课 题 利用等差规律计算 教学内容 在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题在三年级我们已介绍过高斯的故事，他之所以算得快，算得正确，就在于他善于观察，发现了等差数列求和规律． 1+2+3+---+98+99+100 =（1+100+42+99+（144）（442）44+450+51443）共50101= 101×50, 即 (100 +1)×(100÷2)=101×50=5050. 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项……最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差．如： 1，2，3，4．…是等差数列，公差为l； l，3，5，7，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5． 由高斯的巧算可知，在等差数列中，有如下规律： 项数=（末项首项）÷公差+1 第几项=首项+（项-1）×公差 总和=（首项十末项）×项数÷2 本讲用各种实例展示了等差数列的广泛应用价值，我们要求同学们注意灵活应用这三个公式 计算下面各题： (1) 2+5+8+…+23+26+29; (2)(2+4+6+…+100) - (1+3+5+…十99) 解(1)这是一个公差为3、首项为2、末项为29、项数为(29 -2) ÷3+1=10的等差数列求和， 原式= (2+29)×10÷2=31×10÷2=155. (2)解法一 原式=(2+100)×50÷2-(1+99)×50÷2 =2550 - 2500=50, 解法二 原式= (2-1)+(4-3)+(6-5)+…+（100 - 99） =l×50= 50. 两种解法相比较，解法一直接套公式，平平淡淡；解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+…+1”，因而解得更巧、更好 计算：l÷2010 +2÷2010 +3÷2010 +…+2008÷2010+2009÷2010+ 2010÷2010 如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难，由于除数都相同，被除数组成一个等差数列： 1，2，3，4，…，2008，2009，2010. 所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商 解 原式= (1+1+2+3+…+2009+2010)÷2010 = (1- 2010)×2010÷2÷2010 =1000. 5 此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化计算中又应用乘除混合运算的简化运算．使整个解答显得简捷明快。 计算： （1）1+3+5+…+197+199 （2）81+79+---+13+11; （3）1- 2+3 - 4+5 - 6+…+ 2009 - 2010 +2011. 你做对了吗？ 答案：（1）10000 （2）1656 （3）1006 育才小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人，用最简便方法科算出得奖的一共有多少人？ 通过审题可知．各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，…，15．因此，根据求和公式可以求出获奖总人数． 解 (1+1 5)×15÷2 =16×I5÷2 =120(人)． 答 竞赛中得奖的人数一共有120人， 某体育馆西侧看台有30排座位，后面一排都比前面一排多2个座位，最后一排有132个座位，体育馆西侧看台共有多少个座位？ 要求这30个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位数是由第一排座位数加上(30-1)×2得出来的，这样就可以求出第一排的座位数． 解 第一排座位数为 132-2×(30-1) =132 - 58=74（个）． 所以 （74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）． 答 西侧看台共有3090个座位 (1)按一定规律排列的算式：4+2，5+8，6+14，7+20，…，那么第100个算式是什么。 (2)如图．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层部比它下面一层多放1支，最上面一层是120支，这个V型架上一共放着多少支铅笔？ 你做对了吗？ 答案：（1）103 +596 （2） 7260支 学校进行乒乓球选拔舞，每个参赛选手都要和其他所前选手赛1场 (1)若有20人参赛，那么一共要进行多少场选拔赛？ (2)若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？ 设20个选手分别是A1,A2,A3,,A20，我们从选手A1开始按顺序分析比赛场次： A1必须和A2,A3,A4，,A20这19人各赛l场，共计19场； A2已和A1赛过，他只需和A3,A4,A5，,A20这18名选手各赛l场，共计18场； ,A20这17名选手各赛l场，共计17场； A3已和A1，A2赛过，他只需和A4,A5,A6，以此类推，最后，A19只能和A20赛1场 然后对各参赛选手的场次求和即可。 解 （1）这20名选手一共需赛 19+18+17+…+2+1 =（19+1）×19÷2 =190（场） （2）设参赛选手有n人，则比赛场次是 1+2+3+…+（n-1）， 根据题意有 l+2+3+…+(n-1) =78， 经过试验可知， 1+2+3+…+12= 78. 于是 n-1=12. n= 13． 所以，一共有13人参赛， (1)也可这样想，20人每人都要赛19场，但“甲与乙”、“乙与甲”只能算一场，因此，共进行20×19÷2=190(场)比赛． (2)采用了试验法，这是一种很实用的方法，希望同学们能熟练掌握． (1)有12个同学聚会，如果见面时每个人都和其余的人握手1次，那么一共握手多少次？ (2)聚会结束时，统计出一共握手36次，如果参加聚会的每个人都和其他人握手1次，问：有多少人参加聚会？ 你做对了吗？ 答案：(1) 66次 (2)9人 从1加到100等于几？ 高斯八岁时进入乡村小学读书，教他数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤几个小猢狲读书，真是大材小用了，他认为：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣， 这一天正是数学教师情绪低落的一天看到老师那张抑郁的脸孔．同学们心里畏缩起来，知道老师又会在今天找这些学生的麻烦了． “你们今天给我算从1加2加3……一直加到100的和，谁算不出就就罚他不能回家吃午饭”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去r． 教室里的小朋友们拿起石板开始汁算：“1加2等于3.3加3等于6.6加l等于10……”一些小朋友加到一个数后就撩掉石板上的结粜，再加下去，数越来越大，很不好算，有些孩子的小脸儿涨红了，有些孩子手心、额上都渗出了汗． 还不到一分钟的功夫，小高斯拿起了他的石板走上前去：“老师．答案是不是这样？” 老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再 算！错了”他想，不可能这么快就会有答案了， 于是高斯却站着不动，把石板伸到老师面前：“老师！我想这个答案是对的．” 数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050．他惊奇起来，困为他自己曾经算过，得到的数也是5050。这个8岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数．他问小高斯：“你是怎么算的？”小高斯回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的．老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100是101，2加99是101,3加98也是101……把一前一后的数两两相加，一共有50个101，101乘以 50．得5050。” 小高斯的回答，使老师感到吃惊，因为他还是第一次知道这种算法他惊喜地看着小高斯，好像刚刚认识这个穿着破烂不堪的砌砖工人的儿子． 不久，老师专门买了一本数学书送给小高斯．鼓励他继续努力，还把小高斯推荐给教育当局，使他得到免费教育的待遇．后来，小高斯成了世界著名的数学家． 一、填空题 1.0+1+2+---+100+101= ___________． 2.2+5+8+…+299= ___________． 3.(7+9+11+…+25)-(5+7+9+…+23)= ___________． 4.在l～100这100个自然数中，能被3整除的数的和是___________． 5.1-2 -3 +4+5 -6 - 7+8+9 - 10 - 11+12+…+1997-1998-1999+2000=___________． 6.现有10个盒子，用下面方法往盒中装小球儿：第1个盒装1个，第2个盒装4个，第3个盒装7个……照这样的装法，则将10个盒都装完，共需___________个小球， 二、选择题 7.将下面两个式子的结果进行比较，得到的结论是( ) (1)（2+4+6+…+100）—（1+2+3+…+50）； (2)(1+3+5+…+99) —(50+49+48+…+2+1). (A)(1)式比(2)式多50 (B)(2)式比(1)式多50 (C)(1)式等于(2)式 (D)以上答案都不对 ，a2，a3，a4，25组成等差数列，那么a3是( )． 8.如果1(A) 11 (B) 13 (C)15 (D) 17 9.有一本书共169页，小明第一天看了1页，以后每天都比前一天多看2页，则看完这本书需用( )． (A) 12天 (B) 13天 (C) 14天 (D) 29天 10.某班共买来66本课外书，把它们分别放在书架上，每次摆放都是下面一层比上面一层多放1本书，则至多要放的层数为( ) (A)9 ( B) 10 (C) 11 ( D) 12 三、简答题 11.计算：880 -3 - 6 -9 -…- 57． 12.(1)所有两位偶数的和是多少？ (2)所有除以3余2的两位数的和是多少？ 13.已知数列5，7，11，17，…，按照前几项的规律，写出该数列的第15项． 14.在下面的表中，所有数之和为___________． 1 2 3 … 50 2 3 4 … 51 ： ： ： ： ： 50 51 52 … 99 15.时钟一点敲1下，两点敲2下，依次类推，十二点时敲12 下，半点时敲l下． （1）从1点到5点共敲多少下？ （2)）一昼夜共敲多少下？ 你做对了吗？ 答案：1.5151 2.15050 3.20 4.1683 5.0 6.145 7. A 8. B 9.B 10.C 11 310 12（1）2430 (2) 1635 13.215 14.125000 15(1)19下 (2) 180下 一、填空题（每题6分，共60分） 1．找出规律后填数： (1)1, 4, 7, 10, ,16，19,…； (2)1，2，4，7，11， ．22，…， 2．从25往后数20个连续的奇数，最后一个奇数是 ， 3．被4除余1的两位数共有 个． 4．10 000-1-3-5-7-…-199=____. 5．5个数15，a2,a3,a4，95组成等差数列，那么a3= 6.下面的算式是按一定规律排列的，那么第100个算式的得数是 ． 2+3，3+6，4+9，5+12，… 7.一个电影院的第一排有17个座位，以后每排都比前一排多2个座位，最后一排有75个座位，这个电影院共有 排座位． 8.在100，101，102, 103，…，2 004,2 005这列数中，所有奇数之和比所有偶数之和多 ． 9.九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是 10.若干人用成10圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少3人． (1)如果最内圈有20人，共有 人； (2)如果共有455人，最外圈有 人， 二、解答题（每题12分，共60分） 11.计算： (1) 6+10+14+…+398+402; (2)100+99-98+97-96+…+3-2+1. 12.找出下画一列数中不符合规律的一个数： 2、7、10、12、17、22、27． 13.小丰在3分线上投篮，他每次得分相同。 练习次数 3 5 7 9 总得分 36 60 108 按照表中数据规律，列式计算他练习7次的总得分数。 14.盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出，变成3只球后放回盒子里；第2次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里；如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里．这时盒子里共有多少只球？ 15.在1～100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？ 你做对了吗？ 答案： 1．(1) 13． 这是一个公差为3的等差数列． (2) 16，第二项：2=1+l；第三项：4=2+2;第四项：7=4+3；第五项：11=7+4,第六项应为：11+5=16；第七项：22=16+6, … 2．65． 由题意从25往后的20个连续的奇数，构成公差为2，首项为27的等差数列，所以最后一个数a20a1(201)d =27+（20-1）×2=65． 3. 22．被4除余1的两位数构成等差数列：13，17，21，25．…．97．项数=（末项一首项）÷公差+1=(97-13)÷4+1=22． 4.0． 原式=10 000-(1+3+5+…+199)=10 000-(1+199)×100÷2=0. 5. 55． 公差=(95-15)÷4=20，a3 =15+20×2=55．(或a3 = (15+95)÷2) 6. 401． 第一个加数构成公差为1的等差数列：2.3，4，5，…；第二个加数构成公差为3的等差数列：3，6，9，12，…；第100个算式的第1个加数是：2+（100 -1）×1= 101．第2个加数是：3+（100-1）×3=3+99×3=3×100=300．所以第100个算式的得数是401. 7. 30． 各排的座位数构成一个首项是17，末项是75，公差为2的等差数列，所以排数=(75-17)÷2+1=30．或设这个电影院共有x排座位，则有17+2(x-l)=75．解得x=30． 8. 953. (101+103+105+…+2 005)-(100+102+104+…+2 004)=(101-100)+(103-102)+(105-104)十…+(2005-2004)=1+1+…+1(953个1)=953．（从100到2 005共有2 005-99=1906个数，1 906÷2=953） 9. 36．已知九个连续偶数的和比其中最小的数多232，也就是另外八个偶数之和是232，相邻两个偶数差为2，根据公式：a1an2Snn，得a2a9=2×232÷8=58，又因为a9a2(81)2a214，所以，a2a92a21458即a2=22，故a9=22+14=36。即这九个数中最大的数是36． 10．(1) 335． 先求最外圈有多少人：20+（10-1×3=47（人）；共有人数：(20+47)×10÷2=335（人）． (2) 59．最外圈人数有：a1+（10-1）×3=（a1+27）（人）；所以共有人数表示为：（a1+a1+27）×10÷2=455. 2a1=64，a1=32，a1+27=32+27=59(人)． 11．(1) 20 400． 项数= (402-6)÷4+1=100，和：(6+402)×100÷2=20 400； (2) 150． 原式=100+(99-98)+(97-96)+…+(3-2)+1= 100+50=150. 11. 10． 13.7×12 - 84． 14. 111只， 一只球变为3只豫，实际上多了2只球，因为第几次就拿出几个球，所以第1次多了2×1只球，第2次多了2×2只球，第3次多了2×3只球，…第10次多了2×10只 球，总共有：1+2×1+2×2+2×3+…+2×10=1+2×(1+2+3+…+10)=1+2×(1+10)×10÷2=111（只）． 15.3 541. 1～100内所有数的和为5 050；1～100内所有5的倍数和为：(5+100)×20÷2=1050; 1～100内所有9的倍数和为：(9+99) ×11÷2=594；1～100内所有45的倍数只有45，90，所以其和为135．因此1～100内所有不能被5或9整除的数的和为：5 050-1050-594 +135=3 541.