人教版初中数学命题与证明的技巧及练习题附解析

一、选择题

1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A．若ab，则ab

B．ABC中，若AC2BC2AB2，则ABC是Rt C．若a0，则ab0 D．四边相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】

先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断． 【详解】

解：A、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b，此命题为假命题； B、该命题的逆命题为：若△ABC是Rt△，则AC2+BC2=AB2，此命题为假命题； C、该命题的逆命题为：若ab=0，则a=0，此命题为假命题； D、该命题的逆命题为：菱形的四边相等，此命题为真命题； 故选：D． 【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

2．下列语句正确的个数是（ ） ①两个五次单项式的和是五次多项式 ②两点之间，线段最短

③两点之间的距离是连接两点的线段 ④延长射线AB，交直线CD于点P

⑤若小明家在小丽家的南偏东35方向，则小丽家在小明家的北偏西35方向 A．1 【答案】C 【解析】 【分析】

根据单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质对各项进行分析即可． 【详解】

①两个五次单项式的和可能为零、五次单项式或五次多项式，错误； ②两点之间，线段最短，正确；

③两点之间的距离是连接两点的线段的长度，错误；

B．2

C．3

D．4

④延长射线AB，交直线CD于点P，正确；

⑤若小明家在小丽家的南偏东35方向，则小丽家在小明家的北偏西35方向，正确； 故语句正确的个数有3个 故答案为：C． 【点睛】

本题考查语句是否正确的问题，掌握单项式和多项式的性质、线段的定义以及性质、射线的定义、方位角的性质是解题的关键．

3．下列命题中真命题是（ ） A．a2=（a）2一定成立 B．位似图形不可能全等 C．正多边形都是轴对称图形 D．圆锥的主视图一定是等边三角形 【答案】C 【解析】

【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．

【详解】A、a2=（a）2，当a＜0时不成立，假命题； B、位似图形在位似比为1时全等，假命题； C、正多边形都是轴对称图形，真命题； D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题， 故选C．

【点睛】本题考查了真命题与假命题，涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4．下列命题中，是真命题的是（ ） A．若ab，则ab

B．若ab0，则a，b都是正数 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】

正确的命题是真命题，根据定义依次判断即可得到答案. 【详解】

A. 若ab，则ab，故A错误；

B. 若ab0，则a，b中至少有一个数是正数，且正数绝对值大于负数的绝对值，故B错误；

C. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故C错误； D. 垂直于同一条直线的两条直线平行正确， 故选：D. 【点睛】

此题考查判断真假命题，正确掌握命题的分类并理解事件的正确与否是解题的关键.

5．下列命题中是假命题的是（ ） A．一个锐角的补角大于这个角

B．凡能被2整除的数，末位数字必是偶数 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．相反数等于它本身的数是0 【答案】C 【解析】

试题分析：利用锐角的性质、偶数的定义、平行线的性质及相反数的定义分别判断后即可确定正确的选项．

A、一个锐角的补角大于这个角，正确，是真命题，不符合题意；

B、凡能被2整除的数，末尾数字必是偶数，正确，是真命题，不符合题意；

C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，故错误，是假命题，符合题意； D、相反数等于他本身的数是0，正确，是真命题，不符合题意 考点：命题与定理．

6．下列命题的逆命题不成立的是（ ） A．两直线平行，同旁内角互补 C．平行四边形的对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【分析】

把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】

选项A，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，正确，成立；

选项B，如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等，错误，不成立，如（﹣3）2＝32，但﹣3≠3；

选项C，平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，成立；

选项D，全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，正确，成立； 故选B． 【点睛】

B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．全等三角形的对应边相等

本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

7．下列命题中，是假命题的是（ ） A．若a>b，则-a<-b B．若a>b，则a+3>b+3

ab 44D．若a>b，则a2>b2 【答案】D 【解析】 【分析】

C．若a>b，则

利用不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】

A、若a＞b，则-a＜-b，正确，是真命题； B、若a＞b，则a+3＞b+3，正确，是真命题；

ab，正确，是真命题； 44D、若a＞b，则a2＞b2，错误，是假命题； 故选：D． 【点睛】

C、若a＞b，则

此题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．

8．下列命题的逆命题成立的是（ ） A．对顶角相等

B．全等三角形的对应角相等

C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】

写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】

解：A、逆命题为相等的角为对顶角，不成立； B、逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； C、逆命题为绝对值相等的两个数相等，不成立； D、逆命题为同位角相等，两直线平行，成立， 故选：D．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．

9．下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③若VABC与VA'B'C'成轴对称，则VABC一定与VA'B'C'全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（ ） A．2 【答案】A 【解析】 【分析】

利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】

解:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确；

B．3

C．4

D．5

②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确: ③若VABC与VA'B'C'成轴对称，则VABC一定与VA'B'C'全等；正确；

④有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；不正确； ⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．

正确命题为:①③，2个； 故选：A 【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．

10．下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数是（ ） A．1 【答案】A 【解析】 【分析】

根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可． 【详解】

①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题； ②两点之间线段最短；真命题； ③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；

B．2

C．3

D．4

④平分弦的直径垂直于弦；假命题； 真命题的个数是1个； 故选：A． 【点睛】

考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

11．交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（ ） A．两直线平行，内错角相等; C．所有的直角都是相等的； 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

分析：写出原命题的逆命题，根据相关的性质、定义判断即可．

详解：交换命题A的题设和结论，得到的新命题是内错角相等，两直线平行，是真命题； 交换命题B的题设和结论，得到的新命题是对顶角相等，是真命题；

交换命题C的题设和结论，得到的新命题是所有的相等的角都是直角，是假命题； 交换命题D的题设和结论，得到的新命题是若a﹣1=b﹣1，则a=b，是真命题． 故选C．

点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

B．相等的角是对顶角; D．若a=b,则a－1=b－1.

12．下列四个命题中：

①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交 ②有且只有一条直线垂直于已知直线 ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等

④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． 其中真命题的个数为（ ） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】A

【解析】分析：利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可．

详解：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确； ②在同一个平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线，此选项错误； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误；

④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，错误； 真命题有1个.

故选A.

点睛：本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论，如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④，均不能由题设得出结论故不为真命题.

13．下列命题中是假命题的是( ) A．一个三角形中至少有两个锐角

B．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C．同角的补角相等

D．如果a为实数，那么a0 【答案】D 【解析】

A. 一个三角形中至少有两个锐角，是真命题；

B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题； C. 同角的补角相等，是真命题；

D. 如果a为实数，那么|a|>0，是假命题；如：0是实数，|0|=0，故D是假命题； 故选：D.

14．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ） A．a=3，b=2 【答案】B 【解析】

试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在B中，a2=9，b2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题；

在C中，a2=9，b2=1，且3＞﹣1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题；

在D中，a2=1，b2=9，且﹣1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B．

考点：命题与定理．

B．a=﹣3，b=2

C．a=3，b=﹣1

D．a=﹣1，b=3

15．能说明命题“关于x的方程x24xm0一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A．m1 【答案】D 【解析】 【分析】

利用m=5使方程x2-4x+m=0没有实数解，从而可把m=5作为说明命题“关于x的方程x2-B．m0

C．m4

D．m5

4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例． 【详解】

当m=5时，方程变形为x2-4x+m=5=0， 因为△=（-4）2-4×5＜0， 所以方程没有实数解，

所以m=5可作为说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例． 故选D． 【点睛】

本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

16．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设( ) A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角 B．四边形中所有内角都是锐角 C．四边形的每一个内角都是钝角或直角 D．四边形中所有内角都是直角 【答案】B 【解析】 【分析】

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法. 【详解】

假设命题中的结论不成立，即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立，即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”，即“四边形中的四个角都是锐角”故选B. 【点睛】

本题考查反证法，要注意命题“至少有一个是”不成立，对应的命题应为“都不是”.

17．下列命题的逆命题成立的有( )

①勾股数是三个正整数 ②全等三角形的三条对应边分别相等 ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ④平行四边形的两组对角分别相等 A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】

先写出每个命题的逆命题，再分别根据勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定逐个判断即可． 【详解】

①逆命题：如果三个数是正整数，那么它们是勾股数

B．2个

C．3个

D．4个

反例：正整数1,2,3，但12+22?32，即它们不是勾股数，则此逆命题不成立 ②逆命题：三条对应边分别相等的两个三角形全等 由SSS定理可知，此逆命题成立

③逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 反例：2(2)4，但22，则此逆命题不成立 ④逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 由平行四边形的判定可知，此逆命题成立 综上，逆命题成立的有2个 故选：B． 【点睛】

本题考查了命题的相关概念、勾股数的定义、三角形全等的判定、平方根的定义、平行四边形的判定，正确写出各命题的逆命题是解题关键．

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18．下列命题中，真命题的序号为（ ） ①相等的角是对顶角；

②在同一平面内，若a//b，b//c，则a//c； ③同旁内角互补；

④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直. A．①② 【答案】D 【解析】 【分析】

根据对顶角的性质、平行线的判定、平行线的性质、角平分线的性质判断即可． 【详解】

①相等的角不一定是对顶角，是假命题；

②在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题； ③两直线平行，同旁内角互补； 是假命题；

④互为邻补角的两角的角平分线互相垂直，是真命题； 故选：D． 【点睛】

此题考查命题的真假判断，解题关键在于掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．

B．①③

C．①②④

D．②④

19．下面命题的逆命题正确的是（ ） A．对顶角相等

C．矩形的对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】

B．邻补角互补 D．等腰三角形两腰相等

先分别写出四个命题的逆命题，然后利用对顶角的定义、邻补角的定义、矩形的判断和等腰三角形的判定方法对各命题的真假进行判断． 【详解】

解：A.对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题； B.邻补角互补的逆命题为互补的角为邻补角，此逆命题为假命题；

C.矩形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形为矩形，此逆命题为假命题；

D.等腰三角形两腰相等的逆命题为两边相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题． 故答案为D． 【点睛】

本题考查了命题与定理,掌握举出反例法是判断命题的真假的重要方法．

20．下列命题中正确的有（ ）个

①平分弦的直径垂直于弦；②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线；③在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半；④平面内三点确定一个圆；⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等． A．1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据垂径定理的推论对①进行判断；根据切线的判定定理对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断；根据三角形外心的性质对⑤进行判断． 【详解】

①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，错误；

②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，正确； ③在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误； ④平面内不共线的三点确定一个圆，错误；

⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，正确； 故正确的命题有2个 故答案为：B． 【点睛】

本题考查了判断命题真假的问题，掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键．

B．2

C．3

D．4