大兴区2018-2019学年度第一学期期末检测试卷
高三数学（理）
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.设集合A.
B.
， C.
D.
，则
等于( )
【答案】C 【解析】 【分析】
求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算得答案． 【详解】解：∵x﹣3x≤0，∴0≤x≤3，∴B＝[0，3]，
2
A＝（2，+∞），∴A∩B＝（2，3]．
故选：C．
【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． 2.已知A.
，则下列不等式成立的是( ) B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
利用不等式的基本性质、函数的单调性即可得出． 【详解】解：∵a＞b＞0，∴只有B正确． 故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.在复平面内，复数对应的点的坐标为A. B. C. D. 【答案】D
，则
等于( )
，
，lga＞lgb，2﹣a＜2﹣b．
【解析】 【分析】
由题意求得z，进一步得到z+1，再由复数模的计算公式求解． 【详解】解：由题意，z＝2﹣i， 则|z+1|＝|2﹣i+1|＝|3﹣i|故选：D．
【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 4.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则输入的值为( )
．
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：模拟程序的运行，可得
S＝0，n＝1
满足条件1＜i，执行循环体，S满足条件2＜i，执行循环体，S满足条件3＜i，执行循环体，S满足条件4＜i，执行循环体，S，n＝2
，n＝3
，n＝4
（1
）+（
）+（
）+（
）
，n＝5
由题意，此时应该不满足条件5＜i，退出循环，输出S的值为，可得4＜i≤5，可得i的值为5． 故选：B．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 5.已知数列
，则“存在常数，对任意的
，且
，都有
”是“数列
为等差数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的定义不妨令m＝n+1，则有：an+1﹣an＝c，可知，数列{an}是以c为公差的等差数列，由等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，am＝a1+（m﹣1）d，（d为公差）得：
【详解】①由已知：“存在常数c，对任意的m，n∈N，且m≠n，都有不妨令m＝n+1，则有：an+1﹣an＝c，由等差数列的定义， 可知，数列{an}是以c为公差的等差数列，
②由“数列{an}为等差数列”则an＝a1+（n﹣1）d，am＝a1+（m﹣1）d，（d为公差） 所以：
，
*
*
，故得解． ”
即存在“存在常数c，对任意的m，n∈N，且m≠n，都有综合①②得：“存在常数c，对任意的m，n∈N，且m≠n，都有是“数列{an}为等差数列”的充分必要条件， 故选：C．
*
”此时，c＝d，
”
【点睛】本题考查了数列的定义及等差数列的通项，充分必要条件，属简单题． 6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D. 【答案】A 【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体，可知原几何体为三棱锥，再由棱锥体积公式求解． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为三棱锥P﹣ABC， 则该几何体的体积V故选：A．
【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7.已知，，为共面的三个单位向量，且A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】
运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可计算得到． 【详解】解：由⊥，则又，为单位向量，则|则（＝（
）•（）
）1＝|
|cos1， ）的取值范围是[1
，1
]．
|
（
）
1
cos
1，
0，
，
B.
，则（
）•（
）的取值范围是( )
．
D.
由﹣1≤cos则（
）•（
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属
于中档题．
8.A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表： A品牌车型 A1 环比增长-7.29% 10.47% 14.70% 率 B品牌车型 环比增长-8.49% -28.06% 率
根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论:①A1车型销量比B1车型销量多； ②A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；
④A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确结论的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论，分析正误即可． 【详解】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：
对于①，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，①错误； 对于②，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%， 所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，②错误； 对于③，B品牌三款车型中有销量增长率为13.25%， 所以它的总销量环比增长率也可能为正，③正确； 对于④，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率， 也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，④正确； 综上所述，其中正确的结论序号是③④．
A2 A3 B1 B2 B3 13.25%
故选：B．
【点睛】本题考查了合情推理与命题真假的判断，也考查了销售量与增长率的应用问题，是基础题．
第二部分 (非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每题5分，共30分。
9.抛物线【答案】 【解析】 【分析】
利用抛物线的标准方程可得 p2
的焦点到准线的距离等于_______
，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．
，
【详解】解：抛物线x＝y的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p是解题的关键． 10.
展开式中，常数项的值为__________.
【答案】 【解析】 【分析】
先写出通项，在通项公式中令x的指数为0，求出k，从而写出常数项． 【详解】解：
令18﹣3k＝0，k＝6，故故答案为：84
【点睛】本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查． 11.在
中，已知
，则
________．
6
的展开式中的常数项为T下标7＝C9＝84
【答案】 【解析】 试题分析：因为
，所以
，
所以由余弦定理得：
0
，因为C为三角形内角，所以C=45。
考点：本题考查余弦定理的变形应用。
点评：利用余弦定理通常用来解决：（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； （2）已知三边，求三个内角。 12.若存在满足【答案】【解析】 【分析】
画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数﹣c＝x0﹣y0的几何意义，即可确定目标函数z＝x﹣y的取值范围． 【详解】解：存在满足
的非负实数x0，y0，表示的平面区域，如图所示：
的非负实数．．
，使
成立，则的取值范围是_________．
3个顶点是A（0，5），C（0，1），B（，0），
由图易得目标函数在（0，5）处，﹣c＝x0﹣y0取最小值： -5，c取得最大值5，在B（，0）处，c得最小值为：∴使x0﹣y0+c＝0成立，则c的取值范围是[故答案为：[
]．
]．
．
【点睛】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件
和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 13.直线【答案】【解析】 【分析】
与圆
交于，两点，当
的面积最大时，的值为________
根据题意，设圆心C到直线的距离为d，由直线与圆的位置关系可得△ABC的面积Sd×2，
结合基本不等式的性质分析可得当d2解可得k的值，即可得答案．
，即d时，△ABC的面积最大；由点到直线的距离公式可得d，
【详解】解：根据题意，直线l：y＝kx+k与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点， 设圆心C到直线的距离为d，
圆C：（x﹣1）+y＝1的圆心C（1，0），半径r＝1； 则△ABC的面积S分析可得：当d2
2
2
d×2
，即d，
时，△ABC的面积最大；
此时有d，
解可得k故答案为：
； ．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题． 14.设函数①若
，则
的最大值为________；
有两个零点，则的取值范围是________．
②若函数
【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】
①，当a＝0时，f（x）
，由此分析函数的单调性，据此分析可得答案；
②，根据题意，由函数的解析式分析可得图象关于直线x＝a对称，若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，即函数y＝f（x）与y＝b有2个交点，结合函数的图象分析可得答案． 【详解】解；①，当a＝0时，f（x）
x
，
当x≤0时，f（x）＝2，f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，
xx
当x＞0时，﹣x＜0，则f（x）＝f（﹣x）＝2﹣＝（），
则f（x）在（0，+∞）为减函数，
0
则f（x）max＝f（0）＝2＝1；
xa
②，根据题意，当x≤a时，f（x）＝2﹣，
当x＞a时，则有2a﹣x＜a， 此时f（x）＝f（2a﹣x）＝2f（x）
a﹣x
，
，其图象关于直线x＝a对称，
若函数y＝f（x）﹣b有两个零点，即函数y＝f（x）与y＝b有2个交点，其图象如图：
必有0＜b＜1，即b的取值范围为（0，1）； 故答案为：①，1，②（0，1）．
【点睛】本题考查分段函数的性质，函数的零点问题，注意分析函数的对称性，属于基础题．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.已知函数（Ⅰ）求（Ⅱ）求
的最小正周期； 在区间
上的最大值和最小值．
.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）最大值为2，最小值为0 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，需要把的最小正周期； （Ⅱ）先由【详解】解：（Ⅰ）
，得出
．再由正弦函数的性质求出最大值与最小值即可.
化简为f（x）
，再由公式即可求出函数
， ，
， ，
所以
的最小正周期
，所以，即，即
时，时，
．
．
取得最大值为；
（Ⅱ）因为所以当当
取得最小值为．
【点睛】本题考查三角函数的最值及三角函数的图象与性质，解的关键是化简函数的解析式及熟练掌握三角函数的相关性质.
16.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下： 使用人数 20以下 [20,30) 3 12 0 [30,40) 17 3 [40,50) 6 14 [50,60) 4 36 [60,70] 2 3 70以上 0 0 未使用人数 0
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在（Ⅱ）从被抽取的年龄在
且未使用自由购的概率；
使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在
的人数,求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值； （Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．
（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）2200
【详解】解：（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中， 年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
．
,
.
所以的分布列为
所以的数学期望为
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中， 使用自由购的共有
人，
.
1 2 3 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为
.
【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合． 17.如图，边长为的正方形点，点为线段
上任意一点.
和高为的等腰梯形
所在的平面互相垂直，
，
，
与
交于
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求
平面；
与平面所成角的正弦值；
与平面
垂直，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.
（Ⅲ）是否存在点使平面
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】 【分析】
（Ⅲ）存在，且此时的值为
（Ⅰ）证明EF∥BD，OF∥ED．推出OF∥平面ADE；
（Ⅱ）取EF中点M，连结MO，得到MO⊥BD．证明MO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADE的法向量利用空间向量的数量积求解直线BF与平面ADE所成角； （Ⅲ）设
，求出平面BCH的法向量，通过平面BCH与平面ADE垂直，则
中，
与
交于点，
，转化求解即可．
【详解】证明：（Ⅰ）因为正方形所以因为所以所以所以又因为所以
. ，且
为平行四边形. . 平面平面
.
中点，连结
平面， 平面平面
,
两两垂直.
，
.
, ，
，因为梯形
为等腰梯形，所以
.
，
平面
，
解：（Ⅱ）取又因为平面
平面平面所以又因为所以
如图，建立空间直角坐标系
则
，
，
，
，
设平面的法向量为，
则
，即
， 令，则，所以.
设直线
与平面
所成角为，
，
所以直线与平面
所成角的正弦值为.
（Ⅲ）设， 则，，
设平面的法向量为， 则
，即
，
令，则，.
所以
.
若平面与平面
垂直，则.
由
，得
.
所以线段OF上存在点使平面与平面垂直，的值为.
【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，空间向量的数量积的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力． 18.已知函数（Ⅰ）若曲线（Ⅱ）求函数
在
．
处的切线方程为
上的极值．
，求的值；
在区间
【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求出（Ⅱ）求出
的导数，求出切线方程，然后求解a即可．
，通过①当2a≤1，即
时，②当2a≥2，③当1＜2a＜2，判断导函数的符号，函
数的单调性，然后求解函数的极值． 【详解】解：（Ⅰ）因为所以所以因为所以解得
.
，，
，即在在，即在在
时，单调递增； 无极值； 时，单调递减， 无极值；
时，
在
恒成立， 在
恒成立， ，
在， .
处的切线方程为
.
，
，
（Ⅱ）因为所以①当所以所以②当所以所以③当
，即变化如下表：
因此，所以当
- 0 + 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 的减区间为时，
，增区间为．
，无极大值.
有极小值为
【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力． 19.已知椭圆交直线
于
两点，
的离心率为，左顶点为交椭圆于另一点.
，过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线
分别
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求证：直线【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）先得出a＝2，再由离心率计算出c的值，再由a、b、c的关系求出b的值，即可得出椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），可得出直线l2的方程为
，将这两条直线分别于直线l的方程联立，
恒过定点，并求出定点坐标．
（Ⅱ）直线
恒过定点
．
可得出点M、N的坐标，然后写出直线AM的方程，将直线AM的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求出点P的坐标，再写出直线PN的方程，通过直线PN的方程找出直线 PN所过的定点． 【详解】解：（Ⅰ）由题意离心率所以
，所以，
． ，
，
，
．
.
，
所以椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设令
，得
又，所以直线的方程为．
由即设
，则
，消元，得
， ，所以
，
．
所以，
又所以直线
，
的斜率为
，
所以直线即直线
的方程为，
，
恒过定点．
【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； （2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 20.设有限数列（Ⅰ）已知有限数列（Ⅱ）已知有限等比数列（Ⅲ）已知有限等差数列【答案】（Ⅰ）数列的伴随集合为不能 【解析】 【分析】
和数列
，定义集合
为数列的伴随集合．
．分别写出和的伴随集合； ，求的伴随集合中各元素之和； ，判断
是否能同时属于的伴随集合，并说明理由．
；（Ⅱ）
（Ⅲ）
，数列的伴随集合为
（Ⅰ）由数列A的伴随集合定义可得P，Q的伴随集合；
（Ⅱ）先证明对任意i≠k或j≠l，则ai+aj≠ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），可得求集合M中各元素之和时，每个ai（1≤i≤n）均出现n﹣1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和； （Ⅲ）假设
同时属于数列A的伴随集合M．设数列A的公差为d（d≠0），运用等差数列的定义和通项公式、
性质，推理论证得到矛盾，即可判断． 【详解】解：（Ⅰ）数列的伴随集合为（Ⅱ）先证明对任意假设当所以
且
，因为
矛盾． 且
时，也不成立．
，因为
，则
，
，则
或
，则
． ，即
，
，数列的伴随集合为
．
．
，与
同理，当当所以
且
时，不妨设
，
左边为奇数，右边为偶数，所以综上，对任意
或
，则
，
均出现
次，
所以求集合中各元素之和时，每个所以（Ⅲ）假设设数列的公差为
同时属于数列的伴随集合．
，则
即
②-①得，③-①得，
， ，
两式相除得，，
因为所以
，
，
，
所以又因为所以
，
， ，
所以所以
，与
不能同时属于数列的伴随集合．
矛盾，
．
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论首项和运算能力、推理能力，属于难题．
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