊥AC，得BF⊥平面AHC，由此能证明平面AHC⊥平面BGF． 【详解】 解：（Ⅰ）因为平面所以所以
平面平面．
中点，连接
，
，
为正方形，所以
，
．又因为
平面
，
．又因为平面
平面
，
（Ⅱ）方法一：取
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在
中，，分别为
，
的中点，
所以所以所以
平面
且且.因为，所以
，
．又因为.所以四边形平面平面，
， ．
且，
为平行四边形.
方法二：连接
因为所以所以四边形因为
平面所以所以所以所以平面所以
且且
， .
为平行四边形．所以，
．
平面， 平面
．因为，分别为
平面
，
，的中点， 平面
，
．又因为平面
．因为平面．
， 平面
，
．因为
平面
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（Ⅲ）连接在
，
，的中点，
中，，分别为
所以所以
.因为.因为， 平面所以所以平面【点睛】
本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
，
平面.因为平面
．
， 平面
，
， ，
平面
19．已知函数（Ⅰ）若x轴为曲线（Ⅱ）求函数
在
．
的切线，求a的值； 上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，设切点坐标为（x0，0），求出切线的斜率，转化求解即可；
（Ⅱ）求出f′（x）＝3x﹣a，通过当a≤0时，当a≥3时，当0＜a＜3时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的最值． 【详解】
2
解：（Ⅰ）由于x轴为的切线，设切点坐标为，则，……①又
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，即，……②②代入①，解得，
所以（Ⅱ）
．
，
（1）当时，，在单调递增，所以时，取得最小值．
时，取得最大值．
（2）当时，，在单调递减，所以，时，取得最小值．
时，取得最大值．
(3).当时，令，解得，，，在区间的变化情况如下：
单调递减↗ 0
极小值 单调递增↘ 由上表可知，当时，取得最小值；
由于，，
当时，在处取得最大值，
当时，在处取得最大值．
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【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
20．已知椭圆的离心率为，左顶点为
于，两点．
，过椭圆的右焦点作
互相垂直的两条直线和，分别交直线（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求（Ⅲ）设直线共线．
的面积的最小值；
与椭圆的另一个交点为，椭圆的右顶点为，求证：，，三点
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）9（Ⅲ）详见解析
【解析】（Ⅰ）求出a的值，根据离心率求出c的值，从而求出椭圆的方程； （Ⅱ）设出l1的方程，表示出M，N的坐标，表示出|MN|，表示出△FMN的面积，根据不等式的性质求出面积的最小值即可；
（Ⅲ）联立直线和椭圆的方程，表示出P的坐标，求出直线BP，BN的斜率，判断即可． 【详解】
解：（Ⅰ）由题意，离心率，所以．所以．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ），由题意，设，，
令得：，，所以
的面积为
.
设d为点F到直线l的距离，则
即
时，
的面积的最小值为．
．当且仅当，
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（Ⅲ）直线的方程为，即
，由消元，得 ，
设，则，
所以．
所以．又，，
所以【点睛】
所以，所以三点共线．
本题考查了求椭圆方程问题，考查求三角形的面积公式以及直线和椭圆的关系，考查直线的斜率问题，是一道综合题．
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