1．基本不等式：ab≤
a＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba
(2)＋≥2(a，b同号)． ab(3)ab≤
a＋b2
2 (a，b∈R)．
a2＋b2a＋b2(4)≥
22 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个
2正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝cos x＋
π4
0，的最小值等于4.( ) ，x∈2cos x
xy
(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )
yx(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．( )
1
(4)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.( )
a
a＋b
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥ab有相同的成立条件．( )
2(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( ) 题组二 教材改编
2．[P99例1(2)]设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 B．77 C．81 D．82
3．[P100A组T2]若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 题组三 易错自纠
1
4．“x>0”是“x＋≥2成立”的( )
xA．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
1
5．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( )
x－2A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4
6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
例1 (1)已知0 x－1 2* 例2 (2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama2n＝a4(m，n∈N)，则 21 ＋的最小值为( ) mn 39 A．1 B. C．2 D. 22 2a＋3b 例3 已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝( ) a＋b14 A．有最大值 5C．有最小值3 14 B．有最小值 5D．有最大值3 19 跟踪训练1 (1)(2019·四平质检)设x>0，y>0，若xlg 2，lg2，ylg 2成等差数列，则＋的最xy小值为( ) A．8 B．9 C．12 D．16 41 (2)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是( ) a＋1b＋cA．2 B．3 C．4 D．6 题型二 基本不等式的综合应用 命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题 →→ 例4 (2018·洛阳统考)在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所在直线→→→→ 分别交于点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为( ) A．3 8C. 3 命题点2 求参数值或取值范围 1a 例5 (2018·中山模拟)已知不等式(x＋y)x＋y≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A．2 C．6 B．4 D．8 B．4 10 D. 3 π2sin Csin B 跟踪训练2 (1)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为 6sin C＋2sin Bsin C( ) A.3 2 33B. 45D. 38a＋b 的最ab 3C. 2(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则小值是( ) A．10 C．8 利用基本不等式求解实际问题 B．9 D．32 例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)xk 万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品 m＋1的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容