数学高二-选修2素材 2.4空间向量在面面平行问题中的应用

空间向量在面面平行问题中的应用

证明面面平行就是要证明一个平面中的两个不共线的向量与另一个平面中的两个不共线的向量分别共线，从而与面面平行的判定定理联系起来，使问题得以解决。

例1 正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面C B1D1．

证明：如图，分别以D1A1、D1C1、D1D三边所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为1，则A1(1，0，0)，B1(1，1，0)，

C1(0，1，1)，D(0，0，1)，则A1D= (－1，0，1)，B1C= (－1，0，1)，

∴A1D∥B1C，即直线A1D∥B1C，则A1D∥平面C B1D1． 同理可证A1B∥平面C B1D1．所以平面A1BD∥平面C B1D1． 评析：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理

来证明，用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系．

例2 已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是BB1、CD和DD1的中点．求证：

⑴平面AED∥平面B1C1G； ⑵平面B1C1G⊥平面A1D1F．

证明：以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，令DD1= 2，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)，G(0，0，1)．

∴DA= (2，0，0)，AE= (0，2，1)，B1C1= (－2，0，0)，GC1= (0，2，1)，D1A1=

A A1 D1 z D A A1 x D 1 C1 B1 y B C z B1 C1 D F E B C y x 高中数学

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(2，0，0)，FD1= (0，－1，2)．

设n1= (x1，y1，z1)，n2= (x2，y2，z2)，n3= (x3，y3，z3)分别是平面AED、平面B1C1G和平面A1D1F的法向量，则

x10,x10,n1DA,n1DA0,由2yz0.z12y1.11n1AE.n1AE0.得n1= (0，1，－2)．

同理可得n2= (0，1，－2)，n3= (0，2，1)． ⑴∵n1与n2共线， ∴平面AED∥平面B1C1G．

⑵∵n2·n3= 0×0＋1×2＋(－2)×1 = 0， ∴n2⊥n3，

∴平面B1C1G⊥平面A1D1F．

yx,，取y1=1，zx.评析：利用法向量证明平面与平面平行的基本思路是：把平面与平面平行问题转化为证明这两个平面的法向量共线．

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