高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)

异面直线所成的角

一、平移法：

常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直角平移法：

1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．

解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝

3 FG＝EG＝1

∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。

2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角． 正确答案：45°

3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝

CSA＝

，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的2S

N C

M A

B

余弦值．

证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN ，则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝

5a 2 NQ＝1SM＝

224a BQ＝

14a4

∴COS∠QNB＝

BN2NQ2BQ2102BNNQ5

4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．

解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA是BM与AN所成的角．

设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝BM＝6， cos∠GNA＝

6552653010。

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5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．求AE与D1F所成的角。

D1C1

A1证明：取AB中点G，连结A1G，FG， B1 因为F是CD的中点，所以GF∥AD，

E又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，

FDC故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。

A设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。 B因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,

即直线AE与D1F所成的角为直角。 D

C

E 6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点

F A

(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线； B (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；

D C (3)求直线AE和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值 B A (图1－28) 解：(1)

∵ A平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且BCC′,

∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线

(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角 ∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°

(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′所成的角

在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝

AE11＝，所以AE和CC′所成角的正切值是22AA∥

∥

(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝AB＝AB, ∴ ABFE是平行四边形，从而BF＝AE, 即BF∥AE且BF=AE.

∥

F 5 5 ∴ BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角

设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为 A′B＝22，A′F＝BF＝5，由余弦定理得： cos∠A′BF＝

(22)(5)(5)2225222105

A M B (图1－29)

7. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

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解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。

则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，

734734 ∴∠DB1E=arccos。 170170cos∠DB1E=

解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中， ∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734734，∴∠C1BE=arccos。 170170

练习：

8. 如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值？

9. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.？

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中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。

解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=∴cos∠BOE=734734 ∴∠BOE=arccos 17017035，2

解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=73734734，，∴异面直线B1D与BC1所成的角为arccos。 cos∠OEF=2170170

解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=∴∠DOF=arccos734。 17035734，，cos∠DOF=2170

课堂练习

10. 在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。

A

D

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BCE-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。

解法一：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，cos∠C1BD2=－成的角是arccos734，∴异面直线DB1与BC1所170734。 170

课堂练习：

11. 求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。

在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，

二、利用模型求异面直线所成的角 模型1 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。 在平面的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B 连接OB，则OB⊥b. PAOa在直角△AOP中，cos1.

AP--完整版学习资料分享----

A12BObc-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

AB. AOAB在直角△ABP中，cos.

APAOABABcos 所以 cos1cos2APAOAP所以cos1cos2cos 在直角△ABC中，cos2P

证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影， OB//b，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2， 过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。

α OAABAB可知PB⊥AB。所以cosθ1=， cosθ=，cosθ2=。 A PAOAPAO b 所以cosθ= cosθ1·cosθ2。

B

利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。

需：过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。

12. 如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。

M

解：由图可知，直线MB在平面ABCD内的射影为AB， 直线MB与平面ABCD所成的角为45°，

D C 直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45°， 所以直线AC与直MB所成的角为θ，满足

A B 1cosθ=cos45°· cos45°=，所以直线AC与MB所成的角为60°。

2

13. 已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ D ） （A）3357 （B） （C） (D)

4444A1C1B1C

D

BA

解：设BC的中点为D，连结A1D，AD，易知A1AB即为异面直线AB与CC1所成

的

余弦定理，易ADAD3coscosA1ADcosDAB.故选D

A1AAB4角,由三角知

P E 14. 如图，在立体图形P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，

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A B

F C D -----WORD格式--可编辑--专业资料-----

∠BAD=90°，AD//BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。

解：过E作AD的平行线EF交AD于F，由PA⊥底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为AF，直线AE与平面ABCD所成的角为∠DAE，其大小为60°， 射影AF与直线CD所成的角为∠CDA，其大小为45°，所以直线与直线所成的角θ满足cosθ=cos60°· cos45°=

22，所以其大小为arccos。 44

模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为，则有

证明： BD•ACBDBDCOS 而BDBAADBD•ACBAAD•ACBA•ACAD•ACAB2AC2BC2AD2AC2CD222AD2BC2AB2CD22

所以有：

15. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1

所成的角？

解：连结BC1、A1B在四面体为，易求得由定理得：

所以

二、向量法求异面直线所成的角

16. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1

的中心。求A1E和B1F所成的角的大小。

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解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。

作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，

A1 D1

连结GH，有GH//A1E。过F作CD的平行线RS，

H 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。

C1 B1 S 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。

在△GHS中，设正方体边长为a。 Q G F 6GH=a（作直线GQ//BC交BB1于点Q，

4连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=

E

A B

R D C 626a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形），GS=a（作直线GP交BC于点P，

421连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。∴Cos∠GHS=。

61A1 D1 所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为。 6解法二：（向量法） C1 B1 分析：因为给出的立体图形是一个正方体，

F 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 E A D 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用

向量的方法来求出两条直线间的夹角。

C 以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。B 则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1）， 点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）； 所以向量EA，向量B1F的坐标为（2，1，-1）， 1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足 cosθ=

EA1B1F|EA1||B1F|P

=

(1)2211(1)(1)2(2)2(1)2(2)2(1)2(1)21 6=-

1。 6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为

17. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别为BC和AD的中点，设AM和CN所成的角为α，求cosα？（平移法也可）

A 解：由已知得，空间向量AB，AC，AD不共面， 且两两之间的夹角均为60°。由向量的加法可以得到

11，NC=AD+AC AM=（AB+AC）

22所以向量AM与向量NC的夹角θ（即角α或者α的补角）

B M --完整版学习资料分享----

C N D -----WORD格式--可编辑--专业资料-----

满足cosθ=AMNC|AM||NC|，其中

11（AB+AC）·（AD+AC） 22111=（AB·AD+AB·AC+（AD）·AC+AC·AC） 22211111=a2（++1）=a2； 242421113|AM|2=（AB+AC）·（AB+AC）=（1+1+1）a2= a2；

2244111132|NC|2=（AD+AC）·（AD+AC）=+1 a2= a2。所以cosα=| cosθ|=。

22424318. 已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，且BE：

AM·NC=

EC=AF：FD=1：2，EF=7，求AB和CD所成的角的大小。 解：取AC上点G，使AG：GC=1：2。连结EG、FG， 可知EG//AB，FG//CD，3EG=2AB，3FG=CD。

21由向量的知识可知EF=EG+GF=BA+CD，

33A

F G

D

设向量BA和CD的夹角为θ。

B

2121E 则由|EF|2=（BA+CD）·（BA+CD）=4+1+4cosθ=7，

3333C 1得cosθ=，所以AB和CD所成的角为60°。

219. （思考题）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°. 求：(1)AC1的长； (2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.

技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.

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解:(1)|AC1|2AC1AC1(AA1AC)(AA1AC)(AA1ABAD)(AA1ABAD)|AA1|2|AB|2|AD|22AA1AB2AA1AD2ABAD由已知得:|AA1|2b2,|AB|2|AD|2a2AA1,ABAA1,AD120,AB,AD9011AA1ABbacos120ab,AA1ADbacos120ab,ABAD0,22|AC1|22a2b22ab,|AC1|2a2b22ab.(2)依题意得,|AC|2a,ACABADBD1ADBAAA1ADABACBD1(ABAD)(AA1ADAB)ABAA1ADAA1ABADAD2AB2ABADab|BD1|2BD1BD1(AA1ADAB)(AA1ADAB)|AA1|2|AD|2|AB|22AA1AD2ABAD2AA1AB2a2b2

|BD1|2a2b2 cosBD1,ACBD1AC|BD1||AC|b22b4a2b22

∴BD1与AC所成角的余弦值为

4a2b.

判断是非：(1)(3)(8)(10)正确，其余错； 选择：1(C)；2(D)；3(D)；4(D)．

5．(2)相交，(5)平行，其余异面；（6）：(D)，取

AB中点M，CC1中点N，连B1E和B1F；（7）答案：(A)，延长B1A1至M，使A1M＝A1D1，连MA，取AB中点N．8(D)；9(E)；10(D)；11(C)； 三．，取AD中点E，则∠MEN＝90°；四．五．

7543

1212，取AC中点F，连EF、BF，求得BE＝AD＝5，BF＝AC＝32；

25，分别取AC、B1C1的中点P、Q，则PMQN是矩形，设CC1＝MQ＝a，则51MP＝a；

2六．，取AC中点F，连EF、BF，则EF＝4，BE＝BF＝3．

16异面直线所成的角---作业

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姓名： 班级： 学号： 一、判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形； (3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行； (5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面； (7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；

(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；

(11)不同在一个已知平面内的两直线异面； (12)互相垂直的两条直线必可确定一平面 二、选择题

1. 没有公共点的两条直线的位置关系是( )

(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定 2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )

(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交 3. 两条异面直线指的是( ) (A)在空间不相交的两条直线直线

(C)分别位于两个不同平面的两条直线

(D)不同在任一平面内的两条直线

4. a、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )

(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面 5. 说出正方体中各对线段的位置关系：

(1) AB和CC1； (2)A1C和BD1； (3)A1A和CB1； (4)A1C1和CB1； (5)A1B1和DC； (6)BD1和DC.

6. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )

(A)32(B)1010(C)35(D)25(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条

7. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A)3010(B)12(C)3015(D)1510

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8. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC

(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 9. 设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：

①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线； ④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面， 在上述四个命题中，真命题的个数是( )

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10. 如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条

11. 如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

中点，求MN和BD所成角的正切值

四．如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，

E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值？

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A

6

S

(第11题)

E B F A C 三．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的

A

4 N

M 3 D B

(第三题)

C E

8

6 B

D

(第四题) C -----WORD格式--可编辑--专业资料-----

五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M、N分别是BC和A1C1

的中点。求MN与CC1所成角的余弦值？

六．如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC

＝7，求BE与CD所成角的余弦值？

C

8

5 8

A1

B1 A

N

C1

C M B (第五题)

A

4

E

4

D

5 7

(第六题) B

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