一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号
4分，否则一律得零分．
．
的空格内直接填写结果，每个空格填对得
1．（4.00分）设实数a满足log2a=4．则loga2=2．（4.00分）方程
的解为
2
．
2
a}∪{a}={1，a}则实数a=3．（4.00分）若两个集合{1，a}，{a}满足{1，4．（4.00分）设x＞0，则
2
．
得最大值为．
的图象不过原点，则m的
5．（4.00分）已知幂函数y=（m﹣9m+19）值为
．
6．（4.00分）已知函数y=f（x）是奇函数．若当x＞0时，f（x）=x+lgx，则当x＜0时，f（x）=
．
在（0，4]上是减函数，在[4，
7．（4.00分）设常数b∈R．若函数+∞）上是增函数，则b=
2
．
﹣1
8．（4.00分）函数f（x）=x﹣2x+2在（﹣∞，1）上的反函数f（x）=9．（4.00分）设x＜1，则
x
．
的值域为．
x
﹣（a+3）2+1=0有实数解，则实数a的取值范10．（4.00分）若关于x的方程4
围是．
2
11．（4.00分）关于x的二次不等式ax+2ax﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是
．
12．（4.00分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]?D使得f（x）：（Ⅰ）f（x）在[m，n]上是单调函数；（Ⅱ）f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，则称区间[m，n]为函数f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①f（x）=x2；②
；③
（填上所有你认为正确的序号）；
④
．
第1页（共14页）
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有3题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得一律得零分．
13．（4.00分）x＞1是“ｘ＞2”的（A．充要条件
B．必要条件
）
4分，否则
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
14．（4.00分）若a＞b＞c，a+b+c=0，则下列各是正确的是（A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞|b|c D．ab＞bc15．（4.00分）若直角坐标平面内两点①A，B均在函数f（x）的图象上；②A，B关于原点对称．
则称点对[A，B]为函数f（x）的一对“匹配点对”（点对[A，B]与[B，A]视作同一对）．
A，B满足：
）
若函数f（x）=，则此函数的“匹配点对”共有（）对．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题满分40分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸
相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（8.00分）已知函数（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）＜0，求x得取值范围．17．（10.00分）设常数a≠0，函数
．
（1）当a=1时，判断并证明函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性．（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数或偶函数？若存在，求出值，并判断相应的y=f（x）的奇偶性；若不存在，说明理由．
18．（10.00分）设常数a∈R，函数f（x）=4﹣a?2+1，x∈[1，2]．（1）当a=2时，求函数
的值域．
第2页（共14页）
x
x+1
a的
（2）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．
19．（12.00分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x，其中a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．
（2）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=bf（a）有三个不相同的实数解，求实数b的取值范围．
第3页（共14页）
2015-2016学年上海市杨浦区控江中学高一
学试卷
参考答案与试题解析
（上）期末数
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号
4分，否则一律得零分．
．
的空格内直接填写结果，每个空格填对得
1．（4.00分）设实数a满足log2a=4．则loga2=【解答】解：∵实数a满足log2a=4，∴a=24=16，∴loga2=log162=故答案为：
．
=．
2．（4.00分）方程的解为{﹣1，1} ．
【解答】解：由题意，x2+1=2，∴x=±1，故答案为{﹣1，1}．
223．（4.00分）若两个集合{1，a}，{a}满足{1，a}∪{a}={1，a}则实数a=
﹣1
或0．
2
2
【解答】解：∵两个集合{1，a}，{a}满足{1，a}∪{a}={1，a}，∴a=a或a=1，由a=a，得a=0或a=1，由a2=1，得a=1或a=﹣1，
当a=﹣1时，{1，a}∪{a2}={1，﹣1}∪{1}={1，﹣1}，成立；当a=0时，{1，a}∪{a2}={1，0}∪{0}={1，0}，成立；当a=1时，{1，a}={1，1}，不成立．∴实数a的值为﹣1或0．故答案为：﹣1或0．
第4页（共14页）
22
2
4．（4.00分）设x＞0，则【解答】解：由x＞0，令y=
2
2
2
2
得最大值为≥0，
2
．
可得：y=x（1﹣4x）=×4x（1﹣4x）≤当且仅当x=∴故答案为：
时取等号，
．
=，∴．
的最大值为．
5．（4.00分）已知幂函数y=（m﹣9m+19）值为
3
．
2
的图象不过原点，则m的
【解答】解：根据题意，得
；
解m﹣9m+19=1，得m=3，或m=6；
当m=3时，2m﹣7m﹣9=﹣5≤0，满足题意；当m=6时，2m2﹣7m﹣9=11＞0，不满足题意；∴m=3．故答案为：3．
2
2
6．（4.00分）已知函数y=f（x）是奇函数．若当x＞0时，f（x）=x+lgx，则当x＜0时，f（x）=
x﹣lg（﹣x）
．
【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数．当x＞0时，f（x）=x+lgx，∴当x＜0时，﹣f（x）=（﹣x）+lg（﹣x），∴f（x）=x﹣lg（﹣x）．故答案为：x﹣lg（﹣x）．
第5页（共14页）
7．（4.00分）设常数b∈R．若函数+∞）上是增函数，则b=【解答】解：由题意故答案为4．
4
．
在（0，4]上是减函数，在[4，
=4，∴b=4．
（﹣∞，1）上的反函数f（x）=8．（4.00分）函数f（x）=x﹣2x+2在＞1
．
2
2
﹣1
1﹣．x
【解答】解：∵函数f（x）=y=x﹣2x+2，x∈（﹣∞，1），∴x=1﹣
，y∈（1，+∞），
﹣1
x，y互换，得：反函数f（x）=1﹣故答案为：1﹣
．x＞1．
．x＞1．
9．（4.00分）设x＜1，则【解答】令f（x）=＞0，
，
的值域为（﹣∞，﹣1] ．
，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0.1）递减，∴f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]．故答案为：（﹣∞，﹣1]．
xx10．（4.00分）若关于x的方程4﹣（a+3）2+1=0有实数解，则实数a的取值范
围是[﹣1，+∞）．
x的方程4﹣（a+3）2+1=0有实数解，即
x
x
【解答】解：关于2
a+3=2+
x
≥
=2，当且仅当x=0时取等号．
∴a≥﹣1，
所以a的范围为[﹣1，+∞）故答案为：[﹣1，+∞）．
第6页（共14页）
2
11．（4.00分）关于x的二次不等式ax+2ax﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则a的
取值范围是{a|﹣4＜a＜0} ．
【解答】解：∵该不等式是关于x的二次不等式，∴a≠0．又∵一元二次不等式ax+2ax﹣4＜0对一切x∈R恒成立，∴a满足
，解得﹣4＜a＜0．
2
故a的取值范围是{a|﹣4＜a＜0}．
12．（4.00分）已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间[m，n]?D使得f（x）：（Ⅰ）f（x）在[m，n]上是单调函数；（Ⅱ）f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]，则称区间[m，n]为函数f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有①f（x）=x；②
2
①②④
；
（填上所有你认为正确的序号）④
．
；③
【解答】解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[m，n]内是单调函数，②
，
①f（x）=x，若存在“倍值区间”[m，n]，倍值区间”[0，2]；=x，存在“
2
2
??，∴f（x）
②f（x）=（x∈R），若存在“倍值区间”[m，n]，当x＞0时，?mn=，
故只需mn=即可，故存在；③
；当x＞0时，在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调
递增，若存在“倍值区间”[m，n]?[0，1]?m+=2n，n+=2m?m2﹣2mn+1=0．n2﹣2mn+1=0
2
不符题意；若存在“倍值区间”[m，n]?[1，+∞）?m+=2m，n+=2n=n?m
2
?m=n=1不符题意，故此函数不存在“倍值区间“；
第7页（共14页）
22
④．，当x∈[0，1]时，f′（x）＞0，当x∈[1，
+∞）时，f′（x）＜0，在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，+∞）上单调递减，若存在“倍值区间”[m，n]?[0，1]，存在“倍值区间”[0，故答案为：①②④
]；
，∴m=0，n=
，即
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有3题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得一律得零分．
13．（4.00分）x＞1是“ｘ＞2”的（A．充要条件
B．必要条件
）
4分，否则
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【解答】解：若“ｘ＞1”，则“ｘ＞2”不成立，反之，“ｘ＞2”时“ｘ＞1”，成立，故选：C．
14．（4.00分）若a＞b＞c，a+b+c=0，则下列各是正确的是（A．ab＞ac B．ac＞bc C．a|b|＞|b|c D．ab＞bc【解答】解：∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴a＞0＞c．∴ab＞ac．故选：A．
）
15．（4.00分）若直角坐标平面内两点①A，B均在函数f（x）的图象上；②A，B关于原点对称．
A，B满足：
则称点对[A，B]为函数f（x）的一对“匹配点对”（点对[A，B]与[B，A]视作同一对）．
第8页（共14页）
若函数f（x）=，则此函数的“匹配点对”共有（）对．
A．0 B．1 C．2 D．3
2
【解答】解：函数y=﹣x﹣4x （x＜0）关于原点对称的图象解析式为（x＞0），只需考查y=
与y=x﹣4x （x＞0）的交点个数即可，
2
y=x﹣4x
2
在同一直角坐标系中画出两图象，如图所示，可得匹配点对故选：B．
”共有1对．
三、解答题（本大题满分40分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸
相应编号的规定区域内写出必要的步骤．16．（8.00分）已知函数（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若函数f（x）＜0，求x得取值范围．【解答】解：（1）由题意得：解得：﹣1＜x＜1，
故函数的定义域是（﹣1，1）；（2）若函数f（x）＜0，即即0＜
＜0，＜1，
＞0，
解得：0＜x＜1．
第9页（共14页）
17．（10.00分）设常数a≠0，函数．
（1）当a=1时，判断并证明函数y=f（x）在（1，+∞）上的单调性．（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）为奇函数或偶函数？若存在，求出值，并判断相应的y=f（x）的奇偶性；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lg令y=
，则y′＝
＞0，即函数y=
，
，在（1，+∞）上单调递增，
a的
∴函数y=f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）f（﹣x）=lg
，f（﹣x）+f（x）=0，
可得（x﹣1+2a）（x+1﹣2a）=（x﹣1﹣3a）（x+1+3a），∴a=﹣2，函数是奇函数．
18．（10.00分）设常数a∈R，函数f（x）=4﹣a?2+1，x∈[1，2]．（1）当a=2时，求函数
的值域．
xx+1
（2）若函数f（x）的最小值为0，求a的值．
【解答】解：（1）a=2时，f（x）=（2x）2﹣4?2x+1=（2x﹣2）2+3，令2x=t，∵x∈[1，2]，∴2x∈[2，4]，即t∈[2，4]，则f（t）=（t﹣2）+3，t∈[2，4]，故f（t）在[2，4]递增，
f（t）的最小值是f（2）=3，f（t）的最大值是f（4）=7，故g（x）的值域是[
x2
，]；
x+1
x
2
2
（2）函数f（x）=4﹣a?2+1=（2﹣a）+1﹣a，x∈[1，2]，令2x=t，∵x∈[1，2]，∴2x∈[2，4]，即t∈[2，4]，故f（t）=（t﹣a）2+1﹣a2，t∈[2，4]，a≤2时，f（t）在[2，4]递增，
2
+1﹣af（t）的最小值是f（2）=（2﹣a）=0，
2
解得：a=，符合题意；
2＜a＜4时，f（t）在[2，a）递减，在（a，4]递增，
第10页（共14页）
故f（t）的最小值是f（a）=1﹣a2=0，解得：a=±1，不合题意；a≥4时，f（t）在[2，4]递减，
f（t）的最小值是f（4）=（4﹣a）+1﹣a=0，解得：a=
，不合题意；
2
2
综上，a=．
19．（12.00分）已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x，其中a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求a的取值范围．
（2）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=bf（a）有三个不相同的实数解，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=x|x﹣a|+2x=
，
由f（x）在R上是增函数，则，即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2
（2）①﹣2≤a≤2，f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，关于x的方程f（x）=bf（a）不可能有三个不相等的实数解．②当2＜a≤4时，由（1）知f（x）在（﹣∞，数，在[
，a]上是减函数，
时，方程f（x）=b?f（a）有三个不相等的实数
]和[a，+∞）上分别是增函
当且仅当2a＜b?f（a）＜解．即1＜t＜
=（a++4）．
令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．
∴实数t的取值范围是（1，）．
赠送：初中数学几何模型举例
第11页（共14页）
【模型四】几何最值模型：图形特征：
B
A
P
P
A'
l
A
B
C
D
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
A
E
M
F
B
P
C
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则
EF+BF的最小值为_________。
D
C
F
A
E
B
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与
△POQ的两直角边分别交于点
M处，以MA、B。
第12页（共14页）
（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．
求出最小值；若不存在，请说明理由．
△AOB的周长是否存在最小值．若存在，
P
M
A
OB
Q
4.如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交别是AD，AB上的动点，则
BM+MN的最小值是
.
BC于点D，M和N分
C
D
M
A
N
B
5.如图，△ABC中，BAC60，ABC45
，AB=22，D是线段BC上的一个动
。
点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为
第13页（共14页）
A
O
E
F
B
D
C
6. 在平面直角坐标系中，矩形正半轴上，OA
3，OB
OACB的顶点O在坐标原点，顶点4，D为边OB的中点.
△CDE的周长最小时，求点
A、B分别在x轴、y轴的
（1）若E为边OA上的一个动点，当E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、
F的坐标.
yB
C
B
y
C
D
D
O
EA
x
O
Ax
第14页（共14页）
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