试题研究＞解题技巧， 一Ｌ…一 一一 数学教学通讯（教师版） 投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３ ｃｏｍ 道课本题的多种证明方法 傅世球 湖南怀化学院４１８００８ 雌 瑚蝴 一螈桃 吕承宗在今年的《数学教学通讯》第 二期发表了《应用构造法证明课本题》一 注：读者可以看出，此证法先用平行 注：此证法的思维过程仍然是先用射 影定理．再用合比定理．最后用放缩法． 证法４如图４。ＡＢＣ为直角三角形， 截割定理，再用合比定理．最后用放缩法 达到了目的． 文，笔者读后很受启发．联想到笔者２００３ 年在《招生考试通讯》第一期发表的《新想 法是旧成分的新组合》中对同一道课本题 的十种证法．笔者还想补充几种证法，以 便开阔中学生的证题思路・课本原题是 这样的：已知Ⅱ，ｂ，ｍ∈ ， ６ｊ ＞ 证法２（构造切割线定理法）如图２， 是圆Ｄ的切线，且 ＝ｍ，尸ｃ是０Ｄ的割 ＤＦ＝ＣＥ＝ａ，船＝ｍ，按定义，有ｓｉｎ Ａ：詈 叶线，－￣－ＰＢ＝ａ，ＰＣ＝ｂ，ｍ＞ａ，由切割线定理，有 ：船．ＰＣ．￣ｐｍＺ－－ａｂ．所以 ：旦所以 ｍ ａ＋ｍ ＜——． ｂ＋ＢＤ ｂ＋ｍ ．ｂ ｍ ｂ４－ｍ ｂ ｎ＋ｍ ｍ ｎ ＝～一＞—— ６＋，ｎ ｂ ｂ 口 ｍ Ⅱ Ｃ （ ；构造图形法 证法１（构造平行截割定理法）如图 图４ Ｆ １．ＦＨ－￣Ａｃ被一组平行线ＡＦ／／ＢＧ／／Ｃｔｔ￣￣ｒ 截．遭Ａ点 作ＡＥ Ｈ。丑ＦＧＩＡＤ＝ａ．ＧＨ＝ 图２ ＤＥ＝ｍ，ＡＢ＝ｂ，ｂ＞ａ，ＢＣ＞ｍ．由平行截割定 证法３（构造射影定理法）如图３，ＡＢ 是圆的直径，ＰＣＬＡＢ，ＰＣ＝ｍ，ＡＣ＝ｂ，ＢＣ＝ 构造分式函数法 证法５构造４ｉｔ．ｆ（ ）＝＿－ａ＋ｘ则－厂（０）＝ ，理，有詈 蠢， 曰ｃ＞ｍ．所以 ＞ ６＋ｍ ６ 詈・硼为 ０竹 ０，６＞。，由射影定理有ｍ２＝ｎ．ｂ．所以旦＝ ｍ ．要 厂（ｍ）＝＿ａ＋ｍ ｍ）＞厂（０）只要证 ，ｂ ．ｂ＋ｍ 所以一ａ＋ｍ ＞旦 ｂ ｂ＋ｍ ｂ ｂ 明＿厂（ ）在［０，＋∞ 上是增函数就可以了． 事实上 厂（ ）＝ ＝ｌ一 ，又Ⅱ＜６，＿￣Ｌ ｂａ －．ｂ－ｉＸ ｂ－Ｉｘ ｂ－ｉｘ 是［０，＋。。）上的减函数，所 厂（ ）＝１一 ｂ慨 图１ 图３ ｆ下转第５８页１ ０５４ 试题研究）试题探究 数学教学通讯（教师版） 投稿部箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｍ 举一反三，成片开发 一道值得回味的高考数学试题，要低起点，高立意，不仅能 （６）设双曲线ｃ：詈一言＝１，点Ｐ（ 。，ｙ０）满足。＜菩一吾＜ｌ，则直 线 一 ＝１与双醢线ｃ有公共点． Ｉｒ ０ 有多种解法，体现多元目标，而且还应该是一粒思维的“种子”， 是平中孕奇的土壤，由此出发可以“成片开发”出一系列成果． （７）已知抛物线 ：２ｐ （ｐ＞０），点ｐ（ （Ｉ）设圆Ｃ： 。 ＝ ，点Ｐ（ ｏ，ｙｏ）满足Ｃ：Ｏ＜ｘｏ％ｙｏＺ＜Ｒ ，则直线 ｘｃｃ＋ｙｏｙ＝Ｒ 与圆Ｃ没有公共点． ）满足 ＜ ‰，则直线 ｙｏＹ＝ｐ（ 极。）与抛物线没有交点． ，则直线 ＋ （２）设圆ｃ： ： ，点Ｊｐ（ ｏ，ｙｏ）满足ｃ： ＋ｙ （８）已知抛物线 ＝２ｐ ＞０），点Ｐ（‰， ）满足 ＞ ‰，则直线 （ 慨ｏ）与抛物线有交点． ｙｏｙ＝Ｒ 与圆Ｃ有公共点． （３）设椭圆ｃ： Ｘ，２＋吾＝１，点Ｐ（‰，ｙ０）满足。＜菩＋吾＜１，则直线 ｘ ｏｘ（９）设椭圆ｃ： 旷 Ｄ＋｛；：１， 且直线 ｘｏｘ＋ ：１与椭圆ｃ没有公 ｃｒ Ｄ ＋ ＝ｌ与椭圆ｃ没有公共点， Ｏ （ｒ 共点，则点 勘，ｙ０）满足ｏ＜ ＋芸＜１ ．Ｃｒ Ｄ （４）设椭圆ｃ：菩＋吾＝１，点Ｐ（ ｙ０）满足害＋鲁 ｌ，则直线 ＋ ＝１与椭圆ｃ有公共点． Ｃ Ｄ 通过上述命题的证明可以发现湖北高考（文１５）的曲线选 择、设问方式、求解思路要优于其他曲线（圆、双曲线、抛物线）， 形象的几何背景、多种的思考入口、丰富的知识交汇，兼具基础 （５）设双曲线ｃ：薯一言：ｌ，点Ｐ（ ｙｏ）满足詈２一吾＞１，则直线 等一 ｙｏｙ＝ｌ与双曲线ｃ没有公共点 性、发展性、探究性的特点，充分体现“不同的人在数学上得到不 同的发展”这一高考命题思路，因此我们有理由说此题是一道佳 题．也会成为高考数学的一个经典 （上接第５４页） 用放缩法来证明 证法７因为。，ｂ，ｍ均为正实数，－ｌｆ－ａ＜ 叶 以观察为基础．以想象为翅膀，以记忆为 保证．以思维为核心的重要方法．古希腊 哲学家亚里士多德说：“我们的思维是从 是［０，＋ ）上的增函数．所以 ＞导 ｂ＋ｍ ６ 函数值域法 证法６令ｖ： ．则ｍ： ．又因 ｉｔｂ．所以旦＜１所以旦：旦．ｂ＋Ｆ：一 ＜ ｂ ｂ ｂ ６ ｂ＋ｍ ．与正在寻求的事物相类似的事物、相反的 事物或者与它相接近的事物开始进行的， 以后，便追寻与它相关联的事物，由此产 ｂ＋ｍ ｂ＋ｍ Ｙ一１ 生联想．”联想是客观事物普遍联系的规 律和大脑的联结功能在心理思维的反映． 综上所述，学生还可以构造图形，得 所以（ｙ－１）（６ｙ ）‘＜ 为ｍ＞０，所以害＞ｎ 出更多的证明方法只要抓住联想就行． ，想象伴随着联想．联想是想象的初级阶 事实上，证题的过程就是一个“联想”的过 Ｑ所以詈＜ｙ＜ Ｐ 詈 注：这种方法的思维途径是为了求函 数），的值域，可以解出用 来表示ｍ的逆变 段，而联想唤起对公式的回忆。并触发灵 感．联想分有意联想与无意联想，前者是 有意志、有目的的联想：后者则相反．徐 利治教授说：“联想是一种思维活动．简单 地说，就是把不同的事物联系起来的一种 思想方法．” 程，让学生通过“联想”使其在知识的海 洋、天空中翱翔．什么是联想呢？联想就 是一种既有目的又有方向的想象．它是由 当前感知或思考的事物想起的相似、相 关、相反或相接近事物的心理活动．它是 换，即ｙ的分式函数，从而求出），的值域，达 到目的． ０５８