上海科学技术出版社七年级数学上册全套教案

【课时安排】

2课时

【第一课时】 【教学目标】

一、知识与技能：

（一）借助生活中的实例理解有理数的意义，体会和认识引入负数的必要性。整理前两个学段学过的整数、分数（包括小数）的知识，掌握正数和负数的概念。

（二）能区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数。 二、过程和方法：

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。

三、情感态度与价值观：

通过正数与负数的学习，培养学生应用数学知识的意识，训练学生运用新知识解决实际问题的能力。

【教学重难点】

难点：正数、负数的意义以及对基准的理解。 重点：两种相反意义的量与对基准的理解。

【教学过程】

一、设置情境，引入课题

师：今天我们已经是七年级的学生了，我是你们的数学老师。下面我先向你们做一下自我介绍，我的名字是XXX，身高1.76米，体重78.5千克，今年27岁，我们班级有46个同学，其中男同学有27个，约占全班总人数的58.7%。

（一）问题1：老师刚才的介绍中出现了几个数？分别是什么？你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗？

学生活动：思考，交流

师：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数）。

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（二）问题2：在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比0更小的数呢？

（学生在脑中产生疑问。）

请同学们看大屏幕（教师展示投影）

1．在冬日的某一天，国家气象中心天气预报当天温度如图所示，你能读出北京、上海、哈尔滨三座城市的最低温度各是多少吗？

2．在中国地形图上，可以看到我国有一座世界最高峰——珠穆朗玛峰，地图上标着8844，在西部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155，这两个数表示的高度是相对于海平面来说的，你能说说8844，－155各表示什么吗？

学生思考，讨论并尝试回答。

学生交流后，教师归纳：以前学过的数已经不够用了，有时候需要一种前面带有“－”的新数。先回顾小学里学过的数的类型，归纳出我们已经学了整数和分数，然后，举一些实际生活中共有相反意义的量，说明为了表示相反意义的量，我们需要引入负数，这样做强调了数学的严密性，但对于学生来说，更多地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数，又能激发学生的学习兴趣，所以创设如下的问题情境，以尽量贴近学生的实际。

以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学，通过实例，使学生获取大量的感性材料，为正确建立相反意义的量奠定基础。

针对实例，教师不是自己一概陈述而是注意培养学生的参与意识，要求学生观察、思考、讨论后得出答案，充分发挥学生的主体地位。 二、分析问题，探究新知

（一）问题3：前面带有“－”号的新数我们应该怎样命名它呢？为什么要引入负数呢？通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？

为了表示具有相反意义的量，在以上实例中出现的－3，－14，－155这样的新数叫负数。过去学过的那些数（0除外）如6，8844，3，2，1等，叫做正数。0既不是正数也不是负数。强调：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东与向西，收入与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量。 三、交流与探究

在以上例子的基础上，使学生对正数、负数的概念有了初步的认识，同时意识到正数与负数是相对的。这些问题是这节课的主要知识，教师要清楚地向学生

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说明，并且要注意语言的准确与规范，要舍得花时间让学生充分发表想法。 四、变式训练，培养能力

（一）例题展示

（1）与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大了10公顷，小麦的种植面积减小了5公顷，油菜的种植面积不变，写出这三种作物今年种植面积的增加量。

（2）某市“12315”中心2011年国庆期间受理消费者申诉件数：日用百货类比上年同期增长了10%，家用电子电器类比上年下降了20%，写出这两类商品申诉件数的增长率。

（二）问题4：你能再举出一些用正数和负数表示数量的实例吗？ 用正数、负数表示相反意义的量是本节的重点。通过两道例题的设置可让学生更深刻的理解正、负数的意义。

能否举出例子是学生对知识掌握程度的体现，也能进一步帮助学生理解引负数的必要性。也可让一个学生向前后任意走，规定向前为正，让其他学生观察，第一次他向哪个方向走？走了多少步？记为什么？第二次、第三次呢？让学生在轻松愉快的氛围中获取知识。

【第二课时】 【教学目标】

一、知识与能力：

能把给出的有理数按要求分类，了解0在有理数的分类中的作用。 二、过程与方法：

培养学生对数进行分类讨论的意识和正确进行分类的能力。 三、情感、态度与价值观：

通过正、负数的学习，渗透对立统一的辨证思想。

【教学重难点】

难点：对分数的理解。 重点：有理数的分类。

【教学过程】

一、知识回顾与深化

（一）问题1：引入负数后，数按照“两种相反意义的量来分”，可以分成几类？分别是什么？

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1．把下列各数填入相应的大括号内。 2221+1；－3.8；；－6.2；；－4；0；－6；12；3.14 732正数集合：{ } 负数集合：{ } 2．若下降5m记作－5m，那么上升8m记作 ，不升不降记作 。 学生回答后追问学生0是正数还是负数？使学生进一步理解正数、负数的概念及0的特殊意义。 二、分析问题，解决问题 师：在小学大家学过1，2，3，4这是什么数呢？ 生：自然数。 师：在这些自然数前面加上负号，如－1，－2，－3，－4这些是什么数呢？ 生：负数。 师：具体叫什么负数呢？ 师：今天我们要把大家学过的数分类命名，然后给一个统一的名称。 （一）分类数的名称 1．1，2，3，4……叫做正整数。 2．－1，－2，－3，－4……叫做负整数。 3．0叫做零。 4．15．221……叫做正分数。 2，72……叫做负分数。 36．正整数、负整数和零统称为整数。 7．正分数和负分数统称为分数。 8．整数和分数统称有理数。 正整数 0 负整数 正分数 负分数 （二）相互交流 4 / 148

整数  有理数   分数 1．我们知道正数和负数可以表示相反意义的量，你认为有理数还可以怎样分类？请与同伴交流。通过教师由浅入深层层设问，使学生在头脑当中逐步认识问题。这样一步一个台阶的教学过程，符合学生认识问题的一般规律。 2．由特殊到一般，由具体到抽象，循循诱导，师生共同参与，使学生掌握有理数的分类以及由特殊到一般的认识规律。 三、激发学生兴趣，发展学生思维 （一）巩固练习 1．0是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ 2．－5是整数吗？是负数吗？是有理数吗？ 3．自然数是整数吗？是正数吗？是有理数吗？ （二）检查学生对概念的理解 131．阅读思考下列有理数－7，10.1，－，89，0，－0.67，1中，哪些是65整数，哪些是分数，哪些是负数？ （学生思考，然后找学生回答，其他同学补充或纠正。通过此题检查学生对有理数分类的掌握情况，培养学生对数进行分类讨论的意识和正确进行分类的能力。） 四、课堂小结 今天我们学习了哪些内容，你有哪些收获？有哪些地方不太明白吗？和同学交流一下。由学生小结，归纳本节课所学知识再由教师归纳总结。帮助全体学生进一步明确本节课的重点及应达到的目标。 5 / 148

数轴、相反数和绝对值

【课时安排】

3课时

【第一课时】 【教学目标】

1．了解数轴的概念，如何画数轴，知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴都有唯一的点与之对应。

2．通过现实生活中的例子，从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；通过学习，初步体会对应的思想、数形结合的思想。

【教学重难点】

重点：理解数形结合的数学方法，掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数。 难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系。

【教学过程】

一、创设情景，导入新课

（一）问题：让机器人在一条直路上做走步取物试验。根据指令：它由O处出发，向西走3m到达A处，拿取物品，然后，返回O处将物品放入蓝中，在向东走2m到达B处取物。

1．在下面的直线上画出A、B两处的位置。

2．把向东走记作“＋”，向西走记作“－”，在上面的直线上标出与A、B相对应的数。

（二）问题：观察温度计，在温度计上有刻度，刻度上有度数，根据温度计的液面的不同位置就可以读出不同的数，从而得到所测的温度。在0上10个刻度，表示10℃；在0下5个刻度，表示－5℃。

温度计可以看作表示正数、0、负数的直线吗？它和刚才那个的图有什么共同点，有什么不同点？

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教师：由上述两问题我们得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗？与温度计类似，我们也可以在一条直线上画出刻度，标上读数，用直线上的点表示正数、负数和零。 具体方法如下（边说边画）： 1．画一条水平的直线，在这条直线上任取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边）用这点表示0（相当于温度计上的0℃）； 2．规定直线上从原点向右为正方向箭头所指的方向，那么从原点向左为负方向相当于温度计上0℃以上为正，0℃以下为负； 3．选取适当的长度作为单位长度，在直线上，从原点向右，每隔一个长度单位取一点，依次表示为1，2，3，……从原点向左，每隔一个长度单位取一点，依次表示为－1，－2，－3，…… 提问：我们能不能用这条直线表示任何有理数？ 在此基础上，给出数轴的定义，即：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 进而提问学生：在数轴上，已知一点P表示数－5，如果数轴上的原点不选在原来位置，而改选在另一位置，那么P对应的数是否还是－5？如果单位长度改变呢？如果直线的正方向改变呢？ 通过上述提问，向学生指出：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可。 二、应用迁移，巩固提高 （一）读数轴上的点所表示的数 例：指出下面数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数。 解析：点C在原点表示O，点A在原点左边距离原点2个单位长度，表示－2。同理，点B表示－3.5。点D在原点右边距离原点2个单位长度，表示2。 （二）将有理数用数轴上的点表示 例：画一个数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： 11＋4，－，，－1.25，－4 22最后引导学生得出结论：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原 7 / 148

点左边的点表示，零用原点表示。

（三）变式题

1．下列图形是数轴的是（ ）

2．数轴上一动点A表示的数为－2，现在Ａ点向右移动2个单位长度到B，在向右移动3个单位长度到C。（1）在数轴上标出A，B，C三点表示的数；（2）点C向哪个方向移动多少个单位长度又回到A点？

3．在数轴上与表示－1的点的距离为2个单位长度的点有几个？请你在数轴上表示出来，它们分别表示什么数？ 三、总结反思，拓展升华

指导学生阅读教材后指出：数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法。

本节课要求同学们能掌握数轴的三要素，正确地画出数轴，在此还要提醒同学们，所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但是反过来不成立，即数轴上的点并不是都表示有理数，至于数轴上的哪些点不能表示有理数，这个问题以后再研究。

【第二课时】 【教学目标】

1．使学生理解相反数的意义； 2．给出一个数能求出它的相反数；

3．会根据相反数的意义简化一个有理数的符号； 4．体验数行结合思想。

【教学重难点】

重点：相反数的概念。

难点：相反数在数轴上表示的点的特征和双重符号的简化。

【教学过程】

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一、创设情景，导入新课 （一）问题：首先，画一条数轴，然后在数轴上标出下列各点：2与－3，411与－4，与－请同学们观察： 221．上述这三对数有什么特点？ 2．表示这三对数的数轴上的点有什么特点？ 3．请你再写出同样的几对点来？ 显然： 1．上面的这三对数中，每一对数，只有符号不同。 2．这三对数所对应的点中每一组中的两个点，一个在原点的左边，一个在原点的右边，而且离开原点的距离相同。 3．我们还规定：0的相反数是0。 说明： （1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数，如－1999与1999互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。如4与－4是互为相反数。 （3）0的相反数是0，也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （二）相反数的表示 在一个数的前面添上“－”号就成为原数的相反数。若a表示一个有理数，则a的相反数表示为－a，在一个数的前面添上“+”号仍与原数相联系同。例如，＋7=7，特别地，＋0=0，－0=0。 （三）相反数的特性 若a、b互为相反数，则二、应用迁移，巩固提高 （一）例：分别写出下列各数的相反数： ；反之若，则a、b互为相反数。 253，-7，-2.1，，-,0,20 311 9 / 148

2解：3的相反数是－3；－7的相反数是7；－2.1的相反数是2.1；的相反3数是255；的相反数是；0的相反数是0；20的相反数是－20。 31111可以看出：一个正数的相反数是一个负数，而一个负数的相反数是一个正数。 （二）判断相反数 1．例：指出下列各对数中哪几对互为相反数？ （1）+（－3）与－3 （2）+（+8）与8 （3）－（+3）与3 （4）－（－7）与－7 2．由上面的这个例题可以看出：在一个数前面添上“－”号，用这个新数表示原来那个数的相反数；在一个数的前面添上“+”号，表示这个数本身。 （三）多重符号化简 1．相反数的意义是简化多重符号的依据。如－（－1）是－1的相反数，而－1的相反数为+1，所以－（－1）＝＋1＝1。 2．多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶然数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 由此可见，化简一个数就是把多重符号化成单一符号，若结果是“+”号，一般省略不写。 3．例：简化下列各数的符号： （1）－（+7）； （2）+（－5）； （3）－（－3.1）； （4）－[+（－2）]； （5）－[－（－6）] 解： （1）(7)7（2）(5)5（3）(31.)31.（4）[(2)]2（5）[(6)]6 三、总结反思，拓展升华 10 / 148

我们这节课学习了相反数，归纳如下： （一）________________的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。 （二）＋a表示求a的_____________，－a表示a的_____________。 【第三课时】 【教学目标】 1．借助数轴初步理解绝对值的概念，熟悉绝对值符号，理解绝对值的几何意义和作用； 2．给一个数，能求它的绝对值。 3．在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的思维能力。 【教学重难点】 重点：绝对值的几何意义，代数定义的导出。 难点：负数的绝对值是它的相反数。 【教学过程】 一、创设情境，复习导入 1问题：在练习本上画一个数轴，并标出表示－6，2，0及它们的相反数的2点。 学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画。 教法说明：绝对值的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为绝对值概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习。 二、探索新知，导入新课 （一）师：同学们做得非常好！－6与6是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？ 学生活动：思考讨论，很难得出答案。 师：在数轴上标出到原点距离是6个单位长度的点。 学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上做。 师：显然A点（表示6的点）到原点的距离是6，B点（表示－6的点）到原点距离是6个单位长吗？ 11 / 148

学生活动：产生疑问，讨论。 师：＋6与－6虽然符号不同，但表示这两个数的点到原点的距离都是6，是相同的。我们把这个距离叫＋6与－6的绝对值。 教法说明：针对“互为相反数的两数只有符号不同”提出问题：“它们什么相同呢？”在学生头脑中产生疑问，激发了学生探索知识的欲望，但这时学生很难回答出此问题，这时教师注意引导再提出要求：“找到原点距离是6个单位长度的点”这时学生就有了一个攀登的台阶，自然而然地想到表示＋6，－6的点到原点的距离相同，从而引出了绝对值的概念，这样一环紧扣一环，时而紧张时而轻松，不知不觉学生已获得了知识。 （二）师：－6的绝对值是表示－6的点到原点的距离，－6的绝对值是6； 6的绝对值是表示6的点到原点的距离，6的绝对值是6。 提出问题： 1．－3的绝对值表示什么？ 12．2的绝对值呢？ 23．a的绝对值呢？ 学生活动：第1、2题根据教师的引导学生口答，第3题讨论后口答。 （三）绝对值的概念：一个数a的绝对值是数轴上表示数的a点到原点的距离。 数a的绝对值是|a|。 11．教法说明：由－6，6，－3，2这些特殊的数的绝对值引出数a的绝对2值，逐层铺垫，由学生得出绝对值的几何意义，既理解了一个数的绝对值的含义也训练了学生口头表达能力，突破了难点。 如下图所示：在数轴上表示－5的点与原点的距离是5，即－5的绝对值是5，同样，3记作|－5|=5。同样，11113，11，表示0的点与原点的距离是0，所以00，表示0的点与原点的距离是0，所以2233|0|=0。 5-5-4-331-22-101131234 2．下面咱们根据绝对值的定义，来看一组题目： 12 / 148 （1）2（2）0（3）32，011，8.28.255 3，0.20.2，8.28.2观察上面这三组题目会发现：（1）组中要求绝对值的数全是正数，而求出的绝对值也是正数，恰恰是它本身，而（2）组中0的绝对值是0，（3）组中要求绝对值的数全是负数，而求得的绝对值全都是正数，因而全都是其相反数， 3．由此可以得到： （1）一个正数的绝对值是它本身。 （2）一个负数的绝对值是它的相反数。 （3）0的绝对值是0。 （四）因为正数可用a>0来表示，负数可用a<0来表示，所以上述三条可改写成： 1．如果a>0，那么|a|=a，（2）如果a<0，那么|a|=－a，（3）如果a=0，那么|a|=0。 上面这几个式子可合并写成： aa0a(a0)(a0) (a0)由上面的几个式子可以看出，不论a取何值，它的绝对值总是正数或0（通常也称为非负数），即对任意有理数a而言，总有：a0。 2．这是一条非常重要的性质，这里的“非负”就是“不是负数”，而有可能是正数或者是0。 上面的这几个式子还告诉咱们怎样求一个数的绝对值： （1）如果求一个正数的绝对值，根据法则，就直接写出结果即可。 （2）如果求一个负数的绝对值，根据法则，就需要找它的相反数。 （3）而就“0”而言，它的绝对值就是它本身。 三、应用迁移，巩固提高 根据上面的这些法则来看例子： （一）求下列各数的绝对值： 13 / 148

2，1，0.1，4.5 3解：22，11，0.10.1，4.54.5 3311（二）化简：（1）()；（2）1 23解： （1）()1211 22（2）1111 33（三）回答下列问题： 1．绝对值是12的数有几个？是什么？ 2．绝对值是0的数有几个？是什么？ 3．有没有绝对值是－3的数？为什么？ 答： 1．绝对值是12的数有两个：+12和－12。因为绝对值是代表数a表示的点到原点的距离，而在数轴上，到原点距离为12的点共有两个，它们是+12和－12。 2．绝对值是0的数仅有一个，因为只有0的绝对值才是零。 3．没有。因为根据绝对值的意义可知：不论a取值为何数，它的绝对值总是正数或0，而没有负数。因而没有绝对值为－3的数。 （四）设a、b是有理数，判断下列语句是否正确，并简要说明理由，若不正确，也可举出反例。 1．若a=b，则|a|=|b|； 2．若|a|=|b|，则a=b。 解： 1．正确。因为两个数若是相等，则表示它到原点的距离相等，因而|a|=|b|。 2．不正确。因为绝对值相等的两个数，它们不仅可以相等，而且还可以互为相反数，比如|3|=|－3|，但3≠－3。因而原语句错误。 （五）数轴上与原点距离小于3的且表示整数的点有多少个？ 14 / 148

绝对值小于2的整数有多少个？它们是什么？ 解：先观察数轴： -3-2-101234 经过观察，发现：在数轴上与原点距离小于3的点有无数个，但是表示整数的点却只有－2，－1，0，1，2这样5个，而绝对值小于2的整数则有3个，它们分别是0，1，－ 1。 15 / 148

有理数的大小 【教学目标】 1．掌握有理数大小比较的法则，会比较两个有理数的大小。 2．理解“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的法则，并会灵活应用。 【教学重难点】 重点：借助数轴比较两个有理数的大小，能够利用绝对值比较两个负数的大小。 难点：两个负数大小的比较。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 在小学的时候，学习过怎样比较两个正数的大小，你能比较两个有理数的大小吗？ 二、探索新知，讲授新课 （一）利用数轴比较两个有理数的大小 提出问题：在数轴上任意取两个正数，比较大小，观察两数有什么特点？再取异号的两个数比较。 总结：在数轴上任意取两个有理数，右边的点表示的数总是比左边的点表示的数大。 （二）两个负数的大小比较 -5-4-3-2-10提出问题：在数轴上任意取两个负数，比较大小，观察较小的数有什么特点？在数轴上观察，发现：在原点的左边，－2离原点比－5更近，因而－2更大，实际上，－2比－5大，－1比－3大，而我们再观察： 55，22，52而52 11，33，31而13由此可以得到：两个负数，绝对值大的反而小。 总结：根据上面的这条法则，如果以后再比较两个负数的大小，就不必再去 16 / 148

数轴上看它们的位置关系，而只须对其进行绝对值运算即可。 32例如，比较和的大小431．先分别求出它们的绝对值。 339228 ，441233129832 因为，所以。1212432．得到结论： 32 43三、应用迁移，巩固提高 （一）例1：比较大小 1．－2与－3 2．解： （1）∵︱－2︱＝2；︱－3︱＝3 且2＜3 ∴－2＞－3 （2）∵3与－0.8 5330.6 55︱－0.8︱＝0.8 且0.6＜0.8 ∴3＞－0.8 5（二）例2：比较下列各数的大小 2）（1）1和0.01（|2|和0（3）0.3和1 3）（1）1和0.01（2）|2|和0（0.3和1 17 / 148

和0.01（2）|2|和0（3）0.3和1 3解：（1）这是两个负数的大小比较，因为 11，0.010.01，且10.01 所以10.01。 （2）化简22，因为负数小于0，所以20。 （3）这是两个负数比较大小，因为0.30.3，0.3，所以0.3而0.311 0.3331。 3比较两个负分数的大小是这节的重点也是难点，利用这两个小题让学生从整体上把握一下方法，达到熟练掌握的程度。 （三）例3：将下列各数按从小到大排列，并用“<”连接。 105.，15.，0，1，52. 5（四）例4：已知有理数a，b在数轴上表示如图，现比较a，b，－a，－b的大小，正确的是（ ）。 A．B．C．D．abab；abba；baab；abba 四、总结反思，拓展升华 （一）两个负数，绝对值大的反而小。 （二）利用数轴可以比较任意两个数的大小，包括两个负数。 a0b 18 / 148

有理数的加减

【教学内容】

有理数的加减——有理数的加法

【教学目标】

1．使学生理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，能准确地进行有理数的加法运算。

2．通过有理数加法的教学，体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法，培养学生观察、比较和概括的思维能力。

3．在传授知识、培养能力的同时，注意培养学生勇于探索的精神。

【教学重难点】

重点：有理数的加法法则，能准确地进行有理数的加法运算。 难点：异号两数相加的法则。

【教学过程】

一、类比联想，提出问题

（一）通过引导学生回忆小学算术运算的学习过程，类比联想到在认识了有理数之后，必然要首先学习有理数的加法。又通过提问，复习具有相反意义的量和用负数表示的量的实际意义，并通过实际问题，提出质疑导入新课。

具体问题是：在下列问题中用负数表示量的实际意义是什么？ （1）某人第一次前进了5米，接着按同一方向又向前进了3米。 （2）某地气温第一天上升了3℃，第二天上升了－1℃。 （3）某汽车先向东走4千米，再向东走－2千米。 紧接着，回答：

（1）某人两次一共前进了多少米？ （2）某地气温两天一共上升了多少度？ （3）某汽车两次一共向东走了多少千米？

（二）组织学生展开讨论，在此基础上指出：这三个问题都是求物体两次向同一方向运动的和的问题，同小学一样，可以用加法来做。但是，这些数中出现了负有理数，怎样进行有理数的加法运算呢？引出课题。在刚才的教学中，通过

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复习，加强了铺垫，刻意去引导学生回忆和复习前面学过的有关知识和方法，在旧知识的复习中找到新知识的生长点。这样既了解了学生的认知基础，带领学生做好学习新课的知识准备，又使学生认识到本课学习的重要性，引起学生的注意，激发他们的求知个欲望，让每个学生都进行积极的思维参与。 二、直观演示，归纳法则

（一）用6个实例讲两个有理数相加的问题。

（1）向东走5米，再向东走3米，两次一共向东走了多少米？ （2）向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？ （3）向东走5米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？ （4）向东走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？ （5）向东走3米，再向西走5米，两次一共向东走了多少米？ （6）向西走5米，再向东走0米，两次一共向东走了多少米？ 点拨：“一共”的含义是什么？通过小学的学习知道，就是两个数相加。 （二）探究：若设向东为正，向西为负，你能写出算式吗？ （1）（＋5）＋（＋3）＝＋8； （2）（－5）＋（－3）＝－8； （3）（＋5）＋（－5）＝0； （4）（＋5）＋（－3）＝＋2； （5）（＋3）＋（－5）＝－2； （6）（－5）＋（＋0）＝－5；

以上六个问题的设置运用了数学中分类的思想方法，因为两数相加，按符号异同划分为三大类。这样自然就把问题归结为三种情况：问题（1）和（2）是同号两数相加的情况；问题（3）、（4）、（5）是异号两数相加的情况；问题（6）有是有一个加数为零的情况。

这6个问题，都借助于数轴，先规定了向东为正，向西为负，通过电教手段具体演示验证两次运动的结果，由在数轴上表示结果的点所处的方向，确定和的符号，由表示结果的点与原点的距离，确定和的绝对值。引导学生认真观察，积极思考，通过分类、观察，最后师生共同归纳总结出有理数的加法法则。

（三）有理数的加法法则。

1．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2．异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大

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的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3．一个数与零相加，仍得这个数。 归纳出法则之后，进一步启发诱导学生分析法则特点，并总结规律：两个有理数相加所得的“和”由符号和绝对值两部分组成，计算“和”的绝对值，实质上是进行算术数的加减，因此，有理数的加法运算，贯穿一个化归思想，即把有理数的加法运算化归为算术数的加减运算。 一般步骤为： （1）根据有理数的加法法则确定和的符号； （2）根据有理数的加法法则进行绝对值的加减运算。 三、应用迁移，巩固提高 为了解决从掌握知识到运用知识的转化，使知识教学和智能培养结合起来，设计了例题和练习题，选题遵循由浅入深，循序渐进的原则。类型：同号、异号、0与一个数相加的三种情况的有理数相加。 （一）例1：计算下列各题 （1）（+7）+（+6）； （2）（－5）+（－9）； （3）(11)23； （4）（－10.5）+（+21.5） 分析：先确定符号，在进行绝对值加减运算。 解：（2）（－5）+（－9）（两个加数同号，用加法法则的第1条计算） =－（5+9）（和取负号，把绝对值相加） =－14 （二）例2：计算 （1）（－7.5）+（+7.5）； （2）（－3.5）+0 解：（1）（－7.5）+（+7.5）＝0 （2）（－3.5）+0＝－3.5 通过此两例，训练学生对法则的理解和直接应用，进行有理数加法，先要判断两个加数是同号还是异号，有一个加数是否为零；再根据两个加数符号的具体情况，选用某一条加法法则。进行计算时，通常应该先确定“和”的符号，再计 21 / 148

算“和”的绝对值。

（三）变式题1：填空：口答，并说明理由 （1）（－4）+（－7）=_____（ ） （2）（+4）+（－7）=_____（ ） （3）7+（－4）=_____（ ） （4）4+（－4）=_____（ ） （5）9+（－2）=_____（ ） （6）（－9）+2=_____（ ） （7）（－9）+0=_____（ ） （8）0+（－3）=_____（ ）

（四）变式题2：今年，我国南方部分地区发生了严重的洪涝灾害。某地水库的水位在某天当中每一次上升了a厘米，第二次上升了b厘米，问：

1．两次一共上升了多少厘米？ 2．计算当a，b为下列各数时的值： （1）a=4，b=3； （2）a=－3，b=7； （3）a=5，b=－5； （4）a=4，b=－1； （5）a=3，b=0

3．说出以上运算结果的实际意义。 四、总结反思，拓展升华

为了使学生对所学知识有一个完整而深刻的印象，利用提问形式，从以下三方面小结。学生先回答，进而教师归纳总结，体现学生为主体，教师为主导的教学思想。

（一）本节所学习的主要内容有哪些？

（二）有理数的加法法则在应用时应注意的哪些问题？（确定“和”的符号，计算“和”的绝对值两件事）

（三）本节课涉及的数学思想方法主要有哪些？

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有理数的加减

【教学内容】 有理数的加减——有理数的减法 【教学目标】 1．理解掌握有理数的减法法则，会进行有理数的减法运算。 2．通过把减法运算转化为加法运算，向学生渗透转化思想。 3．通过有理数减法法则的推导，发展学生的逻辑思维能力。 4．通过有理数的减法运算，培养学生的运算能力。 【教学重难点】 重点：有理数减法法则和运算。 难点：有理数减法法则的推导。 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 （一）计算（口答） 231．()()； 552．－3+（－7）； 3．－10+（＋3）； 4．+10+（－3） （二）探究：某地某年2月3日的最高气温是5℃，最低气温是－4℃。这一天的最高气温比最低气温高多少？ 生：5℃比－4℃高9℃。 师：能不能列出算式计算呢？ 生：5－（－4）。 师：如何计算呢？ 教师总结：这就是我们今天要学的内容。（引入新课，板书课题），第1题既复习巩固有理数加法法则，同时为进行有理数减法运算打基础。第2题是一个具体实例，教师创设问题情境，激发学生的认知兴趣，把具体实例抽象成数学问题， 23 / 148

从而点明本节课课题——有理数的减法。 二、探索新知，讲授新课

（一）师：大家知道10－3＝7，谁能把10－3＝7这个式子中的性质符号补出来呢？

生：（+10）－（+3）＝+7

师：计算：（+10）+（－3）得多少呢？ 生：（+10）+（－3）＝+7

师：让学生观察两式结果，由此得到 （+10）－（+3）＝（+10）+（－3） ①

师：通过上述题，同学们观察减法是否可以转化为加法计算呢？ 生：可以。

师：是如何转化的呢？

生：减去一个正数（+3），等于加上它的相反数（－3）。

教师发挥主导作用，注重学生的参与意识，充分发展学生的思维能力，让学生通过尝试，自己认识减法可以转化为加法计算。

（二）再看一题，计算（－10）－（－3）。

教师启发：要解决这个问题，根据有理数减法的意义，这就是要求一个数使它与（－3）相加会得到－10，那么这个数是谁呢？

生：－7即：（－7）+（－3）＝－10，所以（－10）－（－3）＝－7 教师给另外一个问题：计算（－10）+（+3） 生：（－10）+（+3）＝－7

教师引导、学生观察上述两题结果，由此得到： （－10）－（－3）＝（－10）+（+3） ② 教师进一步引导学生观察②式；你能得到什么结论呢？ 生：减去一个负数（－3）等于加上它的相反数（+3）。

教师总结：由①、②两式可以看出减法运算可以转化成加法运算。由于学生刚刚接触有理数减法运算难度较大，为面向全体，通过第二个题给予学生进一步观察比较的机会，学生自己总结、归纳、思考，此时学生的思维活跃，易于充分发挥学生的学习主动性，同时也培养了学生分析问题的能力，达到能力培养的目标。

师：通过以上两个题目，请同学们想一想两个有理数相减的法则是什么？

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学生活动：同学们思考，并要求同桌同学相到叙述，互相纠正补充，然后举手回答，其他同学思考准备更正或补充。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。教师强调法则： 1．减法转化为加法，减数要变成相反数。 2．法则适用于任何两个有理数相减。 3．用字母表示一般形式为：三、应用迁移，巩固提高

（一）例1：计算 1．（－16）－（－9）； 2．2－7； （二）例2：计算 1．0－（－2.5）； 2．（－2.8）－（+1.7）

例1是由学生口述解题过程，教师板书，强调解题的规范性，然后师生共同总结解题步骤：（1）转化；（2）进行加法运算。

例2两题由两个学生板演，其他学生做在练习本上，然后师生讲评。 （三）例3：某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，答对一题与答错一题得分相差多少分？

（四）例4：组织学生自己编题，学生回答。 （五）变式练习 1．计算（口答） （1）6－9；

（2）（+4）－（－7）； （3）（－5）－（－8）； （4）（－4）－9； （5）0－（－5）； （6）0－5 2．计算

（1）（－2.5）－5.9； （2）1.9－（－0.6）；

。

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13）－； 2412（4）－（）。 43（3）（学生活动：第1题找学生口答，第2题找四个学生板演，其他同学做在练习本上。 3．世界最高峰是珠穆朗玛峰，海拔高度是8848米，陆上最低处是位于亚洲西部的死海湖，湖面海拔高度是－392米，两处高度相差多少？ 生答：8848－（－392）＝8848+392＝9240。 所以两地高度相差9240米。 四、总结反思，拓展升华 提问：通过本节课学习你学到了什么？ 有理数减法法则是一个转化法则，要求同学们掌握并能应用其计算。对于小学不能解决的2－5这类不够减的问题就不成问题了。也就是说，在有理数范围内，减法总可能实施。

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有理数的加减

【教学内容】

有理数的加减——加、减混合运算

【教学目标】

1．了解代数和的概念，理解有理数加减法可以互相转化。

2．让学生熟练地进行有理数加减混合运算，并利用运算律简化运算。

【教学重难点】

重点：把加减混合运算算式理解为加法算式，加减运算法则和加法运算律。 难点：省略加号与括号的代数和的计算。

【教学过程】

一、创设情境，复习引入

（一）问题1：口答 1．2－7； 2．（－2）－7； 3．（－2）－（－7）； 4．2+（－7）； 5．（－2）+（－7）； 6．7－2； 7．（－2）+7； 8．2－（－7）。

（为了进行有理数的加减混合运算，必须先对有理数加法，特别是有理数减法的题目进行复习，为进一步学习加减混合运算奠定基础。这里特别指出“+、－”有时表示性质符号，有时是运算符号，为在混合运算时省略加号、括号时做必要的准备工作。）

（二）问题2：某地冬天某日的气温变化情况如下，早晨6：00的气温为－2℃，到中午12：00上升了8℃，到14：00又上升了5℃，且为当天的最高气温，到18：00降低了7℃，到23：00又降低了4℃，问23：00的气温是多少？

分析：用正、负数表示气温的上升与下降，那么这个问题就转化为求：

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－2+（+8）+（+5）+（－7）+（－4）① 二、合作交流，解读探究 思考：你会计算－2+（+8）+（+5）+（－7）+（－4）吗？ 交流：你是如何计算的？ 由前面的加法法则知：两个数相加，再将和与第三个数相加，如此下去，得出结果。 回顾：在小学学习时，我们知道加法有两条运算律。 （一）加法运算律 加法的交换律：a+b＝b+a 加法的结合律：（a+b）+c＝a+（b+c） 引入负数后，可以验算加法的运算律同样适用，这里的a、b、c可以表示有理数。 交流：计算－2+（+8）+（+5）+（－7）+（－4），有更快捷的方法吗？ 原式＝+8+（+5）+（－2）+（－7）+（－4）（加法的交换律） ＝［（+8）+（+5）］+［（－2）+（－7）+（－4）］（加法的结合律） ＝13－13 ＝0 （二）代数和 ①式中仅含有加法运算，这样的几个正数与负数的和叫代数和，通常可以省去加号及个各括号，写出：－2+8+5－7－4 按性质符号（结果）可读成“负2，正8，正5，负7，负4的和”；按运算符号读成“负2加8加5减7减4”。 三、应用迁移，巩固提高 （一）类型一：加减混合运算 124111．例1：把()()()()写成省略加号的和的形式，并把它23523读出来。 解析：应先将加减混合运算统一成加法运算，再写成省略加号的和的形式. 12411解：()()()() 23523 28 / 148

12411()()()()＝23523 12411 235231241112411读作：、负、、、负的和或读作：减加加减 2352323523＝2．例2：计算： (1)(7)(8)(3)(6)23111 (2)()()4638解：（1）（+7）－（+8）+（－3）－（－6）+2 =（+7）+（－8）+（－3）+（+6）+2 =（7+6+2）+（－8－3） =15－11 =4 (2)311()46331()(46311()(4867138281()811)38 1)3（3）变式练习： A．计算：（+9）－（+10）+（－2）－（－8）+3 B．计算： ①－12+11－8+39； ②+45－9－91+5； ③－5－5－3－3； ④－6－8－2+3.54－4.72+16.46－5.28； （二）类型二：加减混合运算的应用 1．例3：一批大米，标准质量为每袋25kg，质检部门抽取10袋样品进行检测，把超过标准质量的千克数用正数表示，不足的用负数表示，结果如下： 29 / 148

袋号 与标准质量差 1 1 2 0.5 3 4 5 6 7 1 8 0.5 9 0 10 0.5 1.5 +0.75 0.25 +1.5 这10袋大米质量总记是多少千克？ 分析：有两种方法，第一种将10袋的实际质量相加；第二种将10袋不足或超过的部分相加，然后加上10×25 解：1+（－0.5）+（－1.5）+0.75+（－0.25）+1.5+（－1）+0.5+0+0.5 =[1+（－1）]+[（－0.5）+0.5]+[（－1.5）+1.5]+[0.75+（－0.25）]+0.5 =1 10×25+1=251（kg） 答：这10袋大米质量总记是251千克。 2．变式练习： 出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的长安街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： +15，－2，+5，－13，+10，－7，－8，+12，+4，－5，+6 （1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点多远？ （2）若汽车耗油量为a升/千米，这天下午小李共耗油多少升？ 四、总结反思，拓展升华 怎样做加减混合运算题目？ 1．有理数加减法混合运算的题目的步骤为： （1）减法转化成加法； （2）省略加号括号； （3）运用加法交换律使相加可得到整数的可先相加；分母相同或易与通分的分数可先相加；互为相反数的可先相加。 2．省略括号和的形式的两种读法？ 30 / 148

有理数的乘除

【教学内容】

有理数的乘除——有理数的乘法

【课时安排】

2课时

【第一课时】 【教学目标】

一、经历探索有理数乘法法则的过程，发展归纳、猜测等能力。 二、能运用法则进行有理先相加数乘法运算。 三、理解有理数倒数的意义。 四、能用乘法解决简单的实际问题。

【教学重难点】

重点：有理数乘法法则及运算。 难点：有理数乘法中的积的符号法则。

【教学过程】

一、创设情景，导入新课

（一）问题1

1．商店降价销售某种产品，若每件降5元，售出60件，问与降价前比，销售额减少了多少？

2．商店降价销售某种产品，若每件提价－5元，售出60件，与提价前比，销售额增加了多少？

3．商店降价销售某种产品，若每件提价a元，售出60件，问与提价前比，销售额增加了多少？

（二）问题2

1．登山队攀登一座高峰，每登高1km，气温下降6℃，登高3km后，气温下降多少？

2．登山队攀登一座高峰，每登高1km，气温上升－6℃，登高3km后，气

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温上升多少？

3．登山队攀登一座高峰，每登高1km，气温上升－6℃，登高－3km后，气温有什么变化？

（三）问题3 1．2×3=__； 2．－2×3=__； 3．2×（－3）=___； 4．（－2）×（－3）=____； 5．3×0=_____； 6．－3×0=_____。

思考：比较－2×3＝－6，2×3=6，你对一个负数乘一个正数有什么发现？ 归纳：把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数。 比较（－2）×（－3）=6，2×3=6，你对两个负数相乘有什么发现？ 引导学生思考：5×0，－5×0，0×（－2）的结果是多少？ （四）法则归纳 新知一：有理数乘法法则

（1）两数相乘，同号得______，异号得_______，并把________相乘。（同号得正，异号得负）

（2）任何数同0相乘，都得______。

强调：“同号得正”有两种，一种是两个在有理数相乘，另一种是两个负有理数相乘（负负得正），并与小学学习的乘法比较，关键是乘法的符号法则。 二、应用迁移，巩固提高

（一）问题：由法则，如何计算（－5）×（－3）的结果？ 1．师生共同完成 依据方法步骤

（－5）×（－3）………………………同号两数相乘…………看条件 （－5）×（－3）=+（ ）…………同号得正…………决定符号 5×3=15……………………………………把绝对值相乘……计算绝对值 ∴（－5）×（－3）=+15 2．分组讨论

总结：有理数的乘法：与小学里数的乘法在法则和方法步骤方面分别有什么

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联系？ （1）符号决定以后，有理数的乘法就转化成了小学里数的乘法； （2）由（1）可见，小学里数的乘法是有理数乘法的基础。 （二）练习 1．确定下列两数的符号 （1）5×（－3）； （2）（－4）×6； （3）（－7）×（－9）； （4）0.5×0.7； （5）732．计算 （1）6×（－9）； （2）（－6）×（－9）； （3）（－6）×9； （4）（－6）×0； （5）0×（－9）； （三）新知二：倒数 1．回顾 （1）满足什么条件的两个数互为倒数？0.2的倒数是多少？7.29的倒数呢？ 23的倒数呢？ 7（2）满足什么条件的两个数互为相反数？0.2的相反数是多少？2．探索 在有理数范围内，我们仍然规定：乘积是1的两个数互为倒数。－0.2的倒23数是多少？－7.29的倒数呢？－的倒数呢？ 7因为任何数同0相乘都不等于1，所以0没有倒数。由学生找出练习2中哪些题里的两个因数互为倒数，为什么？ 3．分组讨论 （1）两个互为倒数的数的符号有什么特征？ （2）绝对值有什么关系？ （3）如何找一个有理数的倒数？ 33 / 148

23呢？ 74．练习 （1）－1的倒数是1还是－1？为什么？ 9（2）的倒数是______；0的倒数________。 4（3）_____________的两个数互为相反数。_______的两个数互为倒数。若a+b=0，则a、b互为_____数，若ab=1，则a、b互为_____数。 （4）计算 a．（－6）×4=______=____； b．－29()=_________=_____。 34（5）在数－5，1，－3，5，－2中任取3个相乘，哪3个数相乘的积最大？哪3个数相乘的积最小？ （四）新知三：有理数与1或者－1相乘 口答：1×（－5）；（－1）×（－5）；1×a；（－1）×a。 引导学生归纳：一个数乘以1等于它本身；一个数乘以－1等于它的相反数。 四、总结反思，拓展升华 在进行有理数乘法运算时，与有理数加法运算狠相似，要注意：先确定积的符号；积的绝对值是两个因数绝对值的积。 【第二课时】 【教学目标】 一、巩固有理数乘法法则。 二、探索多个有理数相乘时积的符号的确定方法。 三、掌握有理数乘法的运算律，并能利用运算律简化计算。 【教学重难点】 重点：多个有理数相乘的符号法则和有理数乘法的运算律。 难点：多个有理数相乘时积的符号确定。 【教学过程】 一、回顾复习，引入课题 215计算：16；211 356你能说出各题的解答根据吗？叙述有理数的乘法运算的法则是什么？ 34 / 148

有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积为0。 二、创设情景，导入新课 （一）新知一：多个有理数相乘的积的符号法则 1．下列各式的积为什么是负的？ （1）－2×3×4×5×6； （2）2×（－3）×4×（－5）×6×7×8×9×（－10） 2．下列各式的积为什么是正的？ （1）（－2）×（－3）×4×5×6×7； （2）－2×3×4×5×（－6）×7×8×（－9）×（－10） 思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？ 与两个有理数相乘一样，几个不等于0的有理数相乘，要先确定积的符号，再确定积的绝对值。 3．计算 （1）（－4）×5×（－0.25）； （2）（+2）×（－8.5）×（－100）×0×（+90） 归纳：几个不等于0的因数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个因数为0，积就为0。 （二）新知二：有理数的乘法运算律 1．125×0.05×8×40（小学数学乘法的交换律和结合律） 5571336（小学数学的分配律） 961222．上题变为（－0.125）×（－0.05）×8×（－40） 5571336 96122以上四题能否简便计算？也就是小学数学的乘法交换律和结合律、分配律在有理数范围内能否使用？ （三）探索新知 1．计算下列各题 （1）（－5）×2； 35 / 148

（2）2×（－5）； （3）[2×（－3）]×（－4）； （4）2×[（－3）×（－4）]； 1（5）32； 31（6）323 3在进行加、减、乘的混合运算时，应注意：有括号时，要先算括号里面的数，没有括号时，先算乘法，后算加减。 比较的结果：（1）与（2）；（3）与（4）；（5）与（6）的计算结果一样。计算结果一样，说明了什么？ 生：说明算式相等。 即： （1）（－5）×2=2×（－5）； （2）[2×（－3）]×（－4）=2×[（－3）×（－4）]； 11（3）32=323 33师：由（1），我们可以得到乘法交换律；由（2），可以得到乘法结合律；由（3），可以得到分配律。乘法的运算律在有理数范围内还成立吗？大家每人写一些不同的数据来试一试。（学生活动） 生：乘法的运算律在有理数范围内成立。 2．我们探讨的乘法运算律在有理数运算中的应用。我们首先要知道乘法运算律有哪几条？能用文字叙述吗？ （1）乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变； （2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变； （3）分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两数相乘，再把积相加。 你能用字母表示乘法的交换律、结合律，分配律吗？ 如果a，b，c分别表示任一有理数，那么： 乘法的交换律：a×b=b×a 乘法的结合律：（a×b）×c=a×（b×c） 36 / 148

分配律：a×（b+c）=a×b+a×c 三、应用迁移，巩固提高 新知应用：乘法的运算律在有理数运算中的应用 1．例题：简便计算 （－0.125）×（－0.05）×8×（－40）； 解：（1）（－0.125）×（－0.05）×8×（－40） =－0.125×0.05×8×40 =－0.125×8×0.05×8×40 （乘法的交换律） =－（0.125×8）×（0.05×40） （乘法的结合律） =－1×2=－2 2．变式计算 123756 四、总结反思，拓展升华 通过本节课的学习，大家学会了什么？ 本节课我们探讨了多个有理数相乘时积的符号的确定方法。有理数乘法的运算律及其应用。乘法的运算律有：乘法交换律：a×b=b×a；乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）；分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。在有理数的运算中，灵活运用运算律可以简化运算。 37 / 148

有理数的乘除

【教学内容】

有理数的乘除——有理数的除法

【教学目标】

一、了解有理数除法的定义。

二、经历根据除法是乘法的逆运算的过程，归纳出有理数的除法法则。 三、掌握有理数除法法则，理解零不能做除数。 四、理解除法转化为乘法，让学生体会转化思想。

五、会运用除法法则求两个有理数的商，会进行简单的混合运算。

【教学重难点】

重点：除法法则的灵活运用。

难点：有理数除法确定商的符号后，怎样根据不同的情况来取适当的方法求商的绝对值。

【教学过程】

一、创设情境，复习导入

1．问题一：已知3＝15，则＝ ；－3＝15，则＝ 。 2．问题二：4× ＝－20；－8× ＝40，你是如何计算的？ 3．问题三：根据乘除互逆运算关系，你能求下列两数的商吗？ 乘法 除法

2×3＝6 6÷2＝ 6÷3＝ －2×3＝－6 －6÷2＝ －6÷3＝ －2×（－3）＝－6 －6÷（－2）＝ －6÷（－3）＝ 你能发现有理数除法又是如何计算的？ 二、探索新知，讲授新课

（一）新知一：有理数除法法则一 探究：

1．两数相除，商的符号与被除数、除数符号有何关系？ 2．商的绝对值与被除数、除数符号有何关系？

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3．零除以一个不为零的数，商为多少？ 总结：

有理数除法法则一

1．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2．零除以一个不为零的数仍得零，零不能做除数。

小学里学过有关倒数的概念是什么？怎么求一个数的倒数？（用1除以这个数）4的倒数是多少？0有倒数吗？为什么没有？小学里学过的除法与乘法有何关系？例如10÷0.5=10×2；0÷5=0×0.2，你能总结出一句话吗？（除以一个数等于乘以这个数的倒数）5÷0=？0÷0=？呢？（这些式子无意义）也就是说0是没有倒数的。我们已知的求倒数的法则在有理数范围中同样适用吗？你能说说以下各数的倒数是多少吗？2.5，－9，－37，－1，a，a－1，3a，abc，－xy（各字母式不为0）

说明：一个数的倒数与其是正数或负数无关。 （二）新知二：有理数的除法法则二 计算：8÷（－4）；

计算：8×（ ）＝8×（－2）

师：根据以上题目，你能说出怎样计算有理数的除法吗？能用含字母的式子表示吗？

有理数除法法则二：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数，用式子表示为：

三、应用迁移，巩固提高

尝试反馈，巩固练习 1．计算： （1）（－18）÷6； （2）（－63）÷（－7）； （3）（－36）÷6； （4）1÷（－9）； （5）0÷（－8）； （6）16÷（－3）。 2．计算： （－6.5）÷0.13

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四、总结反思，拓展升华

（一）有理数的除法法则是什么？

（二）如何运用除法法则进行有理数的除法运算？ 1．确定商的符号； 2．把除数转化为它的倒数； 3．利用乘法计算结果。

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有理数的乘除

【教学内容】 有理数的乘除——乘、除混合运算 【教学目标】 一、能按照有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加、减、乘、除的混合运算。 二、培养学生的观察能力和运算能力。 三、培养学生在计算前认真审题，确定运算顺序，计算中按步骤审慎进行，最后要验算的好习惯。 【教学重难点】 重点：如何按有理数的运算顺序，正确而合理地进行有理数混合运算。 难点：灵活运用运算律及符号的确定。 【教学过程】 一、温故知新 （一）我们学习了哪些运算？ （二）有理数的加法法则是什么？减法法则是什么？它们的结果各叫什么？ （三）有理数的乘法法则是什么？除法法则是什么？它们的结果各叫什么？ （四）有理数的运算律有哪些？用式子如何表示？ （五）在小学我们学过四则运算，那么四则运算的顺序是什么？ 二、创设情景，引入新课 （一）试一试：指出下列各题的运算顺序 11．502； 52．632； 3．632； 4．178243； 41 / 148

2215．10.51； 339186．10.234(5.3) 5。（二）运算顺序规定如下（由学生归纳）： 1．先算乘除，再算加减； 2．同级运算，按照从左至右的顺序进行； 3．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。（加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。） 三、应用迁移，巩固提高 （一）例3：计算 5（1）()(5)(2)； 26（2）（－6）÷（－4）÷（－）； 51111试一试计算1 32410144解：原式（）10= 653让学生分析计算顺序，然后教师板演计算过程并强调注意事项。 注意： a．小括号先算； b．进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法； c．同级运算，按从左往右的顺序进行，这一点十分重要。 教师在例3的基础上引导学生分析并进行计算，然后教师对混合运算的书写格式进行纠正和规范。 （二）例4： 1425（1）0.75()() 55545（2）5(10.2)(2) 3先让学生独立思考，把题目中计算有错误的改正过来。然后，老师根据学生 42 / 148

完成的情况进行讲评。 （三）变式练习 1．计算 （1）6580； 11（2）1； 34（3）234315； 22111； （4）339（5）1243104； 232。 5（6）0.2512．做游戏：24点游戏是利用扑克牌中的52张（去掉大王、小王），任意抽取4张，利用混合运算，可以是加、减、乘、除法，也可以是乘方（底数、指数均是这4个数之中的），只要结果得到24即可。（每个数都要用且只能用一次） 如：四张牌3，4，6，10，将它们凑成24。 第一种：3(104)6 第二种：46310 聪明的你，也来试试吧！看谁写得多！ 四、总结反思，拓展升华 让学生谈出自己的体会与收获，教师进一步总结、补充。 1．本节主要学习了有理数加、减、乘、除的混合运算，进行有理数的混合运算的关键是熟练掌握其混合运算的运算法则、运算律及运算顺序。 2．本节还通过玩游戏，进一步加深理解了有理数混合运算顺序，积累了运算技巧，提高了运算速度。 3．几种运算法则要点：同号加，异号减；一定符号，二相乘；除法减法要转化。 4．在计算时，要注意选→定→算→查→改 43 / 148

有理数的乘方 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 一、在现实背景下理解有理数乘方的概念。 二、掌握有理数乘方的运算。 三、熟练进行有理数的混合运算。 【教学重难点】 1．重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行有理数的乘方运算。 2．难点： （1）会进行有理数的乘方运算； （2）(－a)n与－an的区别； （3）乘方在生活中的应用。 【教学过程】 一、创设情境，提出问题 1．问题情景一：边长为2的正方形面积是多少？棱长为2的正方体的体积是多少？ 2．问题情境二：请哪一位吃过兰州拉面的同学说一说拉面的制作过程？ 制作过程如下图（多媒体展示） （教者设法引导学生将生活问题用数学的眼光来观察解决。） （1）让学生观察“拉面”图。 （2）猜一猜共有多少根。 （3）让学生用带来的线做“拉面”的活动。 （4）学生通过实际操作，搞清楚3次相当于几个2相乘，假如是6次、20 44 / 148

次呢？分别是几个2相乘？小组讨论拉n次，相当于几个2相乘，并全班交流。（5）能否用算式表示这种关系？ 引导20个2连加可写成什么？20×2；20个2相乘可写成什么？（220） 在小学我们已经学习过a·记作a2，读作a的平方（或的a二次方）；a，a·a·a作a3，读作a的立方（或a的三次方）；那么，a·a·a·a可以记作什么？读作什么？a·a·a·a·a呢？a·a·a……a（共有n个a，n是正整数）呢？ 在小学对于字母a我们只能取正数，进入中学后，我们学习了有理数，那么a还可以取哪些数呢？请举例说明。 二、分析探索，问题解决 （一）新知一 1．乘方的定义： （1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方。 （2）乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数。 一般地，在an中，a取任意有理数，n取正整数，以后我们还要学习a取非有理数，n取非正整数的情况。 幂 an底数 指数 应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。 （3）我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，an就是表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算。 2．巩固练习 （1）填空： ①在52中，底数是____，指数是____，52读作____或读作____。 45 / 148

②在(－4)2中，底数是____，指数是____，读作____或读作____。 ③在－42中，底数是____，指数是____，读作____或读作____。 ④a底数是____，指数是____。 （2）你会计算下面的题目吗？不妨试一试。 12①2，2，3，24； 231223，，(－2)4； ②－2，23③0，02，03，04。 教师指出：2就是21，指数1通常不写。然后让三个学生在黑板上计算。 3．议一议 引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系？（从底数的正负性和指数的奇偶性分析） （二）新知二 乘方的符号： （1）横向观察：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零。 （2）纵向观察：互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等。（3）任何一个数的偶次幂都是非负数。 （4）当底数是负数或分数时，必须加括号，把它看成一个整体。 你能把上述的结论用数学符号语言表示吗？（学生讨论后，老师归纳如下）当a>0时，an>0（n是正整数）； 当a<0，n为偶数（奇数）时，幂的结果为正数（负数）； 当a=0时，an=0（n是正整数）。 （以上为有理数乘方运算的符号法则） （三）新知三 1．你能再算一下以下各题吗？ （1）(－3)2，(－3)3，[－(－3)]5； （2）－32，－33，－(－3)5； 46 / 148

222（3），。. 332学生做完后小组互相对答案。教师引导学生观察第（1）题和第（2）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(－a)n的底数是－a，表示n个(－a)相乘，－an是an的相反数，这是(－a)n与－an的区别。教师引导学生横向观察第（3）题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了。 2．归纳总结 a2n=(－a)2n（n是正整数）； 2n－1a2n1=－(－a)a2n（n是正整数）； ≥0（a是有理数，n是正整数）。 3．练一练（师注意巡视，发现问题，及时解决） 255555（1），，，－，； 22222222222，－42×(－4)2，－23÷(－2)3； （2）(－1)2001，3×（3）(－1)n－1。 （四）新知四 1．有理数的混合运算 观察下面算式里有哪几种运算？ (1)108(2)2(4)(3)95311(2)()()2()[()3]53824加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。 有理数的混合运算，应注意如下运算顺序： a．先算乘方，再算乘除，最后算加减； b．同级运算，按照从左至右的顺序进行； c．如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。 2．练习：计算 47 / 148

（1）34×112 ＋（－22）×÷272（2）2×（－3）3－4×（－3）＋15 9523131()()()() （3）53824三、总结反思，拓展升华 （一）两个问题 1．乘方是怎样一种特殊的运算？ 2．负数的幂的符号如何确定？ （二）三个关注 1．关注生活，用数学眼光观察生活中的实际问题。 2．关注用“一般——特殊——一般”的数学思想方法是研究问题的一种常用方法。 3．括号的作用 4．有理数混合运算的法则。 （三）小结 通过本节课的学习，结合自己的做题体会，说一说这节课中自己容易出现的问题是什么？ 【第二课时】 【教学目标】 一、借助身边熟悉的事物进一步体会大数。 二、了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比10大的数。 三、通过用科学记数法表示大数的学习，让学生从多种角度感受大数，促使学生重视大数的现实意义，以发展学生的数感。 【教学重难点】 重点：正确使用科学记数法表示大于10的数。 难点：正确掌握10n的特征以及科学计数法中n与数位的关系。 【教学过程】 一、创设问题情境，引入新课 48 / 148

问题情境：

1．太阳的半径约696000千米；

2．富士山可能爆发，这将造成至少25000亿日元的损失； 3．光的速度大约是300000000米/秒； 4．全世界人口数大约是6100000000。

这样的大数，读、写都不方便，如何用简洁的方法来表示它们？ 二、攻克新知

（一）方法一：用更大的数量级单位表示：如将300000000表示为3亿。 1．观察与探索

计算101，103，105，1010，并讨论1022表示什么？指数与运算结果中的0的个数有什么关系？与运算结果的数位有什么关系？

2．练习

（1）把下面各数写成10的幂的形式：1000，10000000，10000000000。 （2）指出下列各数中是几位数：102，105，1021，10100。

思考：利用前面的知识，你能把一个比10大的数表示成整数位是一位数的乘以10n的形式吗？试试看。

100＝1×________；3000＝3×________；25000＝2.5×________。 （二）方法二：科学记数法

1．科学记数法定义：一个大于10的数可以表示成a10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法。

2．科学记数法也就是把一个数表示成a10n的形式，其中1≤a＜10，n的值等于整数部分的位数减1。 三、应用迁移，巩固提高

（一）例1：用科学记数法记出下列各数 1．1000000； 2．57000000； 3．123000000000 解：1．1000000=1×106 2．57000000=5.7×107

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3．123000000000＝1.23×1011

注意：用科学记数法表示一个数时，首先要确定这个数的整数部分的位数。一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1，如原数有6位整数，指数就是5。

说明：在实际生活中有非常大的数，同样也有非常小的数。本节课强调的是大数可以用科学记数法来表示，实际上非常小的数也同样可以用科学记数法表示，如本章引言中有1纳米＝109米，意思是1米是1纳米的10亿倍，也就是说1纳米是1米的十亿分一。

（二）例2：资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约1300万公顷的速度从地球上消失，每年森林的消失量用科学记数法表示应是多少公顷？

解：1300万=13000000=1.3×107

因此，每年森林的消失量用科学记数法表示应是1.3×107公顷。 （三）变式练习：

1．判断下列数据的记数方法是科学记数法吗？（是打“√”、否打“×”） （1）3.5×103 （ ）； （2）0.5×106 （ ）； （3）30.3×108 （ ）； （4）10×102 （ ）。 （自主练习，学生讲评） 2．用科学记数法表示下列各数。 （1）51000000000= ； （2）3705000= ； （3）572.5= ； （4）100000= 。 3．下列用科学记数法表示的数的原数是什么？ （1）9.18103； （2）5105； （3）3.76107；

（4）某整数用科学记数法表示为a10n，整数位是 位。

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4．怎样用科学记数法表示我们身边的数据呢？

（1）我们会场有3百人，用科学记数法表示为： ； （2）我们学校有2千人，用科学记数法表示为： ； （3）13亿又该怎样表示？ 四、总结反思，拓展升华

（一）生活中我们会遇到读、写都有困难的较大的数，我们可用科学记数法表示它们：任何一个大于10的数都可记成a10n的形式，其中1≤a＜10，n为自然数。

（二）科学记数法中，n与数位的关系是：n=数位－1，利用这一关系可以将一个较大的数用科学记数法表示出来，也可以把科学记数法表示的数的原数写出来。

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近似数

【教学目标】

一、通过实际的操作初步掌握近似数和准确数的概念，误差的概念； 二、能判断一个数是否是近似数；

三、能够按照要求对一个数进行四舍五入，精确到某一数位。

【教学重难点】

重点：掌握近似数和准确数的概念，误差的概念。

难点：能够按照要求对一个数进行四舍五入，精确到某一数位。

【教学过程】

一、创设情景，导入新课

问题：

（一）在实际生活中常碰到不可能取准确的数的时候，如1块月饼，平均地分给3个孩子，如何分？

（二）在生活中，你常听到某人的身高为1.7115米吗？ （三）在圆面积计算中，圆周率常用怎样的数来代替计算？

在生活中，有的数据无法取到精确数据或没有必要取到精确数据，因此取近似数。

二、合作交流，解读探究

（一）操作：

1．数一数今天班级上的同学数； 2．查一查你的数学课本的页数； 3．量一量数学课本的宽度； 4．称一称你书包的质量。

（二）交流：在上面操作中取到的数据，哪些是精确的？哪些是近似的？ 1、2中的数据是由计数得来的，是准确值；3、4中的数据是测量得来的，结果有差别，是近似的。

1．准确数和近似数

准确数：与实际情况完全吻合的数。

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近似数：与实际数值很接近的数。 2．误差

探究解决操作（3），量一量课本的宽度，课本图1-21（1）是用只有厘米的刻度的尺去测量，得到的宽度约18.7cm，图1-21（2）是用有毫米刻度的刻度尺去量，得到的宽度约18.73cm。

这里得到的18.7cm，18.73cm是课本宽度的近似值，近似值与它的准确值的差，叫误差。

误差＝近似值－准确值。误差可能是正数，也可能是负数。误差的绝对值越小，近似程度越高，反之，越低。

3．近似数产生的原因

是不是只有测量才会得到近似数？其它什么情况下还可以得到近似数？ 在计数、计算等许多条件下，有时很难取得准确数，有时因不必要使用准确数，于是就使用近似数。例如在涉及圆的周长和面积计算时，常取≈3.14。 三、应用迁移，巩固提高

（一）下列实际问题中出现的数，哪些是准确值，哪些是近似数？ 某同学的身高1.58米； 中国有31个省级行政单位； 北京市大约有1300万人口； 那座山高出海平面3875米。

解：31是准确数，1.58，1300，3875是近似数。 （二）求近似数

（1）2.953保留一位小数； （2）2.953保留整数； （3）0.003569精确到0.001。

分析：按要求，找到应精确的那一位，再根据下一位的大小决定是舍是入。 解：（1）2.953≈3.0； （2）2.953≈3； （3）0.003569≈0.0036。 （三）按要求计算近似数。 （1）364700（精确到万位）； （2）364700（精确到十万位）。

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分析：当数据较大时，先应科学计数法表示，再按要求四舍五入。 解：（1）364700≈3.610（或36万） （2）364700≈410（或40万） 55348（四）十一期间，某商场准备对商品作打8折（即8278.4(元)）促销。一种原价为10348元的微波炉，打折后，如果要求精确到元，定价是多少？如果要求精确到10元，定价又是多少？ 解：这种微波炉打8折后的价格为 3488278.4(元) 10要求精确到元的定价是278元；。 要求精确到10元的定价是280元。 （五）据2010年上海世博会官方统计，2010年5月1日到10月31日期间，共有7308.44万人次入园参观，求每天的平均入园人数（精确到0.01万人） 解：从5月1日到10月31日共有184天，所以每天的平均入园人数 7308.4418439.71939.72(万人) 四、总结反思，拓展升华 在生活中，要分清所碰到的数是准确数还是近似数，学会用四舍五入法求近似数。 54 / 148

代数式-用字母表示数

【教学内容】

代数式——用字母表示数

【教学目标】

一、理解用字母表示数的意义，形成初步的符号感。

二、能用字母表示以前学过的运算法则和计算公式、一些简单实例中的数量关系。 三、经历探索规律的过程，体会用字母表示数的优越性，给学生以数学简洁美的感受。

【教学重难点】

一、用字母表示有理数的运算律、法则和实际问题中的数量关系。 二、理解用字母表示数的意义，建立符号感。 三、由特殊归纳一般规律，并用字母表示一般规律。

【教学过程】

导入新课

首先，教师跟学生们玩一个数字游戏：随便想一个自然数，将这个数乘5减7，再把结果乘2加14，无论开始想的自然数是什么，按照上面的计算方法得到的数的个位数字一定是0，你相信吗？给予学生讨论的时间，让他们自己来实践一下，验证这一游戏的正确性，然后提出一个设问：你知道这是为什么吗？我们学习了《用字母表示数》后就知道了。（板书课题）

推进新课 一、简单的探究

2008年9月25日，我国成功发射了“神舟七号”载人飞船。它在椭圆形轨道上环绕地球飞过45周，历时约68h。试求：

（一）该飞船绕地球飞行一周约需多少分？ （二）该飞船绕地球飞行n周约需多少分？

学生口答完后，教师指明用含有字母n的式子表示飞行时间的数量关系。 二、感受体验数量关系的获得过程

接着就让学生自己动手做一做，利用小棒搭正方形，一个正方形需要四根小

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棒，那么按照下面的方式，搭两个正方形需要几根小棒呢？搭10个正方形呢？100个呢？

教学策略：让学生自己来动手动脑想一想、做一做，再与其他同学议一议。经历操作和思考、表达和交流等过程，运用他们自己的方法来解决这个问题，其实有的学生借助拼摆的过程来解决问题，可能在试图寻求一般化的规律。

教学点拨：解决此问题，可从以下多个角度来思考：

（一）第一个正方形是用四根，每增加一个正方形增加3根，那么搭x个正方形就需要[4＋3(x－1)]根；

（二）上面的一排和下面的一排各用了x根，竖直方向用了(x＋1)根小棒，共用了[x＋x＋(x＋1)]根小棒；

（三）把搭第一个正方形的方法看作是先搭1根再增加3根，那么搭x个正方形就需要(1＋3x)根；

（四）把每一个正方形看成是用4根搭成，然后再减去多算的根数，就会得到4x－(x－1)。总之，应该注意每种表示形式与具体摆法要互相对应（符号表示与规律，数与形的对应），给学生充分的时间来发挥，鼓励学生探索，并运用自己的语言来表达各自的方法，而且要与其他同学进行交流。要多注意对一个问题从多角度，多层次去思考，对一个事物能采用多种方法去表达，对一道题能想出不同的解法，善于归纳总结。（通过学生动手操作，自主探索，合作交流等学习方式，使学生自己完成由特例归纳一般规律，并用字母表示一般规律的过程，培养学生的分析、归纳能力，初步形成符号感，并体会到探索一般规律的必要性。） 三、做一做

在学生热情高涨的时候，鼓励学生尽可能回忆并写出以前所学过能用字母表示的法则和公式，如

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； 加法交换律：a＋b＝b＋a； 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法交换律：a×b＝b×a；

乘法分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c；

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1三角形的面积＝2ah； 长方形的面积＝ab，长方形的周长＝2(a＋b)； 正方形的面积＝a2，正方形的周长＝4a； 平行四边形的面积＝ah； 1梯形面积＝(a＋b)h； 2圆的面积＝πr2。 同时请学生说出每个字母代表的含义，以此让学生进一步体会字母表示数。在这里也可以用表格的形式给出来。 四、例题分析 填空： （一）某地为了治理河山，改造环境，计划在第十个五年计划期间植树绿化荒山，如果每年植树绿化x公顷荒山，那么这五年内植树绿化荒山________公顷； （二）如果王红用t小时走完的路程为s千米，那么她的速度为________千米/时； （三）圆柱的底面半径为rm，高为hm，它的体积为________m3． 点评：用字母表示数，也就是把一些数量关系抽象化，让它具有一般性。 五、本课小结 回顾本节课的内容，思考下列问题并说一说。 （一）你是怎样得到用字母表示规律的式子的？ （二）字母能表示什么？ （三）通过今天的学习，你对规律、字母表示数有何看法？ 57 / 148

代数式

【教学内容】

代数式——代数式

【教学目标】

一、掌握代数式的概念，并了解代数式的书写注意事项。 二、能分析文字语言表述的数量关系，并会列代数式表示。 三、能用文字语言从不同角度说明一些简单代数式表示的意义。 四、进一步体会代数式是表示数量和数量关系的。

【教学重难点】

一、列代数式。

二、简单代数式所反映的数量关系。 三、文字语言和代数语言的相互转化。

【教学过程】

一、导入新课

我们在前面学习了用字母表示数，你能完成下面的问题吗？

（一）黑板的长为a米，宽为b米，则它的面积为________平方米，周长为________米；

（二）钢笔每支a元，铅笔每支b元，买2支钢笔和3支铅笔共需________元；

（三）某种食品的单价是16元/千克，则n千克需_______元；

（四）爷爷的年龄是孙子的年龄的4倍，当爷爷a岁时，孙子的年龄是________岁。

（四名同学板演，其他同学在练习本上独立完成。）

（联系学生熟悉的实际问题，一是激发兴趣，二是可使学生认识到数学知识来源于生活又反过来应用于生活。） 二、推进新课

（一）代数式 活动：谈一谈。

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n师：上面出现的ab，2(a＋b)，(2a＋3b)，16n，4等这样的式子都是代数式，观察这些代数式有什么特征？ 学生1：这些式子都是用＋、－、×、÷把数字和字母连接起来的。 师：很好，那么怎样给代数式下定义呢？ 学生2：用运算符号把数字与字母连接而成的式子。 师：说得好，大家对这个定义有疑问吗？ 学生3：为什么5也是代数式？ 师：这位同学问得好。哪位同学可以回答？ 学生4：5可以看成5＋0。也就是用＋把5和0连接起来的式子。按照代数式的定义，5也是代数式。 学生5：a可以看成a＋0或者a×1，所以a也是代数式。 师：请问这位同学（学生3），你对这两位同学的回答是否满意？ 学生3：还比较满意。 特别强调： （1）单个的数或字母也是代数式。 （2）在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”，或者省略不写，如5×a可写成5·a或5a。 （3）数字与字母相乘时，要将数字写在字母的前面。如5×a写成5a不能写成a5。 （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写。如8÷m可写8成m（m≠0）。 学生6：为什么要标明m≠0？ 师：哪位同学知道为什么？ 学生7：如果m＝0，那么分母就为0，在小学我们就知道分母为0，分数无意义。 学生8：两个数字相乘，是否可以省略乘号？ 师：哪位同学可以回答这个问题？ 学生9：不能，比如23×5，如果省略乘号，就成了235。 学生8：如果用“·”符号呢？ 学生10：也不行，就以上面的例子，就成了23·5，很容易与小数点混淆。 59 / 148

师：这两位同学说得很好，数字与数字相乘，一般仍用“×”，否则容易混淆。 （二）列代数式 活动：参照例题，学生小组讨论解决。 例题：用代数式表示： （1）a的3倍与b的一半的差； （2）a与b两数和的平方； （3）把a本书分给若干名学生，若每人5本，尚余3本，求学生数； （4）一项工程，甲队单独完成需a天，乙队单独完成需b天，如果两队合作，需多少天完成？ 学生先思考，再叫同学板演。 11解：（1）3a－2b；（2）(a＋b)2；（3）(a－3)÷5；（4）2(a＋b). （三）用文字语言解释一些简单代数式 1．活动：议一议（小组讨论）。 说出下列代数式的意义： （1）圆珠笔每支售价a元，练习本每本售价b元，那么3a＋4b表示什么？ （2）长方形的长、宽分别为a，b，那么a(b＋1)表示什么？ （学生口答） 解： （1）3支圆珠笔与4本练习本的价格。 （2）长为a，宽为b＋1的长方形的面积。 教师总结：说代数式的意义时注意： （1）要结合实际； （2）先说括号里面的； （3）乘方、乘除、加减与运算顺序一致。 2．活动：探索规律 用棋子按下面的方式摆出正方形。 ①按图示规律填写下表： 60 / 148

图形编号 棋子个数 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②按照这种方式摆下去，摆第（n）个正方形需要多少个棋子？ 点拨：如图，第（2）个图中棋子的个数比第一个多4个，第（3）个图中棋子的个数比第二个也多4个，所以可知第（n）个图形的棋子数应为4n。 三、巩固训练 课本练习。 四、本课小结 通过这节课的学习，我们接触了一个新概念——代数式，它是今后学习代数知识的起点，表示代数式有几个注意事项，你还记得吗？ 61 / 148

代数式

【教学内容】

代数式——代数式的值

【教学目标】

一、会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法。 二、能理解代数式值的实际意义。

【教学重难点】

一、理解代数式的值的概念，并会正确求代数式的值。 二、理解代数式中字母的取值应符合实际意义。

【教学过程】

一、导入新课

请四位同学到黑板前面来做一个传数游戏，第一个同学任意报一个数给第二个同学，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学把听到的数减去1报出答案。如果第一个同学报给第二个同学的数是5，第四个同学报出的答案是35，这个结果对吗？

学生活动1：邻桌四人互相做传数游戏，验证结果。 学生1：结果是对的。

师：如果已知第一个同学报给第二个同学的数，你如何最快得出答案？ 学生活动2：邻桌四人另外换一个数互相做传数游戏，讨论结果，发现规律。 学生2：因为传数程序如下： x→x＋1→(x＋1)2→(x＋1)2－1→？

可用第一个同学报给第二个同学的数代替最后一个式子(x＋1)2－1中的字母x，然后算出结果。

师：由此得出什么结论？

学生3：x取不同的值，代数式(x＋1)2－1的计算结果也不同。 师：这就是我们这一节将要学习的代数式的值。（板书课题） 二、推进新课

（一）代数式的值

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1．问题：谁能根据自己的理解说明什么叫代数式的值？ （学生互相讨论后再回答） 教师归纳：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 2．问题：由定义看，代数式的值与什么有关？ 学生思考很容易得出：与代数式中字母的取值有关。 3．问题：在今后解决问题的过程中，往往需要根据代数式中字母的取值来确定代数式的值，你能根据代数式的值的概念找出求代数式的值的方法吗？ 学生积极思考，合作交流，找出方法：一是代入，二是计算。 （二）范例学习 1．例：某堤坝的横截面是梯形（如图），测得梯形上底a＝18m，下底b＝36m，高h＝20m，求这个截面的面积。 要求学生认真审题。在学生独立完成的基础上，再以小组为单位组内互相交流所得结果，教师参与指导，注意发现问题及时纠正。 解：梯形的面积公式是 1S＝2(a＋b)h。 将a＝18m，b＝36m，h＝20m代入上面公式，得 1S＝2(a＋b)h 1＝2×(18＋36)×20 ＝540（m2）。 答：堤坝的横截面面积是540m2。 2．例： b（1）当a＝4，b＝12时，求代数式a2－a的值。 （2）当x＝3时，求代数式x2＋5x＋1的值。 3．教学策略：学生活动，教师巡视，注意纠正学生计算和书写中的问题，如： 63 / 148

（1）要指明字母的取值， （2）代入数值后“×”要添上， （3）要按照代数式指明的运算顺序进行计算。找一个学生口述，教师板书。 4．解： b12（1）当a＝4，b＝12时，a2－a＝42－4＝16－3＝13； （2）当x＝3时，x2＋5x＋1＝32＋5×3＋1＝9＋15＋1＝25。 （三）自主探究 一辆卡车在行驶时平均每小时耗油8L，行驶前油箱中有油80L。 1．用代数式表示行驶x h后，油箱中的剩余油量Q＝________； 2．计算行驶2h，5h，8h后油箱中的剩余油量； 3．这里，能求x＝12h时剩余油量Q的值吗？ 要求学生先认真审题，自主探究。在学生独立完成的基础上，再以小组为单位组内互相交流所得结果，教师参与指导，注意发现问题及时纠正。 解： 1．80－8x 2．当x＝2h时，Q＝80－8x＝80－8×2＝64； 当x＝5h时，Q＝80－8x＝80－8×5＝40； 当x＝8h时，Q＝80－8x＝80－8×8＝16。 3．当x＝10h时，Q＝80－8x＝80－8×10＝0，说明行驶10h后，油箱中没有油了，不能行驶了。 特别提示：代数式里的字母可以取不同的数值，但是在实际问题中要保证代数式有意义。 三、本课小结 （一）用________代替代数式里的________，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做________。 （二）求代数式的值的方法：先________，后________，运算时要注意运算顺序。 64 / 148

整式加减

【教学内容】

整式加减——去括号、添括号

【教学目标】

一、通过运用分配律，总结出去括号法则和添括号法则。 二、应用去括号法则，能按要求去括号。 三、应用添括号法则，能按要求正确添括号。

【教学重难点】

一、理解去括号法则及其应用。 二、括号前是“－”号的去括号法则。

【教学过程】

一、导入新课

周三下午，校图书馆内起初有a名同学，后来某年级组织学生阅读，第一批来了b位同学，第二批来了c位同学，则图书馆内一共有________位同学。

学生从不同角度寻求解决问题的办法，有两种答案：①a＋（b＋c）；②a＋b＋c

（一）讨论

1．以上两式之间有什么联系和区别？

学生答：联系：它们相等；区别：①式有括号，②式没有括号。 2．从①式到②式你能给它起个名字吗？从②式到①式呢？ 学生口答，从而引入本节课题——去括号、添括号。（板书课题） 二、推进新课

（一）去括号法则1

1．问题1：在上述问题中，两个答案是表示同一事物的结果，你认为它们相等吗？

从以上所得的结果，我们可以得到：a＋（b＋c）= a＋b＋c，把该等式记为①。

2．问题2：这个等式①大家熟悉吗？

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学生答：这个是加法结合律。

3．问题3：观察等式①的左右两边，有什么规律？

教学策略：教师可提醒学生观察各项符号的变化和括号的变化。 4．问题4：你能用自己的语言来描述去括号法则吗？

学生回答，教师归纳，得去括号法则1：如果括号前面是“＋”号，去括号时括号内的各项都不改变符号。

（二）去括号法则2

1．问题5：若图书馆内原有a位同学，后来有些同学因上课要离开，第一批走了b位同学，第二批又走了c位同学，你能用两种方式写出图书馆内剩下的同学数吗？（发挥定势思维的优势又可以得到：a－（b＋c）=a－b－c，把该等式记为②）

2．问题6：观察等式②中，等号左边的多项式为什么会等于等号右边的多项式，这其中有没有什么规律？如果有，又是怎样的规律呢？

师：下面我们利用乘法对加法的分配律来验证②的正确性，下面请同学计算：a＋（－1）（b＋c）。

生：a＋（－1）（b＋c）=a＋（－1）b＋（－1）c＝a－b－c

因为a＋（－1）（b＋c）可以表示为a－（b＋c），所以a－（b＋c）＝a＋（－1）（b＋c）＝a－b－c，即a－（b＋c）＝a－b－c。

3．问题7：你能用自己的语言来描述去括号法则吗？

学生回答，教师归纳，得去括号法则2：如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的各项都改变符号。

（三）例题分析

例题：先去括号，再合并同类项： （1）8a＋2b＋（5a－b）； （2）a＋（5a－3b）－2（a－2b）

教学策略：上述例题的解决，先让学生独立思考后，再适当交流，并板演。解：（1）8a＋2b＋（5a－b） =8a＋2b＋5a－b =（8a＋5a）＋（2b－b） =13a＋b

（2）a＋（5a－3b）－2（a－2b）

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=a＋5a－3b－2a＋4b

=（a＋5a－2a）＋（－3b＋4b） =4a＋b

（四）添括号法则 问题8：去括号： （1）＋（a＋b－c）； （2）－（a＋b－c） 学生口答：

（1）＋（a＋b－c）=a＋b－c； （2）－（a＋b－c）=－a－b＋c 反过来则有：

（1）a＋b－c=＋（a＋b－c）； （2）－a－b＋c=－（a＋b－c） 从中你发现了什么规律？

教学策略：让学生探讨交流，然后类比去括号法则得出：添括号法则。 a．所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号； b．所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号。 （五）巩固训练 1．课本练习

2．下列去括号正确的是（ ）。 A．3m2－（n－p＋q）=3m2－n＋p＋q B．＋（－x＋y）－（z－1）=x＋y－z＋1 C．5a2－2（b2－2c2）=5a2－2b2＋2c2 D．2s－[5t－（3p－q）]=2s－5t＋3p－q 3．下列添括号错误的是（ ）。 A．3x＋2x2－y2=3x＋（2x2－y2）

B．－x2＋4xy－4y2＋9=9－（x2－4xy＋y2） C．－x2－x＋6=－（x2＋x－6）

D．（a－2b＋c）（a－2b－c）=[a－（2b－c）][a－（2b＋c）] 三、本课小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？

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整式加减

【教学内容】 整式加减——整式加减 【教学目标】 一、理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项。 二、在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤。三、能够正确地进行整式的加减运算。 【教学重难点】 一、会正确地进行整式的加减运算。 二、理解整式的加减实质，体会整式加减的必要性。 【教学过程】 一、导入新课 七年级（一）班分成三个小组，利用星期日参加社会公益活动。第一组有学生m名；第二组的学生人数比第一组学生人数的2倍少10；第三组的学生人数是第二组的一半。七年级（一）班共有学生多少名？ 师问：七年级（一）班的学生总数是三个小组学生人数的和，大家一起说一下三个小组分别有多少人？ 1生答：分别为m，2m－10，和2（2m－10） （一）引导学生活动： 11．让学生在练习本上列出求学生总数的式子，即m+（2m－10）+2（2m－10）； 2．对该式进行化简得出班级的具体人数．给出准确答案，让同学们互相更 正。（学生回答时，教师用彩笔把运算符号写在胶片上显示出来，以引起注意。）（二）师提出问题：上述式子中，每个括号内的式子是什么式子？（整式）从而引出课题——整式加减，并板书课题。 二、推进新课 （一）整式的和差 68 / 148

1．问题1：求整式4－5x2+3x与－2x+7x2－3的差

学生活动：在练习本（或投影胶片）上用数学式子表示出来，然后用投影仪显示出部分胶片来，正确的师生给予掌声，不对的则由自己或他人找出错在何处，并及时改正。（师做相应的板书）

学生活动：学生在练习本上接着计算（或在投影胶片上计算），一个学生接着老师板书继续完成以下过程．把不同层次学生的胶片显示在投影上，教师给予肯定或纠正。

解：（4－5x2+3x）－（－2x+7x2－3） =4－5x2+3x+2x－7x2+3

=（－5x2－7x2）+（3x+2x）+（3+4） =－12x2+5x+7

师提问题：在这几个整式相加时，为什么2a2+ab+3b2与a2－2ab+b2要加上括号（学生讨论后回答，教师做必要的强调）

注意：运算结果，常将多项式按某个字母（如x）的次数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫做关于这个字母（如x）的降幂（升幂）排列。如上面问题的结果为－12x2＋5x＋7，就是按x的降幂排列的。

2．问题2：

（1）说出下列单项式的和（口答）。 a．－3x；－2x；－5x2；5x2； b．－2n；3n2；－5n2

（2）写出下列第一个式子减去第二个式子的差 a．3ab，－2ab； b．－4x2，3x； c．－5ax2，－4x2a

学生活动：（1）题学生在练习本上完成后口答，（2）题直接观察回答（先答所列式子，再回答结果。）

（二）整式加减

问题3：计算：2b3+（3ab2－a2b）－2（ab2+b3）

师提出问题：通过上面的学习，你发现进行整式的加减运算一般分几步？ 学生活动：小组讨论，互相叙述，待讨论结果认为合理后，让学生举手回答。教师做简要归纳后，板书内容。

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解：2b3+（3ab2－a2b）－2（ab2+b3） =2b3+3ab2－a2b－2ab2－2b3 =（2b3－2b3）+（3ab2－2ab2）－a2b =ab2－a2b

总结：整式的加减的步骤，一般分为：去括号；合并同类项。 （三）例题分析 例题：先化简，再求值：

5a2－[a2－（2a－5a2）－2（a2－3a）]，a=4

教学策略：上述例题的解决，先让学生独立思考后，再适当交流，并板演。解：5a2－[a2－（2a－5a2）－2（a2－3a）] ＝5a2－（a2－2a+5a2－2a2+6a） ＝5a2－（4a2+4a） ＝5a2－4a2－4a ＝a2－4a 当a＝4时，

4＝0 原式＝a2－4a＝42－4×特别强调：先化简，再求值 （四）巩固训练 1．课本练习

2．已知A＝2x2+xy+3y2与B＝x2－xy+2y2，求： （1）A－B；（2）A+B的值。三、本课小结

本节课我们学习了整式加减，下面我们一起来回顾一下：（出示课件）（学生填空）

（一）整式加减的实质是________；

（二）整式加减的步骤，一般分为________； （三）整式加减的结果是________或________；

（四）举例说明关于字母y的降幂（升幂）排列：________。

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整式加减 【教学内容】 整式加减——合并同类项 【教学目标】 一、通过对具体情境中的问题的分析，探索同一个量的不同表现形式，体会合并同类项的合理性和可行性。 二、能运用分配律说明合并同类项的法则的正确性。 三、能熟练运用合并同类项的法则，化简多项式并求值。 【教学重难点】 理解同类项的概念，会正确合并同类项。 【教学过程】 （一）导入新课 有理数可以进行加减计算，那么整式是否可以进行加减运算呢？又怎样化简呢？这就是我们今天要学习的内容：合并同类项。（板书课题） （二）推进新课 1．同类项 （1）问题1：你能将下列水果分类吗？ 这个问题是不是很简单，那么再来看下面的问题。 （2）问题2：你能将下列单项式分类吗？ 222－7ab；8n；－4；2ab；6xy；5n；3；－3yx 学生讨论回答，分类情况可能很多，继续提问：如果要分成四类又该怎么分？ 222学生思考得出：－7ab和2ab；8n和5n；6xy和－3yx，－4和3。 师：试比较各组中的单项式有什么特点？ 71 / 148

生：它们都是只有系数不同，而所含字母及相同字母的次数都相同。 由此可得同类项的定义，老师总结并板书。

像4a3与3a3，a2b与2a2b这样，所含字母都相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。

注意：几个常数项也是同类项． （3）问题3：练一练

判断下列各组中的两项是不是同类项？说明理由。 a．0.2x2y与2x2y； b．4abc与4ac； c．2m2n与2mn2； d．－125与12； e．4xy与5yx

注意：同类项与系数无关，与字母的顺序无关。 2．合并同类项

（1）问题1：两个苹果加三个苹果等于几个苹果？一个梨子加两个梨子等于几个梨子？（课件出示实物演示）结合上面的实例，把一个苹果看作a，把一个梨子看作b2，试一试，2a+3a=？，b2+2b2=？

根据乘法分配律，也可以得到： 4a3+3a3=(4＋3)a3=7a3； a2b+2a2b=(1＋2)a2b=3a2b

结论：多项式中的同类项可以合并。 （2）问题2：请同学们思考下列问题。

a．在多项式中，某两项具有什么特点时可以合并成一项？合并前后的系数有什么关系？字母和它的指数有无变化？

b．把具有以上特点的两项合并成一项时，我们实际上用了什么运算律？ 结论：把多项式中几个同类项合并成一项的过程，叫做合并同类项。合并同 类项的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的次数不变。

3．例题分析

（1）例1：合并下式中的同类项 4a2+3b2－2ab－3a2+b2

教学策略：上述例题的解决，先让学生独立思考后，再适当交流，并板演。

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解：4a2+3b2－2ab－3a2+b2 =(4a2－3a2)+(3b2+b2)－2ab =(4－3)a2+(3＋1)b2－2ab =a2+4b2－2ab。 1112（2）例2：求多项式4x－3x+5－3x+3x－5的值，其中x=－2 2要求先找到多项式中的同类项，根据合并同类项法则，先合并同类项，再代入x=－12计算。（学生板演，注意及时纠正解题格式） 解：4x2－13x+5－3x2+13x－5 =（4－3）x2+11－3＋3x+（5－5） =x2 当x=－12时， 原式=x2=1－22=14。 特别提醒：遇到求值问题： a．一定先化简再求值； b．当同类项的系数互为相反数时，合并后的结果为0。 4．巩固训练 （1）课本练习 （2）如果两个单项式是同类项，那么下列说法中正确的是（ ）。A．只有所含的字母相同 B．只有它们所含字母的个数相同 C．只有它们的系数相同 D．所含字母相同且相同字母的次数也相同 （三）本课小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？存在哪些困惑？ 73 / 148

一元一次方程及其解法

【课时安排】

2课时

【第一课时】 【教学目标】

一、理解一元一次方程的概念。

二、掌握等式的基本性质，并会灵活运用等式的性质解一元一次方程。 三、体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系。

【教学重难点】

一、理解一元一次方程的概念。 二、掌握等式的基本性质。

三、灵活运用等式的性质解一元一次方程。

【教学过程】

一、导入新课

上一章我们学习了整式的加减，从本节课开始我们一起来学习一次方程与方程组，首先让我们来认识一下：一元一次方程（板书课题） 二、推进新课

（一）问题1：在参加2008年北京奥运会的中国代表队中，羽毛球运动员有19人，比跳水运动员的2倍少1人。参加奥运会的跳水运动员有多少人？

2当然上分析：此题可能有学生在小学的基础上列出算式得出，如(19＋1)÷述学生比较少，因为这个算式的建立是不容易的。这样大部分学生的方法是用在小学学过的简易方程，他们也会设出x，建立方程。

解：设跳水运动员有x人，则依据题意，得2x－1=19 注意：此处为了不分散主题，暂不分析这个方程得来的思路。

（二）问题2：王玲今年12岁，王玲的爸爸今年36岁，问再过几年，她爸爸的年龄是她年龄的2倍？

分析：一般情况下，我们是问什么设什么，我们这儿设过x年后她爸爸的年

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龄是她年龄的2倍。这样用这儿的两倍关系建立等式，即x年后她爸爸的年龄=x2。 年后王玲的年龄×解：设过x年后她爸爸的年龄是她年龄的2倍，则依题意，得： 36＋x=2(12＋x) 教学策略：此处父女两人x年后的年龄可以请学生表示出来，以加强互动。（三）一元一次方程 观察以上两个方程，找出其特点： 1．有几个未知数？ 2．未知数的次数是几？ 教师在学生回答的基础上，归纳一元一次方程的概念：只含有一个未知数 （元），并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程。回顾一元一次方程的解：使得一元一次方程两边都相等的未知数的值叫做方程的解；一元方程的解，也可叫做方程的根。 （四）等式性质 为了能对方程进行求解，我们必须有依据，什么是依据呢？这就是等式的性质。（方程是一个等式） 等式的性质： （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即： 如果a=b，那么a＋c=b＋c，a－c=b－c。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0）所得结果仍是等式。即： ab如果a＝b，那么ac=bc，c=c（c≠0）。 （3）（对称性）如果a=b，那么b=a。 （4）（传递性）如果a=b，b=c，那么a=c。 （五）等式性质的应用 例题：利用等式的基本性质解方程：2x－4=18 分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？”，因此我们需要把方程转化为“x=a”（a为常数）的形式。 问题：怎样才能把方程2x－4=18转化为x=a的形式？（学生回答，教师板书） 75 / 148

解：两边都加上4（等式性质1），得： 2x=18＋4； 即2x=22。 两边都除以2，得： x=11。（等式性质2） 检验：把x=11分别代入原方程两边，得： 11－4=18； 左边=2×右边=18； 即左边=右边； 所以x=11是原方程的解。 （六）巩固训练 1．下列各式是一元一次方程的是（ ）。 1A．x＋3y=4；B．x－2x=6；C．－6x=0；D．x－1=x 22．课本练习 三、本课小结 本节课我们学习了一元一次方程的概念，知道了什么是一元一次方程，它需要两个基本条件：一是只含一个未知数，二是未知数的次数只能是一次．同时我们学习了解方程的依据，即等式性质，这个性质中，我们要特别注意第二条，同除的数不可以是0，三是我们学会了利用等式性质对方程进行求解。同学们还有什么困惑吗？ 【第二课时】 【教学目标】 一、灵活掌握解一元一次方程的一般步骤。 二、通过对解一元一次方程的步骤的归纳，培养学生灵活解决数学问题的能力。【教学重难点】 一、会熟练地求出一元一次方程的解。 二、理解一元一次方程解法的每一步的依据。 【教学过程】 一、导入新课 76 / 148

想一想：图中两架天平平衡，请算出一个香蕉的质量。如果设一个香蕉的质量为x g，你会根据题意列出方程吗？

学生交流思考：200＋3x=440

同学们已学会了用等式的性质解简单的一元一次方程，你会解此方程吗？（学生独立快速解出结果）对于复杂的方程应怎样求解呢？ 二、推进新课

（一）解一元一次方程——移项、合并同类项

1．问题1：用等式的性质解方程：2x－4=17（学生独立快速解出结果） 2x－4=17 ① 2x=17＋4 ②

学生观察：①，②这两步其实只相差一个数的变化，－4从左边到了右边后变成了＋4。

教师总结：根据等式性质1的变形，其实就是把方程的一项改变符号，从一边移到另一边，这种变形我们把它叫做移项。

提问：把方程的一项从一边移到另一边需要把这项的________改变。（符号）2．问题2：例1：解方程：3x＋5=5x－7

解：移项，得3x－5x＝－7－5（我们把未知项放在一边，把已知项放在另一边，以便求解，而且习惯上是未知项放在左边）

合并同类项，得－2x=－12； 两边都除以－2，得x=6。 （二）解一元一次方程——去括号

问题3：例2：解方程：2（x－2）－3（4x－1）=9（1－x） 解：去括号，得2x－4－12x＋3=9－9x； 移项，得2x－12＋9x=9＋4－3； 合并同类项，得－x=10； 两边同除以－1，得x=－10。

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注意： （1）方程中有带括号的式子时，根据乘法分配律和去括号法则化简。 （2）去括号时不要漏乘括号内的任何一项。 （3）若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号。 （4）－x＝10不是方程的解，必须把x的系数化为1，才算完成解方程的过程。 （三）解一元一次方程——去分母 3x＋13x－22x＋3问题4：例3：解方程：2－2=10－5 思考： （1）为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？ （2）在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？ 3x＋13x－22x＋3解：2－2=10－5。 去分母（方程两边同乘以各分母的最小公倍数），得5（3x＋1）－20=（3x－2）－2（2x＋3）； 去括号，得15x＋5－20=3x－2－4x－6； 移项，得15x－3x＋4x=－2－6－5＋20； 合并同类项，得16x=7； 7系数化为1，得x=16。 解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解过程中每一步的主要依据。解方程就是要求出其中未知数的值，通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的性质和运算律等。 三、本课小结 （一）本节课你学习了什么？ 一元一次方程解法的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 （二）本节课应该注意什么问题？ 1．去分母时，不要漏乘不含分母的项，分子是多项式时去掉分母要加括号； 2．去括号时，不要漏乘括号内的任何一项，若括号前面是“－”号，记住去括号后括号内各项都变号； 78 / 148

3．移项要变号。 四、补充内容 （一）关于一元一次方程 1．一元一次方程的标准形式：ax＋b=0（a≠0），一元一次方程的最简形式：ax=b（a≠0），在解方程时，总是将方程化为最简形式，然后化系数为1。 2．一般地，如果不设定a≠0，则关于x的方程ax=b的解有如下的讨论。 b当a≠0时，方程有唯一解x=a； 当a=0，b=0时，方程的解有无数个； 当a=0，b≠0时，方程无解。 a；当a<0时，无解。 关于绝对值方程|x|=a的解：当a≥0时，x=±（二）构造一元一次方程解题七法 一元一次方程是七年级教材的重点内容之一，是学习其他方程或方程组的“基石”，构造一元一次方程可解决许多问题，其构造方法主要有以下七种： 1．根据一元一次方程的定义构造 例：当m=________时，5x6－4m－3=0是关于x的一元一次方程。 5解析：由一元一次方程的定义，可知6－4m=1，解得m=4。 5答案：4。 2．根据代数式的值相等构造 例：当x=________时，代数式5x＋10与4x＋14的值相等。 解析：由题意，得5x＋10=4x＋14； 解得x=4。 答案：4。 3．根据同类项定义构造 例：当n为________时，3x2n－1与－xn＋2是同类项。 解析：由同类项定义，得2n－1=n＋2； 解得n=3。 答案：3。 4．根据相反数概念构造 例：如果2（x＋3）的值与3（1－x）的值互为相反数，那么x等于（ ）。A．－8；B．8；C．－9；D．9 79 / 148

解析：和为0的两个数互为相反数，即2（x＋3）＋3（1－x）=0，解得x=9，故选D。 答案：D。 5．根据倒数概念构造 1例：当x=________时，代数式2x－5与3互为倒数。 1解析：积为1的两个数互为倒数，即3（2x－5）=1，解得x=4。 答案：4。 6．根据方程的解或同解构造 （1）例：若x=－2是方程ax－6=15＋a的解，则a＝________。 解析：将x=－2代入原方程，得－2a－6=15＋a，解得a=－7。 答案：－7。 m＋x（2）例：方程2x－1=3与方程2=2的解相同，则m=________。 m＋x解析：由方程2x－1=3，解得x=2，因为两方程的解相同，可将x=2代入2=2，解得m=2。 答案：2。 7．根据非负性构造 例：若|2a－1|＋（b＋2）2=0，则方程ax－b=1的解为________。 解析：因为|2a－1|，（b＋2）2都是非负数，且它们的和为0，则意味着2a－111=0，b＋2=0，解得a=2，b=－2，将其代入方程，得2x＋2＝1，解得x=－2。 答案：x=－2。 80 / 148

一元一次方程的应用

【课时安排】

2课时

【第一课时】 【教学目标】

一、会用一元一次方程解决关于几何图形、行程的实际问题。 二、掌握列方程解应用题的一般步骤。

三、体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立等量关系。

【教学重难点】

一、理解列方程解应用题的一般步骤。

二、会从实际情境中建立等量关系，列一元一次方程解决关于几何图形及行程的实际问题。

【教学过程】

一、导入新课

请同学们思考：我们学习解一元一次方程的目的是什么？（我们学习解方程的目的是为了应用）这一节我们就来学习用一元一次方程解决实际问题。（板书课题） 二、推进新课

（一）问题1：列方程解应用题

1．例1：用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别是300mm，300mm和90mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1mm）？

分析：如下图（课件展示）： 观察下图：

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思考：题目中隐藏着怎样的相等关系（等量关系）？ 学生独立思考，再小组讨论找出题目中的相等关系，根据所设未知数列出方程。（课件展示） 解：设应截取的圆柱体钢长为x mm。 20022x=300×300×90； 根据题意，得3.14×解得x≈258。 答：应截取约258mm长的圆柱体钢。 （二）问题2：行程问题中“速度（v）、时间（t）与路程（s）”这三者之间的数量关系是什么？ 学生讨论回答： 1．路程=速度×时间（s=vt）； s2．速度=路程÷时间v＝t； s3．时间=路程÷速度t＝v。 （三）问题3：汽车从甲地到乙地，如果每小时行驶45千米，那么要迟到30分钟；如果每小时行驶50千米，则可早到30分钟。求原计划行驶的时间和甲、乙两地的路程。 分析： 1．汽车两次所行驶的路程是否相同？（相同） 2．迟到的意思指什么？（就是比原时间多了） 82 / 148

3．而早到的意思指什么？（就是比原时间少了） 学生尝试：自己列表寻找等量关系，若设原计划行驶的时间为x小时，则两次的行驶时间分别表示为（x＋0.5）小时和（x－0.5）小时， 方案1 方案2 时间 路程 速度（千米/时）（小时）（千米）45 50 x+0.5 x－0.5 45（x+0.5） 50（x－0.5） 依题意，得45（x+0.5）=50（x－0.5）； 解得x=9.5，所以甲、乙两地的路程为45（x+0.5）=45（9.5+0.5）=450（千米）。 教学策略：通过这一例题的解答，学生在行程问题中对路程的等量关系有了进一步的认识。根据题意可以先求出一个问题的答案，而后再代入式子去求出另一问题的答案。 （四）问题4：交流总结 通过例题的学习，你能总结列方程解应用题的一般步骤吗？（课件展示） 1．弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题里的未知数； 2．分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）； 3．根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程； 4．解这个方程，求出未知数的值； 5．检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称） 。三、本课小结 本节课我们学习了什么？同学们还有什么困惑吗？ 【第二课时】 【教学目标】 一、会列一元一次方程解决关于利率（润）的问题。 二、通过列一元一次方程解决应用题，培养学生灵活解决数学问题的能力。 【教学重难点】 理解列一元一次方程解应用题的一般步骤，并会灵活运用列方程解决实际问题。 【教学过程】 83 / 148

一、导入新课

上一节我们学习了列一元一次方程解行程问题，这一节我们来进一步学习用一元一次方程解决——利率（润）问题（板书课题）。 二、推进新课

（一）问题1：小明把压岁钱按定期一年存入银行，当时一年期定期存款的年利率为3.25%，到期支取时，小明实得本利和为516.25元，问小明存入银行的压岁钱有多少元？

分析：

1．本题中涉及的数量关系有： （1）本金×利率=利息； （2）本金+利息=实得本利和。

2．你如何读题？最令你注意的是题中的哪些词？

学生讨论回答：关键词：年利率3.25%，实得本利和516.25元。 教学策略：学生口述，教师板书解题过程。 （二）问题2：例题分析

1．例1：某农户把手头的一笔钱买了年利率为2.89%的3年期某债券。如果他想3年后得到本息和共2万元，现在应买这种债券多少元？

分析：

（1）本题中涉及的数量关系有： a．本金×利率×期数=利息； b．本金+利息=本息和。

（2）你如何读题？最令你注意的是题中的哪些词？

学生讨论回答：关键词：年利率2.89%、3年期、本息和20000元。 学生尝试自己寻找等量关系，设未知数，列方程求解。

2.89%x元，由本金解：设该农户买这种债券为x元，所以3年的利息为3×＋利息＝本息和，可得方程：

x+3×2.89%x=20000，解得x≈18405。 答：该农户现在应买这种债券18405元。

教学说明：通过对上面例题的解答，学生在利率问题中对利率的一些等量关系有了进一步的认识。只要根据题意找出数量关系和关键词，设出未知数列出方程即可迎刃而解。

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2．例2：一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元。问这种书包每个进价多少？ 分析： （1）本题中涉及的数量关系有： 实际售价－成本（或进价）=利润。 （2）你应注意本题中的哪些词？ 学生讨论回答：关键词：盈利8.50元，进价提高30%作为标价，按标价的9折出售。 教学策略：学生口述，教师板书解题过程。 解：设这种书包每个进价为x元，那么这种书包的标价为（1+30%）x，对9它打9折得实际售价为10×（1＋30%）x。根据题意，得： 9(1+30%)x－x=8.50； 10×解这个方程，得x=50。 答：这种书包每个进价为50元。 （三）巩固训练 1．课本练习。 2．根据利率问题自己编一道应用题（四人小组合作编制一题，一人执笔，讨论完成，完成后上台投影并讲解）。 三、本课小结 （一）本节课你学到了什么？还有什么问题？ （二）归纳： 1．利率问题的基本数量关系： （1）本金×利率=利息； （2）本金+利息=实得本利和； （3）本金×利率×期数=利息； （4）本金+利息=本息和。 2．分析方法：找关键词。 85 / 148

二元一次方程组及其解法

【课时安排】

3课时

【第一课时】 【教学目标】

一、知识与技能

理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。 二、过程与方法

经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程，感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用。 三、情感、态度与价值观

学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受学习数学的乐趣。

【教学重难点】

重点：理解二元一次方程组的解的意义。 难点：求二元一次方程的正整数解。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

（一）古老的“鸡兔同笼”问题：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡、兔各几何？” 教师描述：

这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题。它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣。怎样来解答这个问题呢？

学生思考并自行解答，教师巡视。最后，在学生动手动脑的基础上，集体讨论并给出各个解决方案。

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（二）教师展示幻灯片：

方法1：算筹解法。（孙子算经，用算筹研究代数。） 方法2：图形解法。（尚不成熟的符号语言，但很直观。） 方法3：算术解法。 兔数：(94÷2)－35=12 鸡数：35－12=23

方法4：一元一次方程的解法。

解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，则可列方程： 2x+4(35－x)=94； 解得：x=23。

则鸡有23只，兔有12只。 请同学们自己思考。

教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么？“次”是指什么？

二、尝试活动，探索新知

（一）讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念。 1．教师提问：

上面的问题可以用一元一次方程来解，那么还有其他方法吗？ 方法6：设有x只鸡，y只兔，依题意得： x+y=35 ① 2x+4y=94 ②

针对学生列出的这两个方程，教师提出如下问题： （1）你能给这两个方程起个名字吗？ （2）为什么叫二元一次方程呢？ （3）什么样的方程叫二元一次方程呢？ 2．教师结合学生的回答，板书定义1：

含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程。 同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念。

3．教师追问：

在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程。把①、②两

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个二元一次方程结合在一起，用大括号来连接。我们也给它起个名字，叫什么呢？ 4．学生思考，教师板书定义2： 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 （二）讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念。 1．探究活动：满足x+y=35，且符合问题的实际意义的值有哪些？请填入表中。 x y 教师启发： （1）若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值？ （2）你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗？ （3）它与一元一次方程的解有什么区别？ 2．教师板书定义3： 使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 教师提问： 那么什么是二元一次方程组的解呢？ 学生讨论达成共识： 二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程。即：既是方程①的解，又是方程②的解。 3．教师板书定义4： 二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。 注意： 二元一次方程组的解是成对出现的，用大括号来连接，表示“且”。 4．请同学们议一议： 将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢？ 学生通过对比，体验到从算术方法到代数方法是一种进步。当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担。 三、巩固练习 （一）根据下列语句，列出二元一次方程： 88 / 148

1．甲数的一半与乙数的3倍的和为11； 2．甲数和乙数的2倍的差为17。

（二）方程x+2y=7在自然数范围内的解（ ） A．有无数组 B．有两组 C．有三组 D．有四组

（三）若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程，那么（ ） A．m≠0 B．m=0

C．m是正有理数 D．m是负有理数 四、课堂小结

本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？（什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？）

【第二课时】 【教学目标】

一、知识与技能

（一）用代入法解二元一次方程组。

（二）了解二元一次方程组时的“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想。

（三）会用二元一次方程组解决实际问题。

（四）在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决实际问题的意识和能力。

（五）将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步培养解方程组的能力。 二、过程与方法

通过观察、验证、讨论、交流等学习方式经历代入消元的过程，深刻体会到转化的作用，发展学生的抽象思维能力，培养学生有条理的表达能力和与人交流的能力。

三、情感、态度与价值观

（一）了解二元一次方程组的“消元”思想、初步理解“化未知为已知”和复杂问题化为简单问题的思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心。

（二）培养学生合作交流、自主探索的良好习惯。

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（三）体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生应用数学的意识。

（四）在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重难点】

重点：用代入消元法解二元一次方程组。

难点：探索用代入消元法将“二元”转化为“一元”的消元过程。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师出示下列问题：

（一）问题：篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

（二）问题：在上述问题中，我们也可以设出两个未知数，列出二元一次方程组，那么怎样求解二元一次方程组呢？ 二、尝试活动，探索新知

（一）教师引导：

什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解） 学生列式计算后回答： 满足方程x+y=22①的解有： ……

满足方程2x+y=40②的解有： ……

这两个方程的公共解是： （二）教师追问：

这个问题能用一元一次方程来解决吗？ 学生思考并列出式子：

设胜x场，负(22－x)场，解方程：2x+(22－x)=40 ③ 学生观察并思考：

上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？

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（三）教师提问：

1．在一元一次方程的解法中，列方程时所用的等量关系是什么？ 2．方程组中方程②所表示的等量关系是什么？

3．方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？ 4．怎样使方程②变为只含有一个未知数呢？ 结合学生的回答，教师做出讲解：

由方程①进行移项得y=22－x，由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用(22－x)来代换，即得2x+(22－x)=40。这样，二元就化为一元了。

解得x=18。

问题解完了吗？怎样求y？

将x=18代入方程y=22－x，得y=4。

能代入原方程组中的方程①、②来求y吗？代入哪个方程更简便？ 这样，二元一次方程组的解就是 （四）教师归纳并板书：

这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法。 三、课堂小结

你从本节课的学习中体会到代入法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？让学生在互相交流的活动中完成本节课的小结，并能通过总结与归纳，更加清楚地理解代入消元法，体会代入消元法在解二元一次方程组的过程中反映出来的化归思想。

【第三课时】 【教学目标】

一、知识与技能

（一）掌握用加减消元法解二元一次方程组。

（二）使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法。 （三）体验数学学习的乐趣，在探索过程中体验成功的喜悦，增强学好数学的信心。 二、过程与方法

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（一）通过探索二元一次方程组的解法，了解二元一次方程组的“消元”思想，使学生养成良好的探索习惯。

（二）通过对具体实际问题的分析，组织学生自主交流、探索，经历列方程的建模过程，培养学生应用数学的意识。 三、情感、态度与价值观

（一）让学生在了解二元一次方程组的“消元”思想以及初步理解“化未知为已知”和“化复杂问题为简单问题”的化归思想的过程中，享受学好数学的乐趣，增强学好数学的信心。

（二）使学生养成合作交流、自主探索的良好习惯。

（三）体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生应用数学的意识。

（四）在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣。

【教学重难点】

重点：如何用加减法解二元一次方程组。 难点：如何运用加减法进行消元。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

教师提出问题：

王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨，共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁算得快。

教师总结最简便的方法：

抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元。 二、师生共析：

（一）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。 （二）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：

1．在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可

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以直接把两个方程的两边相减，消去这个未知数。

2．如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等，那么应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元。

3．对于较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、合并同类项等，通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边、常数项在方程的右边的形式），再作如上加减消元的考虑。 三、课堂小结

本节课我们主要学习了二元一次方程组的另一种解法——加减法。通过把方程组中的两个方程进行相加或相减，消去一个未知数，化“二元”为“一元”。请同学们回忆：加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么？用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

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二元一次方程组的应用

【课时安排】

2课时

【第一课时】 【教学目标】

1．会列二元一次方程组解决实际问题。

2．通过对列二元一次方程组解决应用题，培养学生灵活解决数学问题的能力。

【教学重难点】

1．理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤。 2．会灵活运用列方程组解决实际问题。

【教学过程】

一、导入新课

我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？学生积极回答：

（一）审题设未知数； （二）找相等关系； （三）列方程； （四）解方程； （五）检验，写出答案。

这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题（板书课题）。 二、推进新课

（一）问题：某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分。一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分。问该队胜几场，平几场？

分析题意（方法一）：

1．该队共进行比赛多少场，有没有输？（没有） 2．若假设胜了x场，则平多少场？（11－x）

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3．胜一场得3分，胜x场得了多少分？（3x） 4．平一场得1分，平局共得多少分？（11－x） 5．该队共得27分。

6．你找到等量关系了吗？（胜场得分＋平局得分＝总分） 通过以上分析你有信心独立列出方程吗？

解：设该队胜x场，则平了（11－x）场。由题意可得： 3x＋(11－x)＝27； 解得x＝8。 11－x＝11－8＝3； 答：该队胜8场，平3场。 分析题意（方法二）：

1．若假设胜利了x场，平局为y场，共进行11场比赛。你能找到它们三者之间的等量关系吗？（胜利场数＋平局场数＝总场数）

2．胜利一场得3分，胜利x场共得了3x分，平一场得1分，平局y场共得y分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？（胜利得分＋平局得分＝总分）

设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？ 解：设胜利x场，平局为y场，得方程组 x＋y＝11， 3x＋y＝27。

教学策略：学生独立求解，并与方法一的结果做比较，进一步体会列一次方程（组）解应用题的方法。

（二）问题：交流总结

由例题可知，有些题目既可以引入一个未知数，建立一元一次方程，也可以引入两个未知数，建立二元一次方程组。这两种方法各有什么特点？

（三）问题：一列火车长300米，某人和火车同向而行，则整列火车经过人身边需20秒。若相向而行，则整列火车经过人身边需15秒。求火车和人的速度。

分析：

1．同向时，火车所行路程比人要多出多少？（多出一个车身的长度） 2．相向时，火车与人共同行了多少？（一个车身的长度）

教学策略：为了便于学生理解，制作多媒体课件，把两者的运动通过动画展

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示给学生，引起他们的极大兴趣，加深印象。

小组讨论：题目中的相等关系：

同向时：火车行的路程－人行的路程＝车长 相向时：火车行的路程＋人行的路程＝车长

解：设火车行驶的速度为x米/秒，人行走的速度为y米/秒，根据题意，得： 20x－20y＝300，x＝17.5，解得 15x＋15y＝300，y＝2.5。

答：火车行驶的速度为17.5米/秒，人行走的速度为2.5米/秒。 （四）问题：巩固训练

1．甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发相向而行，一个半小时后两车相遇，相遇后甲车还需2小时到达B地，若A，B两地相距210千米，求两车的速度。

2．课本练习。 三、本课小结

本节课我们学习了什么？同学们还有什么困惑？

【第二课时】 【教学目标】

1．学会利用二元一次方程组解决简单的实际问题，会归纳列方程组解决实际问题的一般步骤。

2．通过解决实际问题的教学，掌握使用方程去反映现实世界中的等量关系的方法与思想，体会代数方法的优越性，再次感受二元一次方程组与现实生活的联系和作用。

【教学重难点】

以方程组为工具分析、解决含有多个未知数的实际问题是重点，根据题意找出等量关系是难点。

【教学过程】

一、导入新课

导入方式一：

前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程

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组。本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题。

（说明：开门见山，直接提出本节学习目标，强化本章的中心问题。） 导入方式二：

出示问题：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg。饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18～20kg，每只小牛1天约需饲料7～8kg。你能否通过计算检验他的估计？

（说明：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系。） 二、推进新课

（一）探索新知

活动1．探索分析，解决问题

学生思考、讨论，判断李大叔的估计是否正确的方法有两种：

（1）先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验。 （2）根据问题中给定的数量关系求出平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。

学生在比较探究后发现用方法（2）较简便。

（说明：引导学生探寻解题思路，并对各种方法进行比较，方法（1）主要是估算的运用，而方法（2）是方程思想的应用。）

设问：如果选择方法（2），如何计算平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料量？

（有前面几节的知识准备，学生可以回答） 列方程组求解。 主要思路：

学生先独立思考，然后师生共同讨论解题过程。

解：设平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg，根据题意可列方程组

30x＋15y＝675，① 42x＋20y＝940。②

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x＝20，

解这个方程组，得

y＝5。

（说明：规范解题步骤，培养学生有条理地思考、表达的习惯。） 这就是说，平均每只大牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg。饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确。

（说明：让学生认识到检验的重要性，并学会正确作答。） 归纳：

活动2．拓广探索，比较分析

设问：以上问题还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？ 个别学生可能会列出如下方程组： 30x＋15y＝675， 12x＋5y＝265。

但结果一致。（说明：比较分析，加深对方程组的认识。） 活动3．归纳总结

列二元一次方程组解应用题的步骤可归纳如下： （1）审题，弄清题意和题目中的数量关系；

（2）设未知数，用字母（如x，y）表示题目中的两个未知数，可以直接设，也可以间接设；

（3）找出能够表示实际问题全部含义的两个相等关系；

（4）根据这些相等关系列出需要的代数式，再列出方程并组成方程组； （5）解这个方程组，求出未知数的值；

（6）检验方程组的解，看所求得的解是否符合题意，不符合题意的解应该舍去；

（7）写出答语（包括单位名称）。 （二）应用新知

例2据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5。现要把一块长200m，宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物。怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4（结果取整

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数）？

1．探索分析，研究策略 如何解决这一实际问题呢？

学生自主探索，合作交流，整理思路：

（1）先明确有两种方法可分割长方形，即横向或纵向。 （2）确定分割线的位置，也就是确定面积比。 （3）面积比与总产量比及单位面积产量比之间有关。 （4）选取数学工具求解。

学生经讨论后发现列方程组求解较为方便。 2．合作交流，解决问题 总结学生的讨论结果：

种植方案一：如图，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和EBCF，设AE＝x m，EB＝y m，长方形土地的长为200m，所以x＋y＝200。①

总产量＝面积×单位面积产量。

设甲的单位面积产量为a，因为甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，所以乙的单位面积产量就是1.5a。

甲种作物的总产量为100xa，乙种作物的总产量为100y×1.5a，根据总产量比值是3∶4可以列出第二个方程(100xa)∶(100y×1.5a)＝3∶4。②

将①②两个方程联立就可以得到方程组 x＋y＝200，

1.5a)＝3∶4。(100xa)∶(100y×

①②

将方程②化简，得2x∶3y＝3∶4。 所以8x＝9y。③ 由①，得y＝200－x。④

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将④代入③，得8x＝9(200－x)。 1800所以x＝17≈106。 把x＝106代入④，得y＝200－106＝94。 所以这种种植方案为：过长方形土地长边上离一端约106m处，把这块地分为两个长方形，较大一块地种甲种作物，较小一块地种乙种作物。 你能求出第二种种植方案吗？试试看。 （具体过程由学生写出。） （三）拓展提升 1．学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个。如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法。 按以下步骤展开问题的讨论： （1）学生独立思考，选择数学模型。 （2）小组讨论达成共识，形成解题思路。 （3）学生板书交流。 （4）对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果。 2．引申问题 （1）如果用1个盒身和1个盒底做成无盖的纸盒，这20张白卡纸如何分法才能使做成的盒身和盒底正好配套？ （2）针对这一问题背景，你能提出一个探索性问题吗？ （说明：安排开放题，以利于培养学生的探索精神和创新意识。） 三、本课小结 通过学习用二元一次方程组解决实际问题，同学们不仅要学会分析阅读材料，从给定问题中寻找等量关系，从而建立数学模型，还要了解同一数学问题并非只有一种方案，往往是多元化的，要从不同角度来观察问题、解决问题。 100 / 148

三元一次方程组及其解法

【教学目标】

一、会解简单的三元一次方程组。

二、进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法。

【教学重难点】

一、掌握三元一次方程组的解法。

二、针对方程组的特点，选择最好的解法。

【教学过程】

一、导入新课

（一）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ （二）解二元一次方程组的基本思想是什么？

（三）甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数。

教师：题目中有几个未知数？含有几个相等关系？你能根据题意列出几个方程？

学生活动：回答问题、设未知数、列方程。

这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：

x＋y＋z＝26，①x－y＝1，②

2x＋z－y＝18。③

这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学习的三元一次方程组（板书课题）。 二、推进新课

（一）问题：

教师：怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？

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学生活动：思考、讨论后说出消元方案。

教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：

依照代入法，由较简单的方程②，可得x＝y＋1④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程组。

解：由②，得x＝y＋1 ④ 把④代入①，得2y＋z＝25 ⑤ 把④代入③，得y＋z＝16 ⑥ ⑤与⑥组成方程组 2y＋z＝25， y＋z＝16。

y＝9，

解这个方程组，得

z＝7。

把y＝9代入④，得x＝9＋1，x＝10。

x＝10，所以y＝9，

z＝7。

注意：

1．得二元一次方程组后，解二元一次方程组的过程在练习本上完成。 2．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最简单的方程④。 3．检验。

这道题也可以用加减法解，②中不含z，那么可以考虑将①与③结合消去z，与②组成二元一次方程组。

学生活动：在练习本上用加减法解方程组。 （二）问题：

3x＋4z＝7，①

解方程组2x＋3y＋z＝9，②

5x－9y＋7z＝8。③

学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单。

解：②×3＋③，得：

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11x＋10z＝35。④ ①与④组成方程组 3x＋4z＝7， 11x＋10z＝35。x＝5，解这个方程组，得 z＝－2。把x＝5，z＝－2代入②，得： x＝5，112×5＋3y－2＝9，y＝3。所以y＝3，z＝－2。 即时归纳：这个方程组的特点是方程①不含y，而②，③中y的系数的绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②，③中消去y后，再与①组成只含x，z的二元一次方程组的解法最为合理。而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③较繁琐。 三、巩固训练 （一）解方程组： x－z＝4，①z－2y＝－1，②x＋y－z＝－1。③（二）课本练习。 四、本课小结 通过这节课的学习，我们学会了什么？还有什么困惑？ （一）解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？ （二）解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般地，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解。 103 / 148

综合与实践 一次方程组与CT技术

【教学目标】

一、知识与技能：

能用一次方程组解决简单的实际问题，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤。

二、过程与方法：

经历列一次方程组解决简单的实际问题的过程，体验到方程组解应用题所需的分析问题、解决问题的方法。 三、情感、态度与价值观：

通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界模型的意义。

【教学重难点】

重点：用一次方程组解决日常生活中的实际问题。 难点：分析出问题中的数量关系，建立方程组。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

CT是X射线计算机断层成像（X-ray computed tomography）的简称，亦指一种病情探测仪器。由于CT分辨力高，可使人体内组织或结构清楚地显影，能清楚地显示出器官是否有病变，因而对脑瘤、肺癌等疾病，CT检查做出的诊断都是比较可靠的。

CT的工作程序是这样的：X射线射入人体，被人体吸收而衰减，应用灵敏度极高的探测器采集衰减后的X射线信号，获取数据由（于人体不同器官和病变部位对X射线的吸收程度不同，所以所得数据也不同），将这些数据输入电子计算机，进行处理后，就可摄下人体被检查部位的各断层的图像，从而发现体内任何部位的细小病变。

所谓断层是指受检体的截面薄层，为了显示整个器官，需要多个连续的断层图像，图像的个数按断层的厚度（3~15mm）而定。

各断层的CT图像是如何得来的？我们在受检体内欲成图像的断层表面上，按一定大小（长或宽为1~2mm）把断层划分成许多很小的部分（它的高就是断

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层的厚度），这些小块就称为体素，一般用吸收值来表示X射线束穿过一个体素后被吸收的程度，要得到该断层的图像，要发现受检体有无病变，就需要把它上面的各体素的吸收值都求出来。

师：那么如何求一个断层上各体素的吸收值呢？这节课我们就来学习用最简单的由A、B、C三个体素组成的断层为例来进行说明。 二、讲授新课

设体素A、B、C的吸收值分别为x、y、z，则X射线束1穿过体素A和B后，由探测器测得的总吸收值为p1，则x+y=p1①

同样，X射线束2穿过体素A和C后，测得总吸收值为p2，X射线束3穿过体素B和C后，测得总吸收值为p3，则：

x+z=p2，② y+z=p3，③

将方程①②③联立起来，得到一个含有未知数x、y、z的三元一次方程组，解此方程组，可以求得体素A、B、C的各自吸收值。

由于一般的断层至少也得划分成160×160=25600个体素，X射线束从不同位置、不同方向穿过该断层，因而需要解由此而建立的25600个元的一次方程组，才能求出各体素的吸收值。 三、课堂小结

通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么疑问吗？

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几何图形

【教学目标】

1．知识与技能：

（1）使学生初步了解几何研究的对象和问题。

（2）使学生初步认识长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等简单的几何体。 2．过程与方法：

（1）经历具体实例的抽象概括过程，形成几何体的模型，初步形成学生利用几何的观点认识现实世界的意识和能力，进一步发展学生抽象思维的能力。

（2）通过分组合作学习活动，学会在活动中与人合作，并能与他人交流思维的过程与结果。

3．情感、态度与价值观：

通过由具体实例的抽象概括的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力以及合作学习和独立思考的良好学习习惯。

【教学重难点】

重点：初步了解几何研究的对象及主要内容、学习方法。 难点：能简单地描述几何体的特点。

【课时安排】

2课时

【第一课时】 立体图形与平面图形 【教学过程】

（一）新课引入

“房子大了，电话小了，感觉越来越好……”这是同学们喜爱的歌曲《越来越好》中的第一句歌词，它对现实生活进行了生动的描绘，随着社会的进步，人们建房子越来越追求风格，如中国人民银行的办公大楼被建造成圆柱体，各地的政府大楼被建成长方体，还有澳大利亚的悉尼歌剧院被建成船帆形状等，风格迥异，给人以不同的感受，从数学角度看，这些建筑都是立体图形，可以说立体

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图形在生活中无处不在。

图形是多种多样的，我们从这节课开始认识、了解一些基本图形。 （二）问题展示

师：请同学们从下列实物中找出我们熟悉的几何图形。 砖块、粮堆、日光灯灯管、篮球。

学生合作交流后回答：长方体、圆锥、圆柱、球。

师：生活中蕴藏着大量的几何图形，这些几何图形构成了我们的美丽世界的一部分，像长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体。包围着体的是面，面有平的面与曲的面两种。

如圆柱体的上、下底面是平面，侧面是曲的面。像长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，这样的几何体都是多面体。

师：你还能举出一些我们现实生活中常见的几何体或多面体吗？ 学生举手回答。 （三）新课讲授

1．如图，观察下列图形，并回答问题。

（1）分别写出它们的名称：1、__________，2、____________，3、

__________；4、_____________；5、___________。

（2）它们分别是由几个面围成的？分别是平的面还是曲的面？ （3）属于多面体的是_______________。 （四）课堂小结

本节课主要学习了一些简单的几何体。在生活中常常能见到这些立体图形，只要细心发现，多留心、多观察，在平时生活中可以学到很多数学知识。

【第二课时】 点、线、面、体 【教学目标】

1．知识与技能：

（1）使学生初步认识多面体及旋转体。

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（2）使学生能判断一个图形由哪些几何图形组成，能知道多面体的面数、棱数和顶点数。

（3）使学生了解点、线、面、体。 2．过程与方法：

能由实物形状想象出几何图形、由几何图形想象出实物形状，进一步丰富学生对几何图形的感性认识。

3．情感、态度与价值观：

通过从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，激发学生学习空间与图形的兴趣，通过与其他同学的交流活动，初步形成参与数学活动、主动与他人合作的意识。

【教学重难点】

重点：从具体事物中抽象出几何图形。

难点：能大致描述几何体的特点以及点、线、面、体之间的关系。

【教学过程】

（一）新课引入

师：下图是一个长方体的模型，它有几个面？面与面相交形成了几条线？线和线相交形成几个点？

小组讨论交流。

师：灿烂的星空，有流星划过天际；长方形绕它的一边快速转动，问：这些图形给我们什么样的印象？

小组讨论交流。

观察、讨论，让学生共同体会“点动成线，线动成面，面动成体”，几何图形是由点、线、面、体组成的。

（二）巩固练习

1．下列图形绕着实线旋转一周，能形成一个什么样的几何体？

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2．几何图形是由_______、_________、__________、_________构成的，面有________面和________面之分。

3．点动成__________，线动成____________，面动成__________。 4．长方体是由__________个面围成的，圆柱体是由_________个面围成的，圆锥是由_______个面围成的。

（三）课堂小结

本节课主要认识了生活中的几何图形，你有什么感受与同伴交流一下？

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线段、射线、直线

【教学目标】

一、能用几何语言描述直线性质。

二、会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形。

【教学重难点】

理解并掌握直线性质，会用字母表示图形和根据语言描述画出图形。

【教学过程】

一、导入新课

（一）出示墨盒，请一个同学演示使用墨盒弹出一条直线的过程。 （二）提出问题：为什么这样拉出的线是直的？其关键是什么？

我们这一节就来解决这一问题，下面让我们一起来学习——线段、射线、直线（板书课题）。 二、推进新课

（一）直线、射线、线段的表示方法

1．活动：学生活动：学习直线、射线、线段的表示方法并进行交流。 归纳整理得出它们的表示方法，教师归纳直线的表示方法： （1）用直线上表示两个点的大写字母来表示：直线AB。 （2）用一个小写的字母来表示：直线a。 ①

线段的表示方法：

（1）用表示端点的两个大写的英文字母来表示：线段AB。 （2）用一个小写的字母来表示：线段a。 ②

射线的表示方法：用端点及射线上任意一点的大写字母来表示，但表示端点的大写字母必须写在前面。如图③，射线表示为：射线OA。

③

2．活动：画一条直线、射线、线段，你能用字母表示吗？

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学习说明：直接用直线、射线、线段的表示方法时，要注意直线的第一种表示方法，直线上的任意两点即可。第二种方法必须是一个小写字母。射线的表示方法要注意表示端点的大写字母必须写在前面。这些注意的问题要在学生探索中发现，并通过练习加以巩固。

（二）直线、射线、线段的区别与联系

活动：直线、射线、线段之间有什么区别与联系？

学生在独立思考的基础上，以小组为单位，对所画的几何图形进行比较，各抒己见。教师对学生的回答进行归纳总结，直线、射线、线段的联系：射线、线段都是直线上的一部分；区别可以从端点的个数、表示方法、延伸方向等方面说明。

（三）探索点与直线的位置关系

学习策略：通过画图体会数学语言的转化，在画图中探索点与直线的位置关系。

1．活动：按下列语句画出图形。 （1）直线EF经过点C； （2）点A在直线a外；

（3）经过点O的三条直线a，b，c； （4）线段AB、CD相交于点B；

（5）直线经过点A、B、C三点，点C在点A与点B之间； （6）P为直线a外一点，过点P有一条直线b与直线a相交于点Q。 2．活动：在平面内点与直线有几种位置关系？ 师归纳点与直线的位置关系： （1）点在直线上； （2）点在直线外。 （四）探究直线性质

1．活动：观察生活中直线的形象，探索直线的基本事实。

（1）问题：建筑工人在砌墙时，如何拉参照线？木工师傅锯木板时，怎样用墨盒弹墨线？

学生回答：建筑工人在砌墙时，先确定两点，再拉参照线；木工师傅锯木板时，先确定两点，再用墨盒弹墨线。

（2）问题：要在墙上固定一根木条，使它不能转动至少需要几个钉子？请

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试一试。 学生先想象后实验，师归纳：在木条上钉两个钉子，就可以把木条固定在墙壁上。 （3）问题：如果钉3个钉子呢？结果会怎样？对木条的位置有什么影响？ 学生先回答，师归纳：钉3个钉子只会增加木条的牢固程度，对木条的位置没有影响。 （4）问题：如图，经过一点O画直线，能画几条？经过两点A、B呢？ 学生回答：经过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线。 （5）问题：你想知道这样做应用了什么知识吗？ 经过探究可以体验我们学过的直线的一个性质：两点确定一条直线。 2．活动：寻找生活中直线性质应用的例子。 教师活动：请同学们想一想：日常生活中有哪些现象是应用的直线的性质？ 学生活动：学生回答（只要答案合理，教师都要给以肯定的评价）。 三、巩固练习 （一）提出问题：下图中，有几条直线？几条射线？几条线段？说出它们的名称。 学习策略：此题在学生完成后，教师再进行讲评，并对学生的完成情况作出适当、肯定的评价。 （二）读下列语句，并按照语句画出图形： 1．直线l经过A、B两点，点B在点A的左边。 2．直线AB、CD都经过点O，点E不在直线AB上，但在直线CD上。 四、本课小结 （一）提问：直线的性质是什么？如何表示直线、射线、线段？ （二）本节课还学习了根据语句画图，知道了每一个语句都对应着一个几何图形。 线段、射线、直线的区别与联系： 名称 图形 线段 112 / 148

射线 直线 用表示端点的大写字母表示，如线段AB表示法 或线段BA；也可用一个小写字母表示，如线段a 延伸性 端点个数 无 2 用两个大写字母表示，表示端点的字母应写在前面，如射线OM 向一方延伸 1 用两个大写字母表示，如直线AB或直线BA；也可用一个小写字母表示，如直线l 向两方任意延伸 0 113 / 148

线段的长短比较

【教学目标】

一、会用叠合与度量等方法比较线段的长短，能说出线段长短比较的结果，从“数”和“形”两个方面理解线段长短的比较方法。

二、根据具体情景了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质，并学会运用它解释一些实际现象。

三、了解线段中点的概念和几何语言表示。

【教学重难点】

一、线段基本性质“两点之间的所有连线中，线段最短”的理解与应用。 二、线段的和差问题。

【教学过程】

一、比较线段的长短

（一）活动：

1．比较两位同学的身高。

2．拿出两根筷子请学生比较长短。（学生采用的办法是：筷子的一端对齐，另外一端在外的筷子长。教师及时引导学生分小组合作探究如何用叠合法比较线段的长短。）

（二）活动二：比较两条线段的方法： 1．度量法。

2．叠合法。具体方法如下：（教师一边讲一边画图比较） （1）将线段AB的点A与CD的点C重合。

（2）线段AB沿着线段CD的方向落下，线段AB与线段CD叠合。 若点B与点D重合，就说线段AB等于线段CD，可以记作AB＝CD。 若点D在线段AB外部，就说线段AB小于线段CD，可以记作AB＜CD。 若点D在线段AB内部，就说线段AB大于线段CD，可以记作AB＞CD。 如图。

二、线段的中点

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（一）活动 1．如下图。 （1）量出线段AB，BC的长度，并比较长短。 （2）计算AC的长度。 （3）填空：________＋________＝AC，AC－________＝BC，AC－________＝AB。 2．如下图。 （1）量出线段AC、BC的长度并比较大小。 （2）填空：________＝________＝________AB。 教师总结：点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线1段AB的中点，符号表示：AC＝CB＝2AB或AB＝2AC＝2CB。 （二）活动：操作题 1．拿出一根无弹性的细绳子，让学生找到绳子的中点。 2．在一张白纸上画出一条线段，请学生用折纸的方法找出线段的中点。 教师总结：线段的中点应满足的两个条件：①点在线段上；②分成的两条线段相等。 三、线段的基本性质 （一）活动 1．学生先完成课本练习。 2．如图，甲、乙两地间有曲线、折线、直线段等4条路线可走，其中哪一条路线最短？ 3．如图，人们修建公路遇到大山阻碍时，为什么经常打通一条穿越大山的直的隧道？ 115 / 148

（二）教师总结：两点之间的所有连线中，线段最短。（线段的基本性质） 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 重点强调：两点间的距离是长度即是一个数量，而不是线段图形本身。 四、例题分析 如图，AB＝16cm，C是AB上的一点，且AC＝10cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。 分析：可以运用中点的定义先求出线段DC和CE的长，再求其和；也可以1111运用中点的定义直接得DE＝DC＋CE＝2AC＋2BC＝2(AC＋BC)＝2AB，再代入数即可。 解： 1解法一：因为D是AC中点，AC＝10cm，所以DC＝2AC＝5（cm）。 又因为AB＝16cm，AC＝10cm，所以BC＝AB－AC＝16－10＝6（cm）。 1又因为E是BC的中点，所以CE＝2BC＝3（cm）。 所以DE＝DC＋CE＝5＋3＝8（cm）。 11解法二：因为D是AC的中点，E是BC的中点，所以DC＝2AC，CE＝2BC，11111所以DE＝DC＋CE＝2AC＋2BC＝2(AC＋BC)＝2AB＝2×16＝8（cm）。 由上可得DE的长为8cm。 学习说明：对于求线段的长度问题，解法不唯一，应根据具体的题目，灵活选择简单的计算方法。 五、巩固训练 （一）判断： 1．两点之间的线段叫做这两点间的距离。（ ） 12．如果点M是线段AB的中点，那么AM＝BM＝2AB。（ ） （二）如图，把河道由弯曲改直，根据________说明这样做能缩短航道。 六、本课小结 116 / 148

通过本节课的学习你有哪些收获？

（一）线段的长短比较的方法：A．叠合法；B．度量法。 （二）线段的中点概念及运用。

（三）线段的基本性质，以及两点之间的距离的概念。 （四）对照图形会判断线段间的和差关系。

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角

【教学目标】

一、认识角及角的有关概念，并会表示角。 二、知道角的度量单位，并能进行单位的转换。

三、会把角的知识与现实生活相联系，用角的知识解释生活中的一些现象。

【教学重难点】

一、理解角与角的相关概念。

二、掌握角的度量单位以及单位之间的换算。

【教学过程】

一、角的概念及表示方法

（一）活动：从生活中认识角

1．我们看物体时，有视角，钟表的指针转动也形成角。请同学们回答下面问题。

（1）角是一个几何图形，请大家说说，角是由什么图形构成的？（学生回答，教师点评，注意鼓励学生）

（2）如果我们把角看作是一条射线绕它的端点旋转围成的图形，那么始边和终边又指什么？

2．教师总结：角有两个定义，一个是静态的定义，把角看作由一点出发的两条射线组成的图形；另一个定义是动态的，把角看作一条射线绕端点旋转所形成的图形，把开始位置的射线叫做始边，把终止位置的射线叫做终边。

3．请同学们说一说，我们日常生活中，哪些地方有角。（学生举例） （二）活动：角的表示方法

1．我们怎样表示角呢？请同学们看课本上说了几种表示方法？（学生先看书，后回答）

2．教师总结：

（1）用三个大写字母可以表示一个角，比如∠AOB。 练习：谁能指出下列各角的顶点和两条边？

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注意： ①三个字母的顺序有规定，顶点的字母必须写在中间。 ②顶点的字母不一定用O，角的始边与终边的字母也可以随意。 （2）当一个顶点只有一个角时，也可以用顶点的字母表示。比如，下面的角可以表示为∠O。 练习：判断下列角可以用顶点的字母表示吗？ （3）用数字或小写的希腊字母表示角。（注意：角中不能有角） 练习：下面表示角的方法，哪个是正确的？哪个是错误的？ （三）角的度量 1．活动：角的度量 （1）请同学们借助量角器画出下列各角： ①30° ②45° ③60° ④90° ⑤120° ⑥150° ⑦62° ⑧105° 学生画图，教师指导。 （2）任意画一个角，用量角器测量角的大小。提问：如果这个角的度数不是整数，应该怎样表示这个角的度数呢？引出角的度量单位是度、分、秒。 112．教师总结：它们之间的关系是：1°＝60′，1′＝60″，1′＝60°，1″＝60′ （强调度、分、秒是60进制，不是十进制）。 （1）还有什么单位是60进制？ （2）让学生画一个1°角，感受1°角有多大。 （四）例题讲解 1．计算： 119 / 148

（1）用度、分、秒表示30.26°； （2）42°18′15″等于多少度？ 学习策略：由教师写出规范的解法。 注意： ①大单位化小单位整个过程乘以60。 ②将小单位化大单位先将最小的单位向它的上级单位换算，逐步进行到化成最大的单位“度”，要除以60。 解：（1）因为0.26°＝60′×0.26＝15.6′，0.6′＝60″×0.6＝36″，所以30.26°＝30°15′36″。 11（2）因为15″＝60′×15＝0.25′，18.25′＝60°×18.25＝0.304°，所以42°18′15″＝42.304°。 2．把一个周角17等分，每份是多少？（精确到1′） 解：360°÷17＝21°＋3°÷17 ＝21°＋180′÷17≈21°11′。 二、巩固训练 课本练习。 三、本课小结 （一）本节课我们学习了角的概念，角是由什么构成的图形？ （二）如果从运动的观点来看，角是怎样形成的？ （三）角的度量单位是什么？它们之间怎样进行换算？ （四）现代角的度量制。 现代角的度量制有以下几种： 1．60进制 2．弧度制 3．密位制 120 / 148

角的比较与补（余）角

【课时安排】

2课时

【第一课时】 【教学目标】

一、会比较角的大小，能估计一个角的大小。在操作活动中认识角的平分线。 二、理解两角互余、互补的概念及其性质。

【教学重难点】

重点：角的大小比较方法以及角的平分线的概念，两角互补、互余的概念及性质。

难点：从图形中观察角的数量关系。

【教学过程】

（一）新课引入

导语：如图，已知∠α和∠β，如何比较这两个角的大小呢？

今天我们就来学习角的大小比较。 （二）讲授新课 1．问题展示：

如图，已知∠ABC和∠DEF。

请大家讨论一下，用什么方法可以比较这两个角的大小？ 2．合作探究：

分组讨论角的比较方法。在学生讨论过程中，教师深入学生中间巡视，观察并听取他们解决问题的方法和建议。

3．问题解答：比较方法：

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（1）度量方法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。 （2）叠合方法：把两个角叠合在一起比较大小。 4．问题展示：

在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，而其他两个角的和是90°。一般情况下，如果两个角的和等于一个直角，我们就称这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。例如，∠1与∠2互为余角，∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角。

同样，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。

如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，并且∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

5．合作探究：

生：学生分组讨论、交流。 6．问题解答：

同角（或等角）的补角相等；同角（或等角）的余角相等。

7．问题展示：

做一做：在一张透明纸上任意画一个角∠AOB，把这张透明纸折叠，使角的两边OA与OB重合，然后把这张纸展开、铺平，画出折痕OC。试比较∠AOC与∠BOC的大小。

8．合作探究： 生：学生动手操作。 9．问题解答：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.射线OC就是∠AOB的平分线，这时∠AOC=∠BOC=∠AOB

（三）巩固新知：小组讨论

如图，∠ABC=90°，∠CBD=30°，BP平分∠ABC，求∠DBP的度数。

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点拨：解：∵∠ABC=90°，BP平分∠ABC， 11∴∠PBC=∠ABC=×90°=45°。 22∴∠DBP=∠PBC－∠CBD=45°－30°=15°。 （四）小结与评价 本节课主要学习了哪些知识？你有哪些收获？请与同伴进行交流。 回答要点：比较角的大小，角的和、差、倍、分；角的平分线以及补角、余角的概念和性质会用类比的思想方法。 【第二课时】 【教学目标】 一、在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系。 二、通过动手操作认识角的平分线。 三、在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质。 【教学重难点】 一、比较角的大小，认识角的大小关系。 二、分析角的和差关系，理解角平分线的定义。 三、认识复杂图形中角的和差关系，会比较两个角的大小。 四、通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质。 【教学过程】 一、导入新课 （一）教师活动：在黑板上画出一个三角形。 1．提出问题：比较图中线段AB，BC，AC的长短。 学生活动：回顾线段长短的比较方法。小组交流，得出适当的比较线段长短 123 / 148

的方法。

教师活动：归纳学生的讨论结果，并演示用圆规比较AB，BC，AC三条线段长短的过程，并写出结论：AB＞AC＞BC。

2．提出问题：怎样比较图中∠A，∠B，∠C的大小？

（二）学生活动：小组交流比较方法，得出结论：可用量角器先量出角的度数，然后比较它们的大小。

（三）教师活动：

（1）肯定评价学生提出的方法，并动手测量度数，比较它们的大小，板书结论：∠C＞∠B＞∠A。

（2）启发引导学生，类比线段长短的比较方法，也可以把它们叠合在一起比较大小。这就是这一节我们将要学习的——角的比较。（板书课题） 二、推进新课

（一）如何用叠合的方法比较角的大小？ 活动：

1．学生活动：进行小组交流讨论，动手操作：每个学生都在透明纸上画一个角，然后剪下这个角，并与小组中其他同学所画的角进行比较后归纳出比较方法和比较结果，然后观看多媒体演示角的比较过程。

2．教师活动：巡视并指导学生进行角的比较活动过程，打开多媒体演示角的比较过程：把一个角移到另一个角上，顶点与一条边重合；两个角的另一边都在重合边的同侧。观察这两边的位置关系，就能得出两个角的大小关系。

（二）认识角的和差。 活动：课本例题。 （三）认识角的平分线 活动：

1．教师活动：在透明纸上画一个角，沿着顶点对折，使角的两边重合。 2．学生活动：观察老师的演示过程，并思考下面的问题。（如下图）

提出问题：∠AOC被折痕OB分成的两个角有什么关系？

在图中，射线OB把∠AOC分成相等的两个角，即∠AOB=∠BOC，∠AOC

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与∠AOB和∠BOC有什么关系？这个关系怎样用式子来表示？射线OB叫做什么？

学生活动：阅读并回答上面的问题。

教师活动：讲解角的平分线的定义，板书：角的平分线。 （四）探究互为余角、互为补角的定义 活动：

1．学生活动：阅读并回答补角和余角的定义。

2．教师活动：讲解余角和补角的定义，板书：余角和补角。 （五）探究补角的性质

活动：如图∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

1．教师活动：操作多媒体演示

2．学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2=∠4。 补角性质：同角（或等角）的补角相等。

3．教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理论上说明其理由。

因为∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°； 所以∠2=180°－∠1，∠4=180°－∠3。

因为∠1=∠3，所以180°－∠1=180°－∠3，即∠2=∠4。 （六）探究余角的性质

活动：如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1＝∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？

1．教师活动：操作多媒体演示。

2．学生活动：观察图形的运动，得出结果：∠2＝∠4。 余角性质：同角（或等角）的余角相等。

3．教师活动：向学生说明，以上从观察图形得到的结论，还可以从理论上说明其理由。

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因为∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°； 所以∠2＝90°－∠1，∠4＝90°－∠3。

因为∠1＝∠3，所以90°－∠1＝90°－∠3，即∠2＝∠4。 三、本课小结

师生互动，共同总结本节课的学习内容：

（一）角的大小的比较方法和角的大小关系有哪些？认识了角的哪些运算？ （二）角的平分线、余角和补角的定义是什么？ （三）余角和补角的性质是什么？

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用尺规作线段与角

【教学目标】

一、会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段。 二、会用直尺和圆规作一个角等于已知角。 三、会利用基本作图进行简单的尺规作图。

【教学重难点】

一、用尺规作线段（角）等于已知线段（角）。 二、线段的和、差、倍、分的作法。 三、角的和、差、倍、分的作法。

【教学过程】

一、导入新课

在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，如下列图案。

图案（1）、（2）、（3）、（4）是我们曾经画过的。想一想，这些图案是利用哪些作图工具画出的？

直尺、圆规和三角尺是常用的作图工具，利用这些工具可以做出很多的几何图形。在以后的作图中，我们运用最多的作图工具是没有刻度的直尺和圆规。我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图。这一节我们就来学习用尺规作图——用尺规作线段与角。（板书课题） 二、推进新课

（一）作一条线段等于已知线段

活动一：学生预习课本例1，教师按照下面作图步骤演示作图过程。 已知：线段AB

求作：线段A′B′，使A′B′=AB。 作法：

1．作射线A′C′。

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2．以点A′为圆心，以AB的长为半径画弧，交射线A′C′于点B′。 A′B′就是所求的线段。

教师总结：今后的作图中，要注意作图步骤的书写。就现在来说，只要求大家了解尺规作图的步骤。

（二）作一个角等于已知角

活动二：学生预习课本，教师按照例题的作图步骤演示作图过程。 已知：∠AOB（如图1）

求作：∠DEF，使∠DEF=∠AOB。

图1 作法：

1．在∠AOB上以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q（如图1）；

2．作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D； 3．以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第2步中所画弧于点F； 4．作射线EF（如图2）。∠DEF即为所求作的角。

图2

教师总结：用尺规作图具有以下四个步骤： （1）已知，即：已知的条件是什么。

（2）求作，即：所要作的最终的结果是什么，满足什么条件。 （3）分析，即：分析如何做出所要求作的图形，一般不用写出来。 （4）作法，这是作图的主要步骤，在这里要写清作图的过程。

【作业布置】

1．画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一边，在角的内部画一条射线OC，使∠AOC=90°，正确的图形是（ ）。

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2．下列尺规作图的语句错误的是（ ）。 A．作∠AOB，使∠AOB=3∠1 B．以点O为圆心作弧

C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC=∠1＋∠2

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数据的收集

【教学目标】

一、理解数据收集的重要性和意义。 二、会设计调查问卷表。

【教学重难点】

一、设计调查问卷表。

二、如何辨别全面调查和抽样调查、个体和总体、样本和样本容量。

【教学过程】

一、导入新课

生活中的数据无处不在，可是你是否知道，这些数据是如何得到的？今天我们就一起来学习数据的收集。（板书课题） 二、推进新课

（一）收集数据的方法

1．活动：生活中的数据是如何得到的？（学生分小组讨论回答） 2．教师总结：收集数据的方法有以下几种：

（1）直接途径：数数、观察、测量、实验、问卷调查等； （2）间接途径：查阅文献、使用互联网查询等。 （二）设计调查问卷表

1．活动：学生看分小组讨论怎样设计调查问卷表？ 2．教师总结： （1）问卷目的要明确； （2）问卷选项要简单明了； （3）问卷格式要正确。 （三）调查方式

1．活动：学生回答下列问题： （1）什么是全面调查和抽样调查？ （2）个体和总体指什么？ （3）样本和样本容量又指什么？

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（4）普查、抽样调查各自的特点分别是什么？ 2．教师总结：

（1）对全体对象进行的调查是全面调查；

（2）从被考察的全体对象中抽出一部分对象进行考察的调查方式是抽样调查；

（3）在一个统计问题中，把所要考察对象的全体叫做总体； （4）其中的每一个考察对象叫做个体；

（5）从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； （6）样本中个体的数目叫做样本容量。

（7）普查的优点：直接得到总体的情况，数据准确； （8）局限性：

①总体中的个体数目较多，工作量较（太）大，无法逐一考察； ②受客观条件的限制，无法对个体逐一考察； ③考察具有破坏性，不允许对个体逐一考察；

（9）抽样调查的特点：只考察总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节约时间、人力、物力和财力，但其调查的结果往往不如普查得到的结果准确。

（四）例题分析

下列关于测定种子发芽率的有关说法，正确的一项是（ ）。 A．测发芽率时应当尽量挑选饱满的种子，这样才能保证发芽率 B．测发芽率要保证完全准确，最好检测所有的种子 C．测定种子发芽率要保证种子正常萌发的环境条件

D．测发芽率要尽量节省种子，所以随便挑几粒种子测一下就可以

解析：饱满的种子不是种子总体具有代表性的样本，无法测得准确的发芽率，就像篮球运动员的身高不能代表所有人的身高一样，所以排除A；测发芽率，种子就会遭到破坏，采用普查的方式是完全错误的，抽样调查是必须的，所以排除B；测发芽率要节省种子，但测试必须达到一定的数量，几粒种子很容易受到偶然因素的影响，无法满足样本的代表性和广泛性，所以排除D。所以正确答案应选C。

学习说明：数学并不是枯燥的数字游戏，它存在于社会生活的各个角落，你要学会用数学的眼光去看世界，思考问题，这样你就会感到数学是你参与社会生

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活的强大思想武器。 三、巩固训练

（一）请你对我班采取的学习模式的满意程度，设计一份调查问卷表。 （二）下列调查方式合适的是（ ）。 A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查方式

B．为了了解全国九年级学生的心理健康状况，采用普查方式 C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式 D．对某个人造地球卫星零部件的检查，采用抽样调查的方式 四、本课小结

通过本节课的学习，你掌握下列问题了吗？你还有什么困惑吗？ （一）如何设计调查问卷表？ （二）常用的调查方式有几种？

（三）如何辨别全面调查和抽样调查、个体和总体、样本和样本容量？

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数据的整理

【教学目标】

一、初步学会整理简单的数据，会设计简单的统计图表示数据。

二、经历整理简单的数据的过程，体会统计思想，学会用“数据”说理的方法，发展运用简单的统计知识解决一些简单的实际问题的能力。

【教学重难点】

一、绘制扇形统计图整理数据。 二、会选择合适的统计图来整理数据。

【教学过程】

一、导入新课

上一节学习了数据的收集，一般收集到的数据比较散乱，难以从中获得需要的信息，因此我们要对数据进行整理，具体怎样整理数据呢？今天我们就一起来学习——数据的整理。（板书课题） 二、推进新课

（一）绘制统计表

1．活动：师：上节课我们收集了不少数据，但它们还只是原始数据，为了清楚地说明问题，需要进行整理。说一说可以用什么方法整理数据？

2．教师总结：把数据整理成表后，常用一些统计图来直观地表达数据的某些特征，使人看到统计图后，便一目了然。在小学我们已经学过条形统计图和折线统计图，常见的统计图还有扇形统计图。

（二）扇形统计图

1．活动：学生回顾有关内容，回答下列问题： （1）什么是扇形统计图？

（2）扇形统计图中的圆、扇形各代表什么？ （3）扇形的中心角的定义又是什么？ （4）怎样求扇形的中心角？ 2．学生回答以上问题后，教师总结：

（1）扇形统计图是用圆和扇形分别表示关于总体和各个组成部分的数据统

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计图； （2）圆代表总体； （3）扇形代表总体中的不同部分； （4）扇形的大小反映部分占总体的百分比； （5）扇形的中心角＝360°×该部分占总体的百分比。 （三）制作扇形统计图 1．活动： 2010年某调查所进行了“如何度过春节”的调查，结果如下： “如何度过春节”的调查情况统计表 选择 回家 旅游 工作 学习 尚未定 占调查人数的百分率 44.5% 37.0% 5.7% 5.6% 7.2% 请根据上面的数据，画出表示调查结果的扇形统计图。 分析：根据人们的5种选择情况，本题要把表示总体的圆分成5个扇形。先由每种选择的人数占调查总人数的百分率，计算出相应扇形中心角的大小；然后，根据各扇形中心角的度数，画出各个扇形。 解：表示“回家”部分的扇形的中心角为： 360°×44.5%＝160.2°。 表示“旅游”部分的扇形的中心角为： 360°×37.0%＝133.2°。 表示“工作”部分的扇形的中心角为： _______________________________________________________________。 表示“学习”部分的扇形的中心角为： _______________________________________________________________。 表示“分”的扇形的中心角为： _______________________________________________________________。 2．学生思考解决问题。在学生独立完成的基础上，学生分组交流答案。 用量角器画出相应的扇形的中心角，标明各扇形表示的部分的名称和所占百 134 / 148

分率，从而得到表示调查结果的扇形统计图。 学生试着自己制作扇形统计图。 3．教师总结：制作扇形统计图的一般步骤： （1）画圆； （2）求各部分比例； （3）计算各部分圆心角度数； （4）根据度数画扇形； （5）填写成分名称，填写百分比。 三、巩固训练 （一）课本练习。 （二）数学老师在一次数学活动后，对全班同学就“你是否乐意参加这样的数学活动”进行了调查，结果如下： 态度 乐意参加 无所谓 不乐意 人数 35 10 5 百分率 将统计表填完整；用扇形图表述调查结果。 四、本课小结 （一）通过本节课的学习，同学们主要应掌握扇形统计图的制作，其一般步骤为： 1．画圆； 2．求各部分比例； 3．计算各部分圆心角度数，其中圆心角度数＝360°×该部分占总体的百分比； 4．根据度数画扇形； 5．填写成分名称，填写百分比。 （二）扇形统计图的特点： 1．圆代表总体； 2．扇形代表总体中的一部分； 3．扇形的大小反映部分占总体百分比的大小； 4．各个扇形所占的百分比之和为100%，即1； 5．不能只根据百分比的大小来比较部分量的大小。 135 / 148

（三）统计表：

统计表是整理、表达和分析数字资料的重要工具。运用统计表可以将大量数据的分类结果清晰、概括、一目了然地表达出来，明显地反映出事物的全貌及其蕴涵的特性，它把有关的数字列在一起，既便于分析、比较、计算和记忆，又易于发现错误和遗漏，省去冗长的文字叙述。

（四）统计图：

统计图是整理表达和分析数字资料的重要工具。绘制统计图可使数字资料形象化、通俗易懂，并能把资料的变化趋势和各种现象间的关系明确地再现，使阅读者在短时间内获得明晰的印象。统计图只能表示近似数，要想了解准确的数字，仍需看统计表。

统计图是在统计表的基础上，表现统计资料的一种形式，也是统计分析的一种重要工具。统计图把统计表中的数字形象化，利用几何图形反映数量间的对比关系，以直观形象的形式表达出事物的全貌及其分布特征。作为数字的语言，统计图比统计表更明确、更具体、更生动有力，使人一目了然便于理解，印象深刻，容易记忆。但图形所反映的数量只是近似的，因而只能起示意作用。用统计图时，一般附有统计表。

统计图通常由标题、图号、标目、图形、坐标、图注组成。 表示间断变量可用条形图、圆形图；表示连续变量可用线形图。

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用统计图描述数据

【教学目标】

一、使学生通过比较统计图，理解各种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据。 二、体会统计对决策的作用。

【教学重难点】

一、能了解不同统计图的特点。

二、能根据实际问题选择合适的统计图，培养统计观念。 三、制作三种统计图并会从中获取有用的信息。

【教学过程】

一、导入新课

（一）我们学过哪些统计图？（扇形图、条形图、折线图等）

（二）请你说说：你在哪里见过哪些统计图？（在网上、书籍、杂志、报纸上我们还会看到许多其他形式的统计图）

（三）统计图的作用是什么？（使数据变得一目了然，让读者很快就能了解作者想要表达的信息）

现在，就面临着一个问题，哪种统计图可以较为准确而迅速地反映出要表达的信息呢？

本节我们就一起来研究——用统计图描述数据。（板书课题） 二、常见统计图的特点

学生看课本的几个调查项目，针对画出的两幅统计图，回答课本思考中的三个问题。（学生分小组讨论完成）

教师：要选择合适的统计图，就必须明确各统计图的特点。我们所常见的扇形图、折线图、条形图各有什么特点呢？小组交流后发表看法。

（一）总结：三种统计图的特点

1．扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比； 2．折线统计图能清楚地反映事物的变化情况； 3．条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。

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（二）例题分析 1．例1：上海市国内生产总值：1952年，人均GDP为125美元；1977年，人均GDP为1000美元；1993年，人均GDP为2000美元；1997年，人均GDP为3000美元；2000年，人均GDP为4180美元；2001年，人均GDP为4500美元。请你选择合适的统计图表示此组数据。 教师：你选用哪种统计图描述上面的数据？画出统计图，与同学们交流你选择的理由。 学生：画出统计图，分小组交流，说出各统计图的特点，并说明如何选择合适的统计图来描述数据。 教师总结： （1）如果只想清楚地表示数量的多少，一般采用条形统计图。 （2）当既要知道各部分数量的多少，又要清楚地表示各部分数量增减的情况时，应采用折线统计图。 （3）如果只想清楚地表示各部分在总体中的百分比时，应采用扇形统计图。 2．例2：一所中学准备搬迁到新校舍，在这之前，同学们就该校300名学生如何到校问题进行了一次调查，并得到下列数据： 步行 骑自行车 坐公共汽车 其他 60人 100人 130人 10人 将上面的数据分别制成扇形统计图和条形统计图，并进行比较，体会它们各自的特点。 学习策略：学生独立完成，再在小组中讨论结果。 解：根据题意制作下列统计图： （1）条形统计图（如下图）。 某校上学方式分布条形图 某校上学方式分布统计图 138 / 148

（2）扇形统计图（如上图），比较这两个统计图，条形统计图能清楚地表示出学生到校的几种方式的具体学生人数；而扇形统计图则清楚地表示出了学生到校的各种方式在300名学生中的百分比。

（三）巩固训练：课本练习 三、本课小结

（一）通过本节学习，明确选择合适的统计图对更清楚地反映数据有很大的作用，处理数据时，我们首先要选择好统计图。

1．如果只想清楚地表示数量的多少，一般采用条形统计图。

2．当既要知道各部分数量的多少，又要清楚地表示各部分数量增减的情况时，应采用折线统计图。

3．如果只想清楚地表示各部分在总体中的百分比时，应采用扇形统计图。 （二）三种统计图的特点归纳 1．条形统计图

条形统计图是用单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的条形，然后把这些条形按照一定的顺序排列起来。它的优点是：能清楚地表示出各个量的具体数目，即根据条形统计图就可以直接看出被统计对象的实际数值和它们之间的大小关系。

如图（1）是某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况后，所绘制的条形统计图。

（1）

从这个条形统计图，我们可以很清楚地看出各个家庭的收入情况。 2．扇形统计图

扇形统计图是用整个圆面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分占总数的百分比，它的特点是：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。即根据扇形统计图可看出被统计对象所占的比例。

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（2）

如图（2）是三个年级为了迎北京奥运的捐款数，从这里可以清楚地看出三个年级捐款的比例数。

3．折线统计图

折线统计图是用单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。它的特点是：能清楚地反映事物的变化趋势。即根据折线统计图能明显看出变化的趋势。

一个鞋店在一段时间内销售某种女鞋30双，现把售出的各种号码的鞋的数量用折线图表示，如图（3），从图中可以清楚地看出鞋号与销量的关系。

（3）

进行数据统计时，应根据三种统计图各自的特点，再结合数据的实际背景，选择适当的统计图来描述数据，从而获取有用信息。

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综合实践 水资源浪费现象的调查

【教学目标】

1．能根据具体情境设计适当的抽样调查方案，进一步理解抽样调查中样本的代表性与广泛性的重要性。

2．在具体的问题情境中，领会抽样调查的优点和局限性，体会不同的抽样可能得到不同的结果。

3．培养学生积极探究，合作交流的情感，领悟其应用价值。

【教学重难点】

重点：抽样调查中数据的收集。

难点：抽样调查中样本的代表性与广泛性。

【教学过程】

（一）课内思考 1．回顾与思考。 2．创设问题情境。

3．为了了解你所在地区老年人的健康状况，你准备怎样收集数据？ 调查的两种方式：普查与抽样调查，对各自的特点能够了解，并能判断具体环境下所选择哪种调查方式。

回顾前一节课的内容，为后面的学习作铺垫。 通过具体问题情境的创设，激发学生学习的积极性。 （二）问题解决

方案一：小明同学在公园里调查1000名老年人一年中生病的次数。 方案二：小颖同学到本地区的一个医院与院方取得联系，了解1000名老年人一年来医院看病的情况，即生病的次数。

方案三：小亮同学调查自己的老年人邻居了解老年人在一年中生病的次数。 问题：

（1）你同意他们的做法吗？说说你的理由。

（2）为了了解该地区老年人的健康状况，你认为应当怎样收集数据？与同伴交流。

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（3）小华利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人，发现他们一年平均生病3次左右，你认为他的调查方式如何？

学生通过四人小组的讨论可以做出判断，主要会选方案一、方案三，并能说出自己的理由。

选方案一的，觉得方案二的对象特殊，都是在医院里的，而方案三则因为数量太少。大部分同学不会选方案二。选方案三的同学会觉得，在公园里的调查对象相对都是比较健康的老人，也不行，也可能觉得都不行等等不同的结论。对学生再给出的收集的数据的各种方法作出评价与肯定。对小华的调查数据的收集方式进行讨论交流。

观察三种方案，并能对各方案进行比较、分析。进一步巩固统计图表的有关知识，让学生通过问题引起样本的代表性与广泛性的问题的思考。

通过四人小组的讨论培养学生合作交流的能力；同时缩小差生面，培养学生分析问题解决问题的能力。

对这前面三种方案交流讨论完以后，对抽样调查有所了解的情况下，说说你认为应当怎么样收集数据，并评判小华的方案的合理性。

（三）我的调查我做主

问题：我们班同学最喜欢哪一项体育活动？

篮球、跳绳、游泳、其它、由学生主持开展这个活动，对于交流讨论的结论由主持人总结出会出现各种情况和结果，对各种情况进行比较分析如：调查了和自己较好的6个同学；通过学生自己对身边的事务开展的调查，对自己收集到的数据的处理得到的结论的交流，结论产生差异引发同学们的讨论。

排随机抽样（如抽签等）得出，通过活动让学生自己从收集、整理、描述和分析数据的活动中体会不同的抽样可能得到不同的结果，最后全班讨论交流。

调查了5名男生；调查了9名女生；调查了14名同学其中男生7人，女生7人等多种情况

学生的讨论，通过讨论交流加深对样本知识的理解，培养学生动手实践的能力。整个过程全由学生自主参与完成，教师适时点评。

（四）反思与提高 1．议一议

（1）抽样调查时应注意什么？ （2）抽样调查的优点与缺点是什么？

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2．练一练

结合前面的各种情况说出抽样调查时样本的选取应注意事项。对比两种调查总结出各自的优、缺点。

加深学生对知识的理解；同时培养学生归纳问题解决问题的能力。 （四）课堂小结 1．抽样调查的优缺点；

2．抽样调查应注意的问题。生通过学习，可以轻松得出总结回顾知识，进一步提高对知识点的理解与掌握。

【教学反思】

通过一堂活动课，我注重引导学生进行自主探索，分析与交流，感悟知识的生成，并能通过学生自己的实践活动而来验证它，这让学生在这两个相辅相承的环节中体会知识、理解知识。培养学生主动探索、敢于实践、合作交流的精神与意识。

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从图表中的数据获取信息

【教学目标】

一、使学生通过比较统计图，理解各种统计图各自的特点，会从中获取有用的信息。

二、体会统计对决策的作用。

【教学重难点】

根据实际问题，会从图表中获取有用的、正确的信息。

【教学过程】

导入新课： 各种形象性的图表，反映了被描述对象的重要内容、变化情况和特点。它们被称为图表的信息。怎样从图表中获取信息呢？本节我们就一起来研究——从图表中的数据获取信息。 推进新课： 一、图表信息 活动一：学生看课本的问题1和例题，回答其中的问题。 特别提醒：图表反映的信息有两类，一是能直接从图表中看出，二是需要通过具体分析思考才能得出。 二、不规范统计图 活动二：问题：下表是某位同学在“抛硬币”游戏活动中记录的结果。 投币结果 正面 反面 10次 频数 3 7 频率 30% 70% 20次 频数 11 9 频率 55% 45% 50次 频数 22 28 频率 44% 56% 下面两图都是根据上表中抛硬币50次得到的频数做出的条形统计图。 144 / 148

想一想：这两图对上表的反映是否正确？它们的异同点是什么？（学生分小组讨论完成）

思考：

（一）你认为哪一张更合理？ （二）另一张图不合理在什么地方？

（三）通过对两张图分析，你获得哪些知识？ 解：

（一）第一个图合理。

（二）原因是：第二个图的纵轴表示的数据起点不是0，并且纵轴上单位长度不一致。

（三）我们要有规范作图与仔细审题的思想意识，同时要关注数据的来源，收集的方法和描述的形式，以便获得更可靠的信息。

特别提醒：不规范统计图经常出现在条形图和扇形图中，主要有：（一）纵轴的数不是从0开始；（二）纵轴的数据单位不一致。 三、根据统计图做出判断

例（一）A市晚报刊出了该市几种报纸发行量统计图及其附带的说明。

A市2010年报纸发行量统计

1．从图中你得到了怎样的信息，你同意晚报的宣传吗？

2．根据图中A市几种报纸的发行量，时报刊出了另一幅统计图：

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想一想：

3．比较晚报和时报刊出的两幅统计图以后，有什么感受？该市几家报纸发行量的差别大吗？

4．为什么两幅统计图表示的数据相同，给人的感觉却不一样？ 教师提出问题，学生独立完成，再分组讨论交流答案。

例（二）宁波港年货物吞吐量位居大陆第二，世界第五；如图是宁波港1994年～2004年货物吞吐量统计图。

1．从统计图中你能发现哪些信息，请说出两个。

2．有人断定宁波港货物吞吐量每两年的平均增长率都不超过15%，你认为他的说法正确吗？请说明理由。

解：

1．从统计图中能发现： （1）货物吞吐量每年都在增长。 （2）2004年货物吞吐量为22000万吨。 2．不正确，可以以2002～2004年为例说明。 四、巩固训练：课本练习 五、本课小结

（一）图表反映的信息有两类，一是能直接从图表中看出，二是需要通过具

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体分析思考才能得出。 （二）不规范统计图经常出现在条形图和扇形图中，特别注意： 1．纵轴的数不是从0开始； 2．纵轴的数据单位不一致。 （三）“巧用”不合理的统计图 统计图是表示数据的重要方法之一，具有直观、简明的优点，如果绘画不合理，就会给人造成错觉，而巧妙地利用错觉则可以收到一些意外的效果。 1．巧在同时减去一个相同的量 小张是青山牌啤酒的经销商，在某市负责总经销，他对去年在该市销售的几种品牌的啤酒与青山牌啤酒的销售量作了调查，得到如下表的结果： 啤酒品牌 A B 450 C 600 D 550 青山牌 900 500 销售量（万箱）为了宣传青山牌啤酒销售量的优势，小张准备绘制一张条形统计图，一开始得到的是图1，后来左看右看觉得青山牌啤酒的销售量虽然比其他品牌大，但优势似乎还是不太突出，他灵机一动，把各种品牌的销售量都减去400万箱，结果把图1缩减为图2。 显然，像图2这种纵轴不从零开始的条形统计图是不合理的，它容易给人一种错觉和误解，稍不注意便会以为青山牌啤酒的销售量是其他品牌销售量的几倍，甚至十几倍，但这种“效果”正是经销商小张所希望看到的。 2．巧在底边和高按同样的比例扩大 洁佳牌洗衣粉公司为了宣传其公司洗衣粉在同类品牌洗衣粉中的销量最大，他们把该品牌洗衣粉销售量与其他品牌洗衣粉的销售量对比绘制了如图3的广告，并形象地用洗衣粉袋子代替条形图。 147 / 148

图3

从销售量来看，洁佳牌的高画成利净牌高的2倍没有错，但底边也画成2倍显然是不合理的，但这种不合理却给洁佳牌洗衣粉的销售量带来了意外的宣传效果，因为人们一见两种品牌的销售量马上就以为洁佳牌的销售量是利净牌销售量的好几倍。造成这种错觉的原因是底边的长度不相等。

可见，不合理统计图有利也有弊，利的是商家，他们有意制造错觉，故意夸大其产品的销售量，具有隐蔽的“欺骗性”，属于非法行为。但如果是公司内部用来鼓励公司职工的积极性，让职工们看到自己产品在同类产品中位列前茅，从而激发他们的工作热情无疑是一种很巧妙的做法。

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