W(s)为严格真有理分式阵时,最小实现步骤:(1).先选能控或能观实现:Σ=(A,B,C);(2)对初选Σ=(A,B,C)找出既能控又
~~~
能观部分Σc.o=(A1,B1,C1),即为W(s)的最小实现.
举例：
11⎡⎤
W(s)=⎢
⎣(s+1)(s+2)(s+3)(s+2)⎥⎦
s+3s+1(s+3)(s+1)]⎡⎤[ =⎢=32⎥(s1)(s2)(s3)(s1)(s2)(s3)s6s11s6+++++++++⎣⎦[11]s+[31];=3
s+6s2+11s+6
1）首先确定维数：W为1*2维的传递函数阵，因此输入维数m=1，输出维数r=2. 2）确定D和beta系数阵。
3）实现为能控I型或者能观II型。
若实现为能控I型：A的矩阵维数实现为：n*m=3；实现为能控I型，再判断是否能观；
若实现为能观II型：A的矩阵维数实现为： n*r=3*2=6; 实现为能观II型，再进行能观性分解。
Section 10：传递函数中零极相消与状态能控性和能观性间关系 前面的最小实现的状态变量维数与系统阶数的关系。 1、 单输入单输出系统能控能观的充要条件是:
&=Ax+bu⎧x
Σ=(A,b,c):⎨
⎩y=cx
的传递函数不出现零极相消.
2、 多输入多输出系统传递函数不出现零极相消,只是系统能控能观的充分条件,非必要条件. 3、 单输入单输出系统传递函数若出现零极相消,是不能控还是不能观?
例子：既不能保证是能控的，也不能保证是能观的。
86
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法 提问：
1、个人所理解的系统稳定性是指什么？
2、自控原理中，曾经学过的系统稳定性含义是什么？如何判定的？
本章学习内容：李雅普诺夫关于稳定性的定义和判定系统是否是李雅普诺夫稳定的？
一、系统的运动状态和平衡状态。
1、系统的运动状态：外界输入为0，从初始点X0开始，系统的状态存在唯一解 X(t)=Φ(t, x0, t)。此时，X(t)在状态空间中随着时间变化而转移，形成一条状态运动轨迹。
问题：状态时收敛的？发散的？
2、平衡状态：状态的一阶导数为0，即按照能量的观点，能量既不增加也不减少。 问题：平衡状态如何确定？平衡状态是否是稳定的？（给一点扰动，能否再回到平衡状态？）
1）线性系统X’=AX的平衡状态为？ 2）非线性系统的平衡状态？举例。
总结：对于线性系统，原点总是平衡状态，因此存在某个线性系统是否稳定的概念，指的就是在唯一平衡点的稳定性；对于非线性系统，可能存在多个平衡状态，对每个平衡状态是否稳定是不确定的，因此对于非线性系统，不存在系统稳定性的概念，而只存在某个平衡状态附近是否稳定的概念。
以下讲述李雅谱诺夫对于状态稳定的理论。 二、几个基本定义：
1）范数：本质为在多维空间上的距离定义，用||⋅||表示，可以定义1范数、2范数…无穷范数。
2）半径为ε的超球体；
3）Xe（平衡状态）的邻域：超球体内状态所构成的空间；
4）自由响应有界问题：自由响应？外界输入为零时系统的响应；有界？存在上限。数学定义：平衡态Xe，x=f[x,t],x0∈s(ε)，
•
若解x(t;x0,t0)∈s(ε),t≥t0.则x(t;x0,t0)−xe≤ε
三、李雅谱诺夫关于稳定的定义
阐述某个平衡态Xe是否稳定的定义。 1、李雅谱诺夫意义下的稳定
若系统对任意选定正实数ε,存在另一正实数δ(ε,t0).使x0−xe≤δ(ε,t0)时,从任意初态x0出发的解均满足x(t;x0,t0)−xe≤ε,t0≤t<∞,称xe李亞普诺夫意义下稳定.
若δ与t0无关,称xe一致稳定.
可以理解为运动轨迹不超过s(ε)。通常，δ小于等于ε。
2、渐进稳定。初始状态在s(δ)内出发的运动轨迹不超过s(ε), 且最终收敛于Xe；
3、大范围渐进稳定。状态空间中的所有初始状态出发的轨迹都收敛于Xe。可以理解为ε的大小没有限制。
87
4、不稳定。s(δ)内出发的轨迹，至少有一条越过了s(ε)。 四、如何判定系统平衡点是否是李雅谱诺夫稳定的？ 1、李雅谱诺夫第一方法 1）线性系统
•⎧⎪x=Ax+bu
Σ=(A,b,c):⎨;xe=0
⎪⎩y=cx
状态稳定？u=0，X(t)是否收敛到Xe？
X(t)=? Te∧tT‐1X0。
结论：平衡状态渐进稳定的条件为矩阵A的所有特征值均具有负实部。 工程更关注输出稳定，如果系统对于有界输入u所引起的输出y是有界的，则称系统为输出稳定的。问题：如何判定? 系统输出稳定等同于经典理论中的稳定性定义，因此系统稳定的充要条件为：系统的闭环极点在s的左半平面（具有负实部），可用劳斯判据判定。
举例。仿真。
状态稳定和输出稳定的关系？结论：状态稳定，输出稳定；状态不稳定，输出也可能稳定，原因在于不稳定的部分相互抵消或者输出与不稳定的状态无关；系统输出稳定且状态能控能观（不出现零极点对消）时，系统状态稳定。 2）非线性系统的稳定性。
基本方法：在平衡点附近线性化后，再进行判断。 ①线性化方法是什么? 尤其是针对多个变量？
②线性化后根据线性系统的平衡态判定方法判定平衡状态的稳定性。 举例4‐2。仿真。
说明：线性系统的平衡态只有一个，因此平衡态的稳定性就是系统的稳定性；而非线性系统可能存在多个平衡态，因此只能说某个平衡态是否是稳定的，或者李雅谱诺夫稳定的，渐进稳定的，或者大范围渐进稳定的。 2、李雅谱诺夫第二方法。
第一方法存在的问题：线性系统判定计算复杂，而非线性系统在很多时候难以判定。因此，提出了第二方法。第二方法思想：从能量的观点，若某一系统受到激励（扰动）后，其存储能量随时间衰减，到底平衡态时能量最小，则平衡状态渐进稳定；反之，若存储能量随着时间增大，则平衡状态不稳定；若系统既不从外界吸取能量也不消耗能量，咋平衡状态就是李雅谱诺夫意义下的稳定。
问题：对于一个系统，如何根据状态定义能量？能量在某个平衡点附近时消耗还是吸收的判断？
① 能量函数：
标量函数V(x)及其符号：关于向量x的函数，在0处，V(x)=0，其他：V(x)>0正定？<0负定？>=0半正定？<=0半负定？ 不定？举例。
能量函数应为正定的函数。通常选择正定的二次型标量函数。
二次型标量函数：各项的变量最高次数为2，不存在某个变量的一次项。可以表示为：V(x)=xTpx，p为实对称矩阵。根据矩阵理论，该二次型标量函数可以转化为：V(x)=xTpx
x=Tx,使V(x)=xTpx=(Tx)Tp(Tx)=xTTTpTx=xTT−1pTxλ0⎤⎡1n
⎥TT⎢2
=xpx=x⎢Ox=λx;∑ii⎥i=1
⎢⎥0λn⎦⎣
88
可见，V(x)为正定的条件为p的特征值均大于零。
问题：直接判定p特征值的计算复杂，提出了希尔维斯特判据，该判据直接通过对p的主子行列式的值来判定V(x)的符号。
希尔维斯特判据的准则关键词：主子行列式、行列式的值是否大于零、正负数判定。 ②基于能量函数的李雅谱诺夫第二方法。 基本思想：选择二次型能量函数，判断在平衡点附近V(x)的能量变化（消耗还是增加）；如果V(x)的能量是消耗的，即当状态靠近某平衡状态时，V(x)的一阶导数是负定的，则该平衡状态在李雅谱诺夫意义下是稳定的。可以进一步判定是否是渐进稳定和大范围渐进稳定。
严格的数学表述：
设系统状态方程x=f(x),平衡状态xe=0;
•
，如存在标量函数V(x),且
(1)V(x)对所有x均有连续一阶偏导数;(2)V(x)正定;。则：
1.若V(x)=
•
•
dV(x)
半负定,则xe李亚普诺夫意义下稳定 dt
2.若V(x)负定;
或V(x)半负定,但对任x(t0)≠0和x≠0,V(x)不恒等0, （注：能量不存在既不增则xe渐近稳定;
加也不减少的情况）
•
•
3.若xe渐近稳定,且x→∞,V(x)→∞,则xe大范围渐近稳定;4.若V(x)正定,则xe不稳定.
•
(邻域无限大)
关键点：平衡点、正定标量函数（能量函数）V(x)的选择、V(x)一阶倒数正负定的判定义及据此的关于平衡点稳定性的判别。
举例4‐4，4‐5，4‐6。例子4‐7说明不存在极限环；例4‐8。 ③ 李雅谱诺夫方法在线性系统中的应用。 a. 线性定常系统：
反向思想：先假设系统稳定，即先设定负定的V(x)一阶导数（Q为任意正定实对称），再推知V(x)正定的条件，即p是否正定。正定的p存在，则系统渐近稳定。
举例4‐9。 举例4‐10。说明，可选择半负定的V(x)一阶导数函数，但需要用反证法判定只有在零点，V(x)==0。
仿真。
b. 线性时变连续系统的渐近稳定判据。
反向思想：先设定系统稳定，即V(x)一阶导数函数负定（Q为任意正定实对称），再推知对应V(x)正定满足的条件，即p(t)是否正定。V(x)=xTPx。
c. 线性离散系统的渐近稳定判据。
同上的反向思想：对于任意给定的正定实对称阵Q(k)，存在一个正定的实对称矩阵P(k+1)，使得。。。。此时V(x)=xTPx。
举例。
89
④ 李雅谱诺夫方法在非线性系统中的应用。
雅可比矩阵方法：设定f(x)对xi可微，对于任意给定的实对称阵P，使得矩阵Q(x)正定，其中Q(x)=‐[JT(x)P+PJ(x)]。此时V(x)=fT(x)Pf(x)。 证明。举例。 变量梯度法：
90
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容