2018年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）
一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=i（1+i），则|z|等于（ ） A．0 B．1 C． D．2 2．在方程
（θ为参数）所表示的曲线上的点是（ ）
A．（2，﹣7） B．（，） C．（，） D．（1，0）
3．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2（a2+a3），则A．
B．
C．7
D．14
=（ ）
4．将函数y=sin2x的图象向左平移的一个增区间是（ ） A．（﹣
，
）
B．（
，π）
个单位后得到函数y=g（x）的图象．则函数g（x）
C．（，） D．（0，）
5．使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（ ） A．a＞b+1
B．＞1
C．a2＞b2
D．a3＞b3
6．下列函数：①y=﹣
；②y=（x﹣1）3；y=log2x﹣1；④y=﹣（）|x|中，在（0，+∞）
上是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④
7．某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．336 B．510 C．1326 D．3618
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9．在（1﹣x）5的展开式中，x2的系数为______（用数字作答） 10．己知向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣），则实数x=______． 11．若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率
e=______．
12．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mσ，平均数为，则me，mσ，之间的大小关系是______．
13．已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于______，△ABD的面积等于______．
，若在其定义域内存在n（n≥2，n∈N*）
14．已知函数f（x）=
个不同的数x1，x2，…，xn，使得
==…=，则n的最大值是______；
若n=2，则的最大值等于______．
三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在四边形ABCD中，AB=4，AC=2（Ⅰ）求sin∠B；
（Ⅱ）若AB=4AD，求CD的长．
，cos∠ACB=，∠D=2∠B．
16．2018年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表： 中国十佳宜居城市 中国十佳最美丽城市 排名 城市 得分 排名 城市 得分 1 90.2 1 93.7 深圳 杭州 2 89.8 2 93.5 珠海 拉萨 3 88.3 3 93.3 烟台 深圳 4 86.5 4 92.2 惠州 青岛 5 83.1 5 92.0 信阳 大连 6 81.4 6 91.9 厦门 银川 7 79.2 7 90.6 金华 惠州 8 77.8 8 90.3 柳州 哈尔滨 9 75.9 9 89.3 扬州 信阳 10 74.6 10 88.8 九江 烟台 （I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为别为S12，S22，试比较
与
，S12，S22的大小；（只需要写出结论）
与
，方差分
（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率． （Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望． 17．PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M是PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；
（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．
18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0． （Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论） 19．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的长轴长为2
，右焦点F（1，0），过F作两
条互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q． （Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若直线AB，CD的斜率均存在，求•的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点．
20．数列{an}是由1，2，3，…2018的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合B，即B={x|x=
an+i，n=0，1，2，…，2018﹣m}．
（Ⅰ）若m=8，求B中元素的最大值；
（Ⅱ）下列情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列{an}，若不能，说明理由．
①m=8，n=8k，k=0，1，2，…，251； ②m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671．
（Ⅲ）对于数列{an}，若m=8，记B红元素的最大值为D，试求S的最小值．
2018年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=i（1+i），则|z|等于（ ） A．0 B．1 C． D．2 【考点】复数求模．
【分析】化简复数z，求出它的模长即可． 【解答】解：∵复数z=i（1+i）=﹣1+i， ∴|z|=故选：C． 2．在方程
（θ为参数）所表示的曲线上的点是（ ） =
．
A．（2，﹣7） B．C．D．（，） （，） （1，0）
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】先利用二倍角公式将参数方程化成普通方程，再将选项中点逐一代入验证即可． 【解答】解：cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣2x2=y ∴方程
（θ为参数且θ∈R）表示x2=（1﹣y）
将点代入验证得B适合方程， 故选：C．
3．设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2（a2+a3），则A．
B．
C．7
D．14
=（ ）
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【解答】解：∵a4=2（a2+a3），∴a4=2（a1+a4），
则===7．
故选：C．
4．将函数y=sin2x的图象向左平移的一个增区间是（ ） A．（﹣
，
）
B．（
，π）
C．（
，
）
D．（0，
）
个单位后得到函数y=g（x）的图象．则函数g（x）
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性，得出结论． 【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移=cos2x的图象．
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣∈Z，
可得函数g（x）得一个增区间为（
，π），
≤x≤kπ，∴函数g（x）的增区间是[kπ﹣
，kπ]，k
个单位后得到函数y=g（x）=sin2（x+
）
故选：B．
5．使“a＞b”成立的一个充分不必要条件是（ ） A．a＞b+1
B．＞1
C．a2＞b2
D．a3＞b3
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：A．若a＞b+1，则a＞b成立，即充分性成立， 反之若a＞b，则a＞b+1不一定成立，
即a＞b+1是“a＞b”成立的一个充分不必要条件，
B．当b＜0时，由＞1得a＜b，则a＞b不成立，即＞1不是充分条件，不满足条件． C．由a2＞b2得a＞b或a＜﹣b，则a2＞b2不是充分条件，不满足条件． D．由a3＞b3得a＞b，则a3＞b3是a＞b成立的充要条件，不满足条件． 故选：A．
6．下列函数：①y=﹣
；②y=（x﹣1）3；y=log2x﹣1；④y=﹣（）|x|中，在（0，+∞）
上是增函数且不存在零点的函数的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据反比例函数的单调性，指数函数的单调性，单调性定义，以及函数零点的定义便可判断每个函数是否满足条件，从而找出正确选项． 【解答】解：①反比例函数∵x＞0时，
；
在（0，+∞）上是增函数；
∴该函数不存在零点；
②y=（x﹣1）3，x=1时，y=0；即该函数在（0，+∞）上存在零点； ③y=log2x﹣1，x=2时，y=0；
即该函数在（0，+∞）上存在零点； ④x∈（0，+∞）时，
为减函数，∴
∵x＞0； ∴
； ；
∴函数
在（0，+∞）上无零点；
；
在（0，+∞）上为增函数；
∴在（0，+∞）上是增函数且不存在零点的函数的序号是①④． 故选A．
7．某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图和三视图之间的关系求出俯视图的长、宽，由三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据正视图和侧视图，画出俯视图如图所示： 其中虚线是边长为4的正方形，两个顶点是边的中点， 所以俯视图的面积S==6，
故选：A．
8．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（ ）
A．336 B．510 C．1326 D．3618 【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数． 【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数， 化为十进制数为1×73+3×72+2×7+6=510． 故选：B．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9．在（1﹣x）5的展开式中，x2的系数为 10 （用数字作答） 【考点】二项式定理．
【分析】求出通项，化简，取r值，得到所求． 【解答】解：（1﹣x）5的展开式的通项为零r=2，得到x2的系数为（﹣1）2
=10；
，
故答案为：10．
10．己知向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣），则实数x= 9 ． 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算． 【分析】利用向量的垂直关系，通过数量积求解即可． 【解答】解：向量=（l，2），=（x，﹣2），且丄（﹣）， 可得（1，2）•（1﹣x，4）=0．即9﹣x=0，解得x=9． 故答案为：9．
11．若双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率e= ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求得双曲线的渐近线方程，由条件可得b=2a，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值． 【解答】解：双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：
y=±x，
由一条渐近线方程为x﹣2y=0，可得=，即b=2a， 即有c=可得e==
=．
a，
故答案为：．
12．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30民学生参加环保知识测试，得分（10分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为mσ，平均数为，则me，mσ，之间的大小关系是 mσ＜me＜ ．
【考点】频率分布直方图．
【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小． 【解答】解：由图知众数mσ=5
由中位数的定义知，得分的中位数为me，是第15个数与第16个数的平均值， 由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6， ∴me=5.5， =
（2×3+3×4+10×5+6×3+3×7+2×8+2×9+2×10）=5.97，
∴mσ＜me＜，
故答案为：mσ＜me＜．
13．已知AB是圆O的直径，AB=1，延长AB到C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则CD等于
，△ABD的面积等于
．
【考点】圆的切线方程．
【分析】直接利用已知结合切割弦定理求得CD；求解直角三角形求得sin∠DOB，然后代入三角形面积公式求得△ABD的面积． 【解答】解：如图， ∵AB=1，BC=1， ∴AC=2，
由切割弦定理可得：CD2=BC•AC=1×2=2， ∴．
连接OD，则OD⊥CD，
在Rt△ODC中，由CD=，OC=，得sin∠DOC=，
∴=
故答案为：
，
．
．
，若在其定义域内存在n（n≥2，n∈N*）
14．已知函数f（x）=
个不同的数x1，x2，…，xn，使得
==…=，则n的最大值是 3 ；
若n=2，则的最大值等于 4﹣ ．
【考点】分段函数的应用． 【分析】作出f（x）的图象，利用
=
=…=
=k的几何意义是过原点的
直线与f（x）相交点的斜率．利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：
=
=…=
=k的几何意义是
过原点的直线与f（x）相交点的斜率，
由图象知过原点的直线和f（x）最多有3个交点，即n的最大值是3， 若n=2，则直线与f（x）有两个交点，
则当过原点的直线y=kx的斜率k=0，或者y=kx与f（x）在1≤x≤3相切时的斜率， 其中
的最大值为y=kxf（x）在1≤x≤3相切时的斜率，
将y=kx代入y=﹣x2+4x﹣3，得kx=﹣x2+4x﹣3，即x2+（k﹣4）x+3=0， 由判别式△=（k﹣4）2﹣12=0得k﹣4=±，即k=4±，
∵方程的根x=∴0＜k＜2，则k=4﹣故
∈（1，2）， ，
，
的最大值等于4﹣
故答案为：3，4﹣
三、解答题题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．如图，在四边形ABCD中，AB=4，AC=2（Ⅰ）求sin∠B；
（Ⅱ）若AB=4AD，求CD的长．
，cos∠ACB=，∠D=2∠B．
【考点】余弦定理的应用；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）运用同角的平方关系，可得sin∠ACB=sin∠B；
（Ⅱ）求得AD=1，由∠D=2∠B，可得cos∠D=cos2∠B=1﹣2sin2∠B=﹣，再由余弦定理，计算即可得到所求值．
【解答】解：（Ⅰ）由cos∠ACB=，∠ACB∈（0，π）， 可得sin∠ACB=由正弦定理可得，
= =
，
，
，再由正弦定理，计算即可得到
即=，解得sin∠B=；
（Ⅱ）由AB=4，AB=4AD，可得AD=1，
由∠D=2∠B，可得cos∠D=cos2∠B=1﹣2sin2∠B =1﹣2×=﹣，
由余弦定理可得，cos∠D=，
即有=﹣，
即为3CD2+2CD﹣33=0， 解得CD=3或﹣
舍去．
16．2018年，中国社科院发布《中国城市竞争力报告》，公布了中国十佳宜居城市和十佳最美丽城市，如表： 中国十佳宜居城市 中国十佳最美丽城市 排名 城市 得分 排名 城市 得分 1 90.2 1 93.7 深圳 杭州 2 89.8 2 93.5 珠海 拉萨 3 88.3 3 93.3 烟台 深圳 4 86.5 4 92.2 惠州 青岛 5 83.1 5 92.0 信阳 大连 6 81.4 6 91.9 厦门 银川 7 79.2 7 90.6 金华 惠州 8 77.8 8 90.3 柳州 哈尔滨 9 75.9 9 89.3 扬州 信阳 10 74.6 10 88.8 九江 烟台 （I）记“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”得分的平均数分别为别为S12，S22，试比较
与
，S12，S22的大小；（只需要写出结论）
与
，方差分
（Ⅱ）某人计划从“中国十佳最美丽城市”中随机选取3个游览，求选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率． （Ⅲ）旅游部门从“中国十佳宜居城市”和“中国十佳最美丽城市”中各随机选取1个进行调研，用X表示选到的城市既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的个数（注：同一城市不重复计数），求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（Ⅰ）由题意利用表格能比较
与
，S12，S22的大小．
（Ⅱ）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个，由此能求出选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）由题意
＜
，
＞
．
（Ⅱ）记选到的城市至多是一个“中国十佳宜居城市”为事件A，
由已知既是“中国十佳宜居城市”又是“中国十佳最美丽城市”的城市有4个： 深圳，惠州，信阳，烟台，
∴选到的城市至多有一个是“中国十佳宜居城市”的概率P（A）=（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2， P（X=0）=
=
，
=．
P（X=1）==，
P（X=2）=∴X的分布列为： X P ∴EX=
=，
0 =
．
1 2 17．PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M是PB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面PCD；
（Ⅱ）求证：平面ACM⊥平面PAB；
（Ⅲ）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I）取PC的中点N，连接MN，CN，则可证四边形ADNM是平行四边形，于是AM∥DN，从而有AM∥平面PCD；
（II）利用勾股定理及余弦定理计算AC，AB可得出AC2+AB2=BC2，于是AC⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AC，于是AC⊥平面PAB，从而得出平面MAC⊥平面PAB；
（III）以A为原点建立空间坐标系，设P（0，0，a），求出|cos＜
＞|=sin30°解出a，得出|PA|．
和平面ACM的法向量，令
【解答】证明：（I）取PC的中点N，连接MN，DN． ∵M，N是PB，PC的中点， ∴MN
BC，又AD
BC，
∴MNAD，
∴四边形ADNM是平行四边形，
∴AM∥DN，又AM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， ∴AM∥平面PCD．
（II）∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PA⊥AC．
∵AD=CD=1，AD⊥CD，AD∥BC， ∴AC=，∠DCA=∠BCA=45°， 又BC=2，∴AB=
=
．
∴AC2+AB2=BC2，∴AC⊥AB．
又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A， ∴AC⊥平面PAB，又AC⊂平面ACM， ∴平面ACM⊥平面PAB．
（III）取BC的中点E，连接AE，则AE⊥AD．
以A为原点，以AD，AE，AP为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），C（1，1，0），设P（0，0，a），则M（﹣，，）（a＞0）． ∴
=（1，1，0），
=（﹣，，），
=（1，1，﹣a）．
设平面ACM的法向量为=（x，y，z），则．
∴．令x=1得=（1，﹣1，）．
∴cos＜＞==．
∵PC与平面ACM所成角为30°， ∴∴|PA|=
．
=．解得a=
．
18．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x，其中a≠0． （Ⅰ）当a=2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，判断函数f（x）零点的个数．（只需写出结论）
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出a=2时的函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点坐标，再由点斜式方程即可得到切线方程；
（Ⅱ）求出函数的导数，求出f（x）的定义域，讨论①当a＞0时，②当a=，③当0＜a＜时及④当a＞时，通过解方程求出两根，讨论导数大于0，小于0，求出函数的单调区间；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）求得单调性即可判断f（x）零点的个数． 【解答】解：当a=2时，f（x）=lnx+2x2﹣5x，f′（x）=+4x2﹣5， 则：f（1）=﹣3，f′（1）=0， ∴切线方程为：y+3=0，
（Ⅱ）f（x）的定义域为：{x丨x＞0}， f′（x）=+2ax﹣（2a+1）=
=
，
令f′（x）=0，x1=1，x2=
，
①当a＜0时，令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1， ∴f（x）的增区间为（0，1），f（x）的减区间为（1，+∞）； ②当a=，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增； ③当0＜a＜时，f′（x）＜0，解得0＜x＜1或x＞∴f（x）的增区间为（0，1），（
；f′（x）＜0，得
）；
＜x＜1， ＜x＜1，
，+∞），f（x）减区间为（1，
④当a＞时，f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜，f′（x）＜0，解得：
∴f（x）的增区间为（0，），（1，+∞），f（x）减区间为（，1）；
（Ⅲ）当a＞0时，函数f（x）零点为1．
19．已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的长轴长为2
，右焦点F（1，0），过F作两条
互相垂直的直线分别交椭圆G于点A，B和C，D，设AB，CD的中点分别为P，Q．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）若直线AB，CD的斜率均存在，求•的最大值，并证明直线PQ与x轴交于定点．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由椭圆的长轴长为2，右焦点F（1，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆G的方程．
，得（3k2+2）
F0）k≠0，（Ⅱ）（1，，由题意设直线AB的方程为y=k（x﹣1），由
x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式分别求出AB的中点P，CD的中点Q，从而求出k=±1时，
有最大值．当k=±1时，直线PQ的方程为x=，恒过定
）．
0）点（，，当直线有斜率时，求出直线PQ的方程，由此能求出直线PQ恒过定点（
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2 ，右焦点F（1，0），
∴，解得a=，b=，
∴椭圆G的方程为=1．
（Ⅱ）F（1，0），由题意设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0，
，得（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，
由
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=
，
∴AB的中点P（
，），
又由题意得直线CD的方程为y=﹣同理，得CD的中点Q（
， ），
∴==
=≤=，
当且仅当，即k=±1时，有最大值．
又当直线PQ⊥x轴时， =，
即k=±1时，直线PQ的方程为x=，恒过定点（，0），
当直线有斜率时，kPQ=
=，
∴直线PQ的方程为y﹣，
令y=0，得x===，恒过定点（），
综上，直线PQ恒过定点（）．
20．数列{an}是由1，2，3，…2018的一个排列构成的数列，设任意m个相邻的和构成集合B，即B={x|x=
an+i，n=0，1，2，…，2018﹣m}．
（Ⅰ）若m=8，求B中元素的最大值；
（Ⅱ）下列情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列{an}，若不能，说明理由．
①m=8，n=8k，k=0，1，2，…，251； ②m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671．
（Ⅲ）对于数列{an}，若m=8，记B红元素的最大值为D，试求S的最小值． 【考点】数列的应用；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）x=
an+i，m=8，代入即可求得x的值，即可求得B中元素的最大值；
（Ⅱ）①由题意构造数列a2n=n，（n=1，2，…，1018），a2n﹣1=2018﹣n，（n=1，2，…，1018），由x=
a4n+i，求得x的值，因此B={8188}；
②采用反正法，假设存在一个数列{an}使集合B只有一个元素，由题意数列{an}中的2018个数分为672，每段和相等，设和为T，T=
，与T是整数矛盾，假设不成立，因
此不存在数列{an}使集合B只有一个元素，
（Ⅲ）求得数列的前n项S≥8188，设a2n﹣1=2018﹣n，（n=0，1，2，…1018），a2n=n，（n=0，1，2，…1018），求得任意相邻的8项和为T=8184，即求得S的最小值． 【解答】解（Ⅰ）x=
an+i，m=8，
x=2018+2018+2018+2018+2018+2018+2018+2018=16100， ∴B中元素的最大值16100；
（Ⅱ）①数列：2018，1，2018，2，2018，3，…1018，1018能使集合B中只有一个元素，
这时，a2n=n，（n=1，2，…，1018），a2n﹣1=2018﹣n，（n=1，2，…，1018）， x=
a4n+i=[2018﹣（4k+1）+2018﹣（4k+2）+2018﹣（4k+3）+2018﹣（4k+4）]+[（4k+1）
+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4）]， =2018×4=8188， 所以B={8188}，
②当m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671时，没有这样的数列{an}，使集合B只有一个元素，
证明：假设存在一个数列{an}使集合B只有一个元素，由题意数列{an}中的2018个数分为672，每段和相等，设和为T，则有： 672T=1+2+3+…+2018=所以T=
=
，
，与T是整数矛盾，假设不成立，
当m=3，n=3k，k=0，1，2，…，671，没有这样的数列{an}使得集合B只有一个一个元素，
（Ⅲ）S的最小值为8188， 由题意S=max（
an+i），n=0，1，2，…2018，
，即S≥8188，
所以S≥
要求所以S中的最小值，构造这样的数列{an}，
a2n﹣1=2018﹣n，（n=0，1，2，…1018），a2n=n，（n=0，1，2，…1018）， 设任意相邻的8项和为T，则：
T=a2n+a2n+1+…+a2n+7=[n+（n+1）+（n+2）+（n+3）]+[++﹣]， =2018×4， =8184，（n=0，1，2，…1018），
∴T≤8188，即对这样的数列{an}，S=8188，
∵S≥8188， ∴S=8188．
2018年10月4日
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