第四章 向量组的线性相关性
§4.1 向量及其运算
1．向量：n个数a1,a2,L,an构成的有序数组, 记作
α=(a1,a2,L,an), 称为n维行向量．
ai–– 称为向量α的第i个分量
ai∈R–– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） 零向量 θ=(0,0,L,0)；负向量 (−α)=(−a1,−a2,L,−an)
2．线性运算：α=(a1,a2,L,an), β=(b1,b2,L,bn) 相等：若ai=bi(i=1,2,L,n), 称α=β． 加法：α+β=(a1+b1,a2+b2,L,an+bn) 数乘：kα=(ka1,ka2,L,kan)
减法：α−β=α+(−β)=(a1−b1,a2−b2,L,an−bn) 3．算律：α=(a1,a2,L,an),β=(b1,b2,L,bn),γ=(c1,c2,L,cn) (1) α+β=β+α (5) 1α=α (2) (α+β)+γ=α+(β+γ) (6) k(lα)=(kl)α (3) α+θ=α (7) k(α+β)=kα+kβ (4) α+(−α)=θ (8) (k+l)α=kα+lα ⎡a1⎤⎢a⎥
4．列向量：n个数a1,a2,L,an构成的有序数组, 记作α=⎢2⎥,
⎢M⎥⎢⎥⎣an⎦
第四章 向量组的线性相关性 2
或者α=(a1,a2,L,an)T, 称为n维列向量．
⎡0⎤⎡−a1⎤⎢0⎥⎢−a⎥
零向量：θ=⎢⎥ 负向量：(−α)=⎢2⎥
⎢M⎥⎢M⎥
⎢⎥⎢⎥
−a0⎣⎦⎣n⎦ 5．内积：设实向量α=(a1,a2,L,an), β=(b1,b2,L,bn), 称 实数[α,β]=a1b1+a2b2+L+anbn为α与β的内积．
算律：α=(a1,a2,L,an),β=(b1,b2,L,bn),γ=(c1,c2,L,cn)
(1) [α,β]=[β,α]
(2) [kα,β]=k[α,β] （k为常数） (3) [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ]
[α,α]>；α=θ时, 0[α,α]=． (4) α≠θ时, 0(5) [α,β]2≤[α,α]⋅[β,β]
证(5) ∀t∈R, 由[α+tβ,α+tβ]≥0可得
[α,α]+2[α,β]t+[β,β]t2≥0 Δ≤0⇒4[α,β]2−4[α,α]⋅[β,β]≤0
⇒[α,β]2≤[α,α]⋅[β,β]
6．范数：设实向量α, 称实数 α=[α,α]为α的范数．
性质：(1) α≠θ时, α>0；α=θ时, α=0．
(2) kα=k⋅α (∀k∈R) (3) α+β≤α+β
第四章 向量组的线性相关性 3
(4) α−β≤α−β 证(3) α+β2
=[α+β,α+β]=[α,α]+2[α,β]+[β,β]
2
≤α+2αβ+β2
=(α+β)2
7．夹角：设实向量α≠θ,β≠θ, 称 ϕ=arccos
(0≤ϕ≤π)为α与β之间的夹角．
[α,β]
αβ 正交：若[α,β]=0, 称α与β正交, 记作α⊥β．
π
(1) α≠θ,β≠θ时, α⊥β⇔ϕ=；
2
(2) α=θ或β=θ时, α⊥β有意义, 而ϕ无意义．
单位化：若α≠θ, 称α0=
1
αα为与α同方向的单位向量．
§4.2 向量组的线性相关性
1．线性组合：对n维向量α及α1,L,αm, 若有数组k1,L,km使
得α=k1α1+L+kmαm, 称α为α1,L,αm的线性组合, 或称α可由α1,L,αm线性表示．
⎡1⎤⎡3⎤⎡5⎤⎡1⎤
例1 β1=⎢0⎥, β2=⎢1⎥, β3=⎢1⎥, β4=⎢3⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎢⎢⎢⎣1⎥⎣−1⎥⎣1⎥⎣−1⎥⎦⎦⎦⎦ 判断β4可否由β1,β2,β3线性表示?
解 设β4=k1β1+k2β2+k3β3，比较两端的对应分量可得
第四章 向量组的线性相关性 4
3⎤⎡k1⎤⎡5⎤⎡k1⎤⎡0⎤⎡11
⎥⎢k⎥=⎢3⎥, 求得一组解为⎢k⎥=⎢2⎥．故 ⎢011⎢2⎥⎢⎥⎢⎥⎢2⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎢⎣k3⎥⎣−11−1⎥⎦⎢⎦⎢⎣1⎥⎣k3⎥⎦⎦⎣1⎦ β4=0β1+2β2+1β3, 即β4可由β1,β2,β3线性表示．
⎡k1⎤⎡2⎤
⎥=⎢3⎥时, 有β=2β+3β+0β． [注] 取另一组解⎢k4123⎢2⎥⎢⎥⎢⎣k3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦ 2．线性相关：对n维向量组α1,L,αm, 若有数组k1,L,km不全
为0, 使得 k1α1+L+kmαm=θ, 则称向量组
α1,L,αm线性相关；否则，称为线性无关．
线性无关：对n维向量组α1,L,αm, 仅当数组k1,L,km全
为0时, 才有 k1α1+L+kmαm=θ, 称向量组
α1,L,αm线性无关；否则，称为线性相关．
[注] 对于单个向量α：若α=θ, 则α线性相关； 若α≠θ, 则α线性无关．
例2 判断例1中向量组β1,β2,β3,β4的线性相关性． 解 设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=θ, 比较对应分量可得
⎡k1⎤
35⎤⎢⎥⎡0⎤⎡11
k2⎥⎢⎥⎢⎥⎢ 0113⎥=0 ⎢⎢k3⎥⎢⎥
⎢⎣−11−11⎥⎦⎢k⎥⎢⎣0⎥⎦
⎣4⎦
即Ax=0．因为未知量的个数是4, 而rankA<4, 所以
Ax=0有非零解, 由定义知β1,β2,β3,β4线性相关．
第四章 向量组的线性相关性 5
例3 已知向量组α1,α2,α3线性无关, 证明向量组
β1=α1+α2, β2=α2+α3, β3=α3+α1 线性无关．
证 设 k1β1+k2β2+k3β3=θ, 则有
(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=θ 因为α1,α2,α3线性无关, 所以 ⎧k1+k3=0⎪
⎨k1+k2=0 , 即
⎪k+k=0
3⎩2
⎡101⎤⎡k1⎤⎡0⎤
⎢110⎥⎢k⎥=⎢0⎥ ⎢⎥⎢2⎥⎢⎥⎢⎣011⎥⎦⎢⎣k3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦
101
系数行列式 110=2≠0, 该齐次方程组只有零解．
011
故β1,β2,β3线性无关．
例4 判断向量组 e1=(1,0,0,L,0), e2=(0,1,0,L,0), … ,
en=(0,0,L,0,1) 的线性相关性．
解 设 k1e1+k2e2+L+knen=θ, 则有
(k1,k2,L,kn)=θ⇒只有k1=0,k2=0,L,kn=0
故e1,e2,L,en线性无关．
例5 设向量组α1,α2,L,αm两两正交且非零, 证明该向量组
线性无关．
证 设 k1α1+k2α2+L+kmαm=θ, 两端与αi作内积可得 k1[α1,αi]+L+ki[αi,αi]+L+km[αm,αi]=[θ,αi] 当i≠j时, 0[αi,αj]=, 于是有
第四章 向量组的线性相关性 6
ki[αi,αi]=0⇒只有ki=0 (Qαi≠θ)
上式对于i=1,2,L,m都成立, 故α1,α2,L,αm线性无关．
3．判定定理 定理1 向量组α1,α2,L,αm(m≥2)线性相关⇔其中至少有
一个向量可由其余m−1个向量线性表示．
证 必要性．已知α1,α2,L,αm线性相关, 则存在k1,k2,L,km
不全为零, 使得 k1α1+k2α2+L+kmαm=θ．不妨 设k1≠0, 则有 α1=(−
kk2
)α2+L+(−m)αm． k1k1
充分性．不妨设α1=k2α2+L+kmαm, 则有
(−1)α1+k2α2+L+kmαm=θ
因为(−1),k2,L,km不全为零, 所以α1,α2,L,αm线性 相关．
定理2 若向量组α1,α2,L,αm线性无关, α1,α2,L,αm,β线性
相关, 则β可由α1,α2,L,αm线性表示, 且表示式唯一．
证 因为α1,L,αm,β线性相关, 所以存在数组k1,L,km,k不
全为零, 使得 k1α1+L+kmαm+kβ=θ． 若k=0, 则 k1α1+L+kmαm=θ, 从而有
k1=0,L,km=0
矛盾! 故k≠0, 从而有 β=(−
kk1
)α1+L+(−m)αm． kk
第四章 向量组的线性相关性 7
下面证明表示式唯一：
若 β=k1α1+L+kmαm, β=l1α1+L+lmαm 则有 (k1−l1)α1+L+(km−lm)αm=θ 因为α1,α2,L,αm线性无关, 所以
k1−l1=0,L,km−lm=0⇒k1=l1,L,km=lm 即β的表示式唯一．
定理3 α1,L,αr线性相关⇒α1,L,αr,αr+1,L,αm(m>r)
线性相关．
证 因为α1,L,αr线性相关, 所以存在数组k1,L,kr不全为
零, 使得 k1α1+L+krαr=θ, 即
k1α1+L+krαr+0αr+1+L+0αm=θ
数组k1,L,kr,0,L,0不全为零, 故α1,L,αr,αr+1,L,αm
线性相关．
推论1 含零向量的向量组线性相关．
推论2 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关．
课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5
第四章 向量组的线性相关性 8
定理4 设αi=(ai1,ai2,L,ain),i=1,2,L,m
⎡α1⎤⎡a11⎢α⎥⎢a2
A=⎢⎥=⎢21
⎢M⎥⎢M⎢⎥⎢⎣αm⎦⎣am1
a12a22Mam2
La1n⎤La2n⎥⎥
M⎥⎥
Lamn⎦
(1) α1,α2,L,αm线性相关⇔rankA ⎡a11⎢a ⎢12 ⎢M⎢⎣a1n a21a22Ma2n Lam1⎤⎡k1⎤⎡0⎤Lam2⎥⎢k2⎥⎢0⎥ ⎥⎢⎥=⎢⎥ M⎥⎢M⎥⎢M⎥⎥⎢⎥⎢⎥ Lamn⎦⎣km⎦⎣0⎦ 即 ATx=0．由定理3.5可得： α1,α2,L,αm线性相关 ⇔ATx=0有非零解⇔rankAT (1) α1,α2,L,αn线性相关⇔detA=0； (2) α1,α2,L,αn线性无关⇔detA≠0． 推论2 在定理4中, 当m (2) α1,α2,L,αm线性无关⇔ 第四章 向量组的线性相关性 9 A中至少有一个m阶子式Dm≠0． 推论3 在定理4中, 当m>n时, 必有α1,α2,L,αm线性相关． 因为rankA≤n 向量组T2：βi=(ai1,L,air,ai,r+1,L,ain),i=1,2,L,m 若T1线性无关, 则T2线性无关． 证 Am×r ⎡α1⎤⎡a11⎢α⎥⎢a 21 =⎢2⎥=⎢⎢M⎥⎢M⎢⎥⎢⎣αm⎦⎣am1 a12a22 M am2 La1r⎤La2r⎥⎥ M⎥⎥ Lamr⎦ a1,r+1a2,r+1 Bm×n ⎡β1⎤⎡a11La1r⎢β⎥⎢aLa2r212⎥⎢⎢== M⎢M⎥⎢M ⎢⎥⎢ ⎣βm⎦⎣am1Lamr M am,r+1 La1n⎤La2n⎥⎥ M⎥⎥ Lamn⎦ T1线性无关⇒rankA=m A是B的子矩阵⇒rankB≥rankA=m ⇒rankB=m⇒T2线性无关 定理5 划分Am×n ⎡α1⎤⎢α⎥ =⎢2⎥=[β1⎢M⎥⎢⎥⎣αm⎦ β2Lβn], 则有 (1) A中某个Dr≠0⇒ A中“Dr所在的”r个行向量线性无关； 第四章 向量组的线性相关性 10 A中“Dr所在的”r个列向量线性无关． (2) A中所有Dr=0⇒A中任意的r个行向量线性相关； A中任意的r个列向量线性相关． 证 只证“行的情形”： ⎡αi1⎤⎢⎥ =⎢M⎥, 则有 ⎢αi⎥⎣r⎦ (1) 设Dr位于A的i1,L,ir行, 作矩阵Br×n rankB=r⇒αi1,L,αir线性无关． ⎡αi1⎤⎢⎥=⎢M⎥, ⎢αi⎥⎣r⎦ (2) 任取A中r个行, 设为i1,L,ir行, 作矩阵Br×n 则有rankB §4.3 向量组的秩与最大无关组 1．向量组的秩：设向量组为T, 若 (1) 在T中有r个向量α1,α2,L,αr线性无关； (2) 在T中任意r+1个向量线性相关． （如果有r+1个向量的话） 称α1,α2,L,αr为向量组T的一个最大线性无关组, 称r为向量组T的秩, 记作 秩(T)=r． 第四章 向量组的线性相关性 11 [注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0． (2) 秩(T)=r时, T中任意r个线性无关的向量都是T的 一个最大无关组． ⎡1⎤⎡0⎤⎡1⎤⎡2⎤ 例如, α1=⎢⎥, α2=⎢⎥, α3=⎢⎥, α4=⎢⎥ 的秩为2． ⎣0⎦⎣1⎦⎣1⎦⎣2⎦ α1,α2线性无关⇒α1,α2是一个最大无关组 α1,α3线性无关⇒α1,α3是一个最大无关组 定理6 设rankAm×n=r≥1, 则 (1) A的行向量组（列向量组）的秩为r； (2) A中某个Dr≠0⇒A中Dr所在的r个行向量（列向量） 是A的行向量组（列向量组）的最大无关组． 证 只证“行的情形”： rankA=r⇒A中某个Dr≠0, 而A中所有Dr+1=0 定理5⇒A中Dr所在的r个行向量线性无关 A中任意的r+1个行向量线性相关 由定义：A的行向量组的秩为r, 且A中Dr所在的r个行向 是A的行向量组的最大无关组． ⎡3⎤⎡−2⎤⎡1⎤⎡2⎤ 0⎥, β2=⎢2⎥, β3=⎢−1⎥, β4=⎢3⎥ 例6 向量组T：β1=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎢⎢⎢⎣0⎥⎣1⎥⎣−2⎥⎣5⎥⎦⎦⎦⎦ 求T的一个最大无关组． 第四章 向量组的线性相关性 12 解 构造矩阵A=[β1 β2β3 ⎡13−22⎤ −13⎥ 02β4]=⎢⎢⎥ ⎢15⎥⎣−20⎦ 求得rankA=2⇒秩(T)=2 13 =2≠0 矩阵A中位于1,2行1,2列的二阶子式 02 故β1,β2是T的一个最大无关组． [注] T为行向量组时, 可以按行构造矩阵A． 定理7 Am×n,Bm×n (1) 若A→B, 则“A的c1,L,ck列”线性相关（线性无关） 的充要条件是“B的c1,L,ck列”线性相关（线性无关）； 行 (2) 若A→B, 则“A的r1,L,rk行”线性相关（线性无关） 的充要条件是“B的r1,L,rk行”线性相关（线性无关）． 列 证 (1) 划分Am×n=[α1α2Lαn], Bm×n=[β1 由A→B可得 αc1 故方程组 αc1 行 β2Lβn] Lβck [Lαck→βc1 ][行 ][Lαck ]] 与方程组 βc1 同解．于是有 [Lβck ⎡x1⎤⎡0⎤ ⎢M⎥=⎢M⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎣xk⎥⎦⎢⎣0⎥⎦⎡x1⎤⎡0⎤⎢M⎥=⎢M⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎣xk⎥⎦⎢⎣0⎥⎦ αc1,L,αck线性相关 第四章 向量组的线性相关性 13 ⇔存在x1,L,xk不全为0, 使得x1αc1+L+xkαck=0 ⇔存在x1,L,xk不全为0, 使得x1βc1+L+xkβck=0 ⇔βc1,L,βck线性相关 同理可证(2)． [注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵B, 当阶梯形矩阵B的秩为r时, B的非零行中第一个非零 元素所在的r个列向量是线性无关的． 例如：求例6中向量组T的一个最大无关组．构造矩阵 ⎡1 A=[β1β2β3β4]=⎢⎢0 ⎢⎣−2 ⎡13−22⎤行⎡13行 −13⎥→⎢0202 →⎢⎢⎢⎥ ⎢⎢⎣00⎣06−39⎥⎦ rankA=rankB=2⇒ 秩(T)=2 B的1,2列线性无关⇒A的1,2列线性无关 ⇒β1,β2是T的一个最大无关组 3−22⎤ 2−13⎥⎥ 015⎥⎦−22⎤ −13⎥=B ⎥00⎥⎦ ⎡1⎤⎡−1⎤⎡3⎤⎡−2⎤ ⎢1⎥⎢−3⎥⎢2⎥⎢−6⎥ ⎥,α4=⎢⎥ 例7 向量组T：α1=⎢⎥,α2=⎢⎥,α3=⎢ ⎢1⎥⎢5⎥⎢−1⎥⎢10⎥ ⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥c13+2⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎣c⎦ 求向量组T的一个最大无关组． 解 对矩阵A=[α1α2α3α4] 进行初等行变换可得 第四章 向量组的线性相关性 14 3−2⎤−2⎤3⎡1−1⎡1−1 ⎥⎢1−3⎥行⎢0−2−1−4−26⎥ ⎥→⎢ A=⎢ ⎢06⎢15−412⎥−110⎥⎢⎥⎢⎥ 04c−7c+6+31c2c⎣⎦⎣⎦−2⎤3−2⎤⎡1−13⎡1−1 ⎥行⎢0−2−1−4⎥行⎢0−214−−⎥=B ⎥→⎢ →⎢ ⎢00−7⎢000⎥−70⎥⎢⎥⎥⎢ 000c−2cc00−9−2⎣⎦⎣⎦ (1) c≠2：rankA=rankB=4 B的1,2,3,4列线性无关⇒A的1,2,3,4列线性无关 故α1,α2,α3,α4是T的一个最大无关组； (2) c=2：rankA=rankB=3 B的1,2,3列线性无关⇒A的1,2,3列线性无关 故α1,α2,α3是T的一个最大无关组． TTT [注] 当α1,α2,L,αm为行向量组时, α1为列向量组． ,α2,L,αm TTT 的列向量组的一个最大无关 若矩阵A=α1α2Lαm []TT ,L,α组为αccr, 则αc1,L,αcr是行向量组α1,α2,L,αm的 1 一个最大无关组． 8 （理解、记忆定理1～7） 课后作业：习题四 7, 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容