考点17 三角函数的性质与应用答案

【考纲要求】

（1）了解三角函数的周期性；

（2）理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等）；

（3）理解正切函数在区间−【命题规律】

高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现选择题、填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．

预计2018年高考对三角函数的性质的考查仍会集中在对称性、单调性、周期性和最值问题，体现整体思想的应用．

【典型高考试题变式】 （一）三角函数的周期性

例1 【2017山东】函数y=3sin2x+cos2x最小正周期为（ ）

,内的单调性． 222ππA．2 B．3 C．π D．2π

【答案】C

31π2πy=2sin2x+cos2x=2sin2x+T==π2262【解析】∵，∴，故选C．

【方法技巧归纳】求解三角函数的周期性的方法：

（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．

（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y=Asin(x+)，或

y=Atan(x＋)等类型后，用基本结论

T=2T=||或||来确定；③根据图象来判断．

【变式1】【例题中的解析式改变了，选择题改为填空题】函数是__________．

f(x)=(1+cos2x)sin2x的最小正周期

【答案】2

【解析】∵

f(x)=(1+cos2x)sin2x=(1+cos2x)1−cos2x=11−cos22x=11−1+cos4x2222()11cos4x1cos4x22T==−=−f(x)=(1+cos2x)sinx2224442． ＝，∴函数的最小正周期是

【变式2】【例题中的解析式改为了含有参数的解析式，求解问题改为确定参数的值】已知函数

f(x)=sinkx+3coskx的最小正周期是3，则正数k的值为＿＿＿＿＿＿．

【答案】6

2f(x)=2sinkx+T===k=63，∴k3【解析】∵．

（二）三角函数的单调性

例2 【2015新课标1】函数f(x)=cos(x+)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）

1313(k−,k+),kZ(2k−,2k+),kZ4444A． B． 1133(2k−,2k+),kZ(k−,k+),kZ4444C． D．

【答案】D

【方法技巧归纳】求解三角函数的单调性的方法：

（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．

（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：

①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．

【变式1】【例题中由图象先求解析式改为由文字条件求解析式，其它形式没改变】已知函数

f(x)=2sin(x+)−1(0,)则取最小值时，

x=的一个零点是

3，

x=−6是y=f(x)的图像的一条对称轴，

f(x)的单调增区间是（ ）

1175−−++33kk,,−−++33kk,kZ,kZ66A．3 B．3 1121−−++22kk,,−−++22kk,,kZkZ3366C． D．

【答案】B

【变式2】【例题中由图象先求解析式改为直接给出解析式，所求改为求某指定区间上的单调区间】函数

f(x)=sinx−3cosx(−x0)的单调增区间是_________．

−,0【答案】6

f(x)=sinx−3cosx=2sin(x−【解析】因为

3,所以增区间为

)2k−2x−32k+2,即

2k−6x2k+55−x−x06,取k=0可得66,又−x0,故6,应填答案

−,06．

（三）三角函数的奇偶性

例3 【2014安徽】若将函数f(x)=sin2x+cos2x的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对

称，则的最小正值是（ ）

33A．8 B.4 C．8 D．4

【答案】C

【方法技巧归纳】求解三角函数的奇偶性的策略：

（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；

（2）两个常见结论：①若函数

f(x)=Asin(x+)为奇函数，则

=k(kZ)；若函数

f(x)=Asin(x+)=k+为偶函数，则

2(kZ)；②若函数

f(x)=Acos(x+)为奇函数，则

=k+2(kZ)；若函数

f(x)=Acos(x+)为偶函数，则

=k(kZ)．

【变式1】【命题中由先求解析式改为直接给出解析，且由偶函数改为奇函数，所求基本不变】若函数

xf(x)=cos+(x0,2)33是奇函数，则=（ ）

352A．2 B．3 C．2 D．3

【答案】C

xxf(x)=cos+(x0,2)+=k+(kZ)332【解析】因为函数是奇函数，所以33，所以

k=0时，

=30,22，故选C．

【变式2】【命题中解析式变为含有初相外的另一参数的非标准正弦型函数，所求解问题没有变】使函

数

−,f(x)=sin(x+)+3cos(x+)22是奇函数，且最小正周期为，则=＿＿＿．

【答案】3

−2sin2x+++=kf(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)33【解析】函数=为奇函数,所以,

=k−即

3,(kZ)．当k=0时，

=−3．

（四）三角函数的对称性

例4 【2016新课标2】若将函数y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴

为（ ）

kkkk+−−+222212(k∈Z) 1266A．x=(k∈Z) B．x=(k∈Z) C．x=(k∈Z) D．x=

【答案】B

ππy=2sin2(x+)12＝【解析】由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度得函数

ππππkπ2sin(2x+)2x+=+kπ,kZx=+,kZ6的图像，则平移后函数图像的对称轴为6262，即，故选

B．

【方法技巧归纳】求解三角函数对称性的方法：

（1）求函数y=Asin(x+)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由y=sinx的对称

0)，kZ，所以y=Asin(x+)的中心，由方程x+=k解出x即可；②因为y=sinx中心是(k，x=k+的对称轴是

2，kZ，所以可由

x+=k+2解出x，即为函数y=Asin(x+)的对称

1(k,0)(kZ)轴；(3)注意y=tanx的对称中心为2；

（2）对于函数y=Asin(x+)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线判断．

x=x0或点

(x0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x)的值进行

0,0πy=2cos4x+6的图象向左【变式1】【例题由正弦改为余弦，由求对称轴改为求对称中心】将函数

π平移12个单位后，得到的图象的一个对称中心为（ ）

ππ5ππ−−,0,0,0,0643 B． C． D．12 A．【答案】A

y=2cos4x+6向左平移12个单位后，得到的【解析】将函数

ky=2cos4x++=2cos4x++=−2sin4xx=,kZ126364的图象，令4x=k，求得，−,0令k=−1，可得该函数的图象的一个中心对称中心为4，故选A．

【变式2】【由例题求函数的对称轴改为根据函数的对称性求解参数】如果函数

y=2sin(2x−)的图

4,03中心对称，那么的最小值为（ ） 像关于点A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】C

4482sin2−=02−=k=−k+(kZ)333【解析】由题意，知，得，，则由条件，

知当k=3时，的最小值为3，故选C．

（五）三角函数的最值

f(x)=sin2x+3cosx−例5 【2017课标II】函数【答案】1

3(x[0,])2的最大值是____________． 4【解析】化简三角函数的解析式，则

f(x)=1−cos2x+3cosx−31−cos2x+3cosx+4＝4＝

−(cosx−323x[0,])+1cosx=2可得cosx[0,1]，当22时，函数f(x)取得最大值1． ，由

【方法技巧归纳】求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：

（1）形如y=asinx+bcosx+k的三角函数化为y=Asin(x+)+k的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；

2y=asinx+bsinx+k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（2）形如

（3）形如

y=asinxcosx+b(sinxcosx)+c的三角函数，可先设t=sinxcosx，化为关于t的二次

函数求值域(最值).

【变式1】【例题中的解析式改变了，给定区间改变了，求最大值改为求最小值】函数

π2πf(x)=1+4cosx−4sin2x,x−,43 ，则f(x)的最小值为___________．

【答案】−4

11f(x)=1+4cosx−4(1−cos2x)=4t2+4t−3,t=cosx−,1t=−2，2时，f(x)【解析】所以当

取最小值−4

【变式2】【例题中解析式改为含有字母的解析式，所求最大值没改】设a为常数，且a1,0x2，则函数

f(x)=cos2x+2asinx−1的最大值为（ ）

2A．2a−1 B．2a+1 C．−2a−1 D．a 【答案】A

【数学思想】 1．函数与方程的思想

主要体现在求解析式中含有参数的函数性质问题时，通常要通过建立方程解决；求解三角函数的最值有时可以转化二次函数，利用二次函数的最值知识求解．

2．转化与化归的思想

主要体现在求解函数的性质（奇偶性、对称性、单调性、周期性最值等）时，通常要将函数转化为形如

y=Asin(x+)的形式，再利用正弦曲线的性质求解．

3．分类讨论的思想

主要体现在求解解析式、定义域中含有参数的函数性质时，由于参数的取值范围不同，可能造成不同的结果，此时常常要考虑利用分类讨论的思想求解．

4．整体代换的思想

求较为复杂的三角函数的性质时，首先化简成y=Asin(x+)的形式，通常将x+看作一个整体，代入y=sinx的单调区间、对称轴（或中心）可求得相应的单调性区间与对称轴（或中心）．

【注意事项】

1．求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．三角函数存在多个单调区间时易错用“

”联结．

2．闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．

3．处理三角函数的奇偶性或最值等性质时，必须树立“定义域优先”的意识．

4．利用函数的单调性比较两个三角函数值的大小时，必须将考虑所涉及到的角是否在同一单调区间内，否则会造成错判．

5．利用换元法处理三角函数的最值时，注意确定新元范围，如令

t=sinx,t−1,1，

t=sinx+cosx,t−2,2．

【典例试题演练】

1．【四川外语学院重庆第二外国语学校2017届高三3月月考】下列函数中，最小正周期为的偶函数是

( )

y=cos(2x+)y=sin(2x+)2 B．2 C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx A．

【答案】A

y=2sin2x+4不是偶【解析】A中y=cos2x，满足条件；B中y=−sin2x，不是偶函数；C中

y=2sinx+4不是偶函数，且周期为2，故选A． 函数；D中

f(x)=sinx+cosx+6的值域为（ ） 2．【东北三省三校2017年高三第二次联合模拟】函数

33,−−3,322−2,2−1,1  C．A． B． D．【答案】C

13f(x)=sinx+cosx=sinx+223 ,所以值域为−1,1，选C． 【解析】函数

3．【陕西师范大学附属中学2017届高三上学期第二次模考】函数

偶函数的充要条件是（ ）

f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)是

=k+A．

6,kZ B．

=2k+6,kZ

=k+C．【答案】A

3,kZ D．

=2k+3,kZ

ππππf(x)=2sin2x+++=kπ+,=kπ+3为偶函数，故326． 【解析】依题意

[0,]f(x)=sin(x)(0)4上单调递增，4．【2016届黑龙江省大庆实验中学高三上期末】函数在区间

[,]在区间43上单调递减，则为（ ）

32A．1 B．2 C．2 D．3

【答案】B

x=【解析】由题意可知函数在时．=2，故选B．

4时确定最大值，就是4＝2k+2，kZ，=8k+2,k=0π5．若将函数y=sin2x的图象向左平移6个单位，则平移后的图象（ ）

ππ−,0x=−12对称 B．关于直线12对称 A．关于点

ππx=,012对称 C．关于点12对称 D．关于直线

【答案】D

ky=sin2x+2x+=k+x=+,kZ662212【解析】平移后的函数．令，解得，则平移

x=后的图象关于直线

kx=+,kZ21212．故选D． 对称，当k=0时，

6．【2017届福建厦门一中高三理上期中】若函数

大值为（ ）

f(x)=1+3tanxcosx,−()3x6，则f(x)的最

A．1 B．2 C．3 D．3+1 【答案】C

f(x)=1+3tanxcosx=cosx+3sinx=2sinx+−x6，因为36，所以【解析】

()−6x+63，故f(x)的最大值为3，故选C．

7．【四川省泸州市2017年高三下学期3月】函数

（ ）

f(x)=sin2x+3sinxcosx的图像的一条对称轴为

x=A．

12 B．

x=6 C．

x=57xx=12 6 D．

【答案】C

f(x)=【解析】因为

1−cos2x31+sin2x=sin2x−+2232，所以对称轴方程满足5k5x=+,kZ12，故选C． 212，由题设可取k=0得

2x−3=k+2x=8．【河南省兰考县第二高级中学2017学年高三下学期月考】已知函数

f(x)=3sinx+cosx(0)，

y=f(x)f(x)的图像与直线y=2的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是( )

511kk+−,,kk++,,kZkZ123126A． B．

25k+,k+,kZk−,k+,kZ631212C． D．

【答案】A

【解析】化简

f(x)=2sin(x+6)T=2==2f(x)=2sin(2x+6) 当

−2+

2k 

2x+6−+kx+k,kZ+f(x)6 2 2k,即3 是 是增函数，故选A．

f(x)=Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为,其图

9．【河北省石家庄市高三数学一模】函数

x=象关于直线

3对称,则的最小值为( )

55A．12 B．6 C．6 D．12

【答案】B

2sin2x+=mx0,62上有两个不相等的实10．【辽宁省大连市2017届高三第一次模拟】若方程在

数解

x1,x2，则

x1+x2=（ ）

2A．2 B．4 C．3 D．3

【答案】C

ππ7ππππm=2sin2x+2x+,2x+,x0,662时,函数6单666 ,即2,所以【解析】因为

ππ7πm=2sin2x+2x+,6单调递减,因此626时,函数调递增,

ππππ2x++2x+=2,x+x=12126623,故选C． 1f(x)=sin2x+acosx(0,)211．【2017届福建厦门一中高三理上期中】若函数在上单调递增，则a的

取值范围是（ ） A．

(−,−1

B．

−1,+)

C．

(−,1

D．

1,+)

【答案】A

1f(x)=sin2x+acosx(0,)上是增函数，∴f(x)=cos2x−asinx0，∴2【解析】∵在区间1−2sin2x−asinx0，即−2x2−ax+10，x(0,1，∴

a−2x+11g(x)=−2x+x，令x，则

g(x)=−2−102x，∴g(x)在x(0,1递减，∴ag(1)=−1，故选A．

f(x)=cosx+,(0,xR)412．【福建省师大附中2017年高三下学期月考】已知函数，若函数

,f(x)内单调递减，则的取值范围为( ) 在区间2315133,,0,,2224444 B． C． D． A．【答案】C

a,abab= b,ab13．【甘肃省肃南县一中2017年高三上学期模拟】定义一种运算，令

f(x)=cos2x+sinx()3x−,22，则函数2，且fx−2的最大值是（ ） 153A. 2 B. 2 C. 4 D. 1

【答案】C

30,f(x)=axsinx−(aR)214．【2017届湖北荆州市高三上质检一】已知函数，且在2上的最大值为

−32，则实数a的值为( )

13A．2 B．1 C．2 D．2

【答案】B

x[0，]f(x)=a(sinx+xcosx)2，有sinx+xcosx0，当a=0【解析】由已知得，对于任意的

时，

f(x)=−3x[0，]，f(x)0 [0，]fx()22单调递减，又2，不合题意；当a0时，，从而在

3 f(0)=−[0，]2上的最大值为2，不合题意；当a0时，函数在上图象是连续不断的，故函数在

x[0，]fx0[0，]f(x) 2，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在2，()，从而在

3−3f()=a−= [0，]222上的最大值为22，解得a=1，故选B．

15．【湖南省邵阳市2016-2017学年普通高中学业水平考试模拟】函数

________________． 【答案】π

f(x)=cos2x的最小正周期为

【解析】由周期公式可得函数

f(x)=cos2xT=的最小正周期为

2π=π2．

f(x)=asinx++3sinx−44是偶函数，16．【河北省衡水中学2017年高考猜题卷（一）】若函数

则实数a的值是 __________．

【答案】−3 f−=【解析】由题设函数的图像关于y轴对称，则4f4，即a=−3．

f(x)=sinx+(−2,0)317．【河南省新乡市2017届高三第三次模拟】若函数（01）的图象关于点

对称，则=__________．

【答案】6

2+【解析】根据题意可得

3=k,kZ, 又01，故

=4．

18．【2017届湖南省岳阳市高三教学质量检测试卷（二）】若点

称中心，则cos2+sincos=__________．

(,)是函数f(x)=sinx+3cosx的一个对

11【答案】10

−1−tan2cos2+sincos=sin+3cos=0tan=−31+tan2＋【解析】由题意，即，所以

tan1−9−311==−1+tan21+910．

f(x)=2sin2x+f(x)=2sin2x−6；3；19．【甘肃省兰州市2017年高考实战模拟】已知函数：①②

11f(x)=2sinx+f(x)=2sinx−x=3．3；223③④其中，最小正周期为且图象关于直线

对称的函数序号是__________． 【答案】②

πx=3代入①【解析】最小正周期为π，故=2，排除③④；将

位置，故①错误，故②正确．

πf=2sinπ=03，不是对称轴的

20．【河南省息县第一高级中学2017届高三第七次适应性】已知点

P(4,−3)在角的终边上，函数

ff(x)=cos(x+)的图象上离y轴最近的两个对称中心间的距离为2，则8的值为

__________．

72【答案】10

【解析】由题意知，

f(x)T=2 的周期

2=,=2=2,f(x)=cos(2x+)T ，又由任意

34f=cos+=coscos−sinsinsin=−,cos=44455 ，则8三角函数的定义知＝

242372−−=252510．

21．【江西省上饶市2017届高三第二次模拟】已知函数

f(x)=sin(3x+3)−2sin(x+)cos(2x+2)，

2,f(x)其中，若在区间635【答案】6

上单调递减，则的最大值为__________．

f(x)=sin2x−22．【2017届四川双流中学高三必得分训练5】已知函数

（1）求函数f(x)的解析式及其最小正周期；

3sin2x2．

x[0,]3时，求函数f(x)的值域． （2）当

11[−,0]f(x)=−sin(2x+)+62,T=；(2)2． 【答案】(1)

1f(x)=−sin(2x+)+62，T=；【解析】（1）利用二倍角公式、两角和公式和辅助角公式将函数化简

（2）∵62x+615sin(2x+)166，∴2，

11f(x)0[−,0]∴2，∴函数f(x)的值域是2． −23．【2017届湖北荆州市高三上质检一】已知函数

（1）求函数（2）求

f(x)=3sinxcosx−cos2x−12．

f(x)在

的对称中心；

f(x)0,上的单调区间．

5,6

k0,+,−1,kZ212【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) 3f(x)=【解析】(1)

31+cos2x1sin2x−−=sin2x−−12226 x=k+212，

2x−令

6=k，得

k+,−1,kZ212故所求对称中心为

2k−(2)令

22x−62k+2，解得

k−6xk+3,kZ

5x0,,x0,36 又由于，所以

0,故所求单调区间为35,6．

24．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟】已知函数

f(x)=cos(x+)（−0），

g(x)=f(x)+f'(x)（1）求的值；

是偶函数．

0,y=f(x)g(x)（2）求函数在区间2的最大值．

=−【答案】（1）

2+14．（2）2．

=2cosx++g(x)=f(x)+f'(x)=cos(x+)−sin(x+)4． 【解析】（1）依题意， cos+=1g(x)=f(x)+f'(x)4因为是偶函数，所以．

又因为−0，所以

=−4．

f(x)=cosx−4， g(x)=f(x)+f'(x)=2cosx． （2）由（Ⅰ）得，

21y=f(x)g(x)=2cosx−cosx=sin2x++4242． 212+1y=sin2x+x0,+1,2422， 4时，

2+10,y=f(x)g(x)故函数在区间4的最大值为2．