一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1.
下列运算正确的是( )
A. 𝑎3+𝑎2=𝑎5
2.
B. 𝑎3÷𝑎=𝑎3 C. 𝑎2⋅𝑎3=𝑎5 D. (𝑎2)4=𝑎6
一个三角形的两边长为4和6，第三边的边长是方程(𝑥−2)(𝑥−7)=0的两根，则这个三角形的周长是( )
A. 12
3.
B. 12或17 C. 17 D. 19
下列各式中，不论𝑥取何值，一定有意义的式子是( )
A. 𝑥+2
4.
2
B.
𝑥−13
C. √𝑥+3 D. (𝑥−4)0
数据0.00000072科学记数法表示正确的是( )
A. 7.2×107
5.
B. 7.2×10−7 C. 72×10−7 D. 72×10−6
如图，𝐴𝐷是正五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的一条对角线，则∠𝐵𝐴𝐷=( )
A. 36° B. 30° C. 72° D. 60°
6.
下列多项式中能用完全平方公式分解的是( )
A. 𝑥2−𝑥+1
7.
B. 1−2𝑥+𝑥2 C. −𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏 D. 4𝑥2+4𝑥−1
下列条件中，不能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是( )
A. 𝑎：𝑏：𝑐=3：4：5 C. ∠𝐴+∠𝐵=∠𝐶
8.
B. ∠𝐴：∠𝐵：∠𝐶=3：4：5 D. 𝑎：𝑏：𝑐=1：2：√3
若𝑥2+𝑘𝑥+9是一个完全平方式，则𝑘的值为( )
A. 𝑘=±6
9.
B. 𝑘=−6 C. 𝑘=6 D. 𝑘=3
一汽艇保持发动机功率不变，它在相距30千米的𝐴，𝐵两码头之间流动的河水中往返一次(其中汽艇的速度大于河水的速度)与它在平静的湖水中航行60千米比较，两次航行所用时间的关系是( )
A. 在平静的湖水中用的时间少 C. 两种情况所用时间相等
B. 在流动的河水中用的时间少 D. 以上均有可能
10. 如图，在等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，对角线𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于点𝑂，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，垂足分别
为𝐸、𝐹，𝐴𝐷=4，𝐵𝐶=8，则𝐴𝐸+𝐸𝐹等于( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
𝐷是𝐵𝐶边上一点，∠𝐶𝐴𝐷=60°，11. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，且𝐷𝐵=𝐴𝐷=𝐴𝐶，
则∠𝐵为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
2条、3条“金鱼”……，12. 如下图是小明用火柴棒搭的1条、则搭𝑛条“金鱼”需要火柴 根
.
A. 8𝑛 B. 6𝑛+2 C. 6𝑛 D. 5𝑛+3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 分解因式：−4𝑥2+4𝑥𝑦−𝑦2= ______ ．
𝐴𝐶=𝐷𝐹，14. 在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中，已知𝐴𝐵=𝐷𝐸，要证明△𝐴𝐵𝐶≌𝐷𝐸𝐹，所缺的一个条件是______
(填符合条件的一个即可)．
15. 如图，过点𝐴(2,0)作直线𝑙：𝑦=√𝑥的垂线，垂足为点𝐴1，过点𝐴1作𝐴1𝐴2⊥𝑥轴，垂足为点𝐴2，
3
过点𝐴2作𝐴2𝐴3⊥𝑙，垂足为点𝐴3，…，这样依次下去，得到一组线段：𝐴𝐴1，𝐴1𝐴2，𝐴2𝐴3，…，则线段𝐴2018𝐴2019的长为______．
3
16. (1)(𝑏+2𝑎)(______ )=4𝑎2−𝑏2；
(2)若𝑥+𝑦=5，𝑥𝑦=1，则 𝑥2+𝑦2= ______ ． 17. 分解因式：𝑎3𝑏𝑐−𝑎𝑏3𝑐= ______ ；分式方程𝑥−3=
15
24𝑥
的解为______ ．
18. 如图，𝐴𝐵//𝐷𝐸，𝐴𝐶=𝐷𝐹，∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐹𝐶𝐸，则𝐵𝐶与𝐸𝐹的关系为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共66.0分） 19. (1)计算：−12020+|√3−2|+𝑡𝑎𝑛60°+(2)−3； (2)先化简，再求代数式(1−)÷𝑥−2
20. (1)解方程：(2𝑥+1)(𝑥+2)=3 (2)解方程：𝑥+𝑥−1=𝑥2−𝑥
21. 如图，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)交坐标轴于𝐴，𝐶两点，𝐴、𝐵关于𝑦轴对称，𝐷在𝑦轴上，且∠𝐶𝐵𝐷=
∠𝐶𝐷𝐵，𝐸、𝐹分别是线段𝐶𝐵、𝐴𝐶延长线上一点，且𝐷𝐸=𝐷𝐹，试判断𝑂𝐶、𝐶𝐸、𝐶𝐹三者之间有怎样的数量关系？并加以证明．
3
6
𝑥−3
1
𝑥2−6𝑥+94−2𝑥
1
的值，其中𝑥2+3𝑥−10=0．
22. 2019年8月，因暴雨某县受灾，某市抗灾基金会组织一批救灾物资用15列车厢组成的一列火车
运到该县，两地相距180𝑘𝑚，为了更快的到达目的地．列车以原速的1.5倍行驶，这样提前了半小时到达．
(1)求提速后列车的速度；
(2)若车厢分𝐴、𝐵两种组成，每个𝐴种车厢能运送5万元的救灾物资，每个𝐵种车厢能运送7万元的救
灾物资，总物资不低于是85万，那么最多可安排多少个𝐴种车厢？
23. 若𝑦=√𝑥−2+√2−𝑥+3，求(𝑥+2)(𝑦−3)−(𝑥−5)(𝑦+2)的值．
24. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐵=15，𝑠𝑖𝑛𝐴=5.点𝑃从
点𝐴出发，以每秒3个单位长度的速度沿𝐴𝐶−𝐶𝐵运动，到点𝐵停止；点𝑄从点𝐵出发，以每秒2个单位长度的速度沿𝐵𝐶−𝐶𝐴运动，到点𝐴停止.𝑃、𝑄两点同时出发，到各自的终点时停止.当点𝑃、𝑄
不与点𝐶重合时，过点𝐶作直线𝑙，使点𝐴、𝐵在直线𝑙同侧，过点𝑃、𝑄分别作直线𝑙的垂线，垂足分别为点𝐸、𝐹.设点𝑄运动时间为𝑡(秒)． (1)求△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶，𝐵𝐶的长． (2)当𝑡=2时，求𝐶𝐹的值．
(3)当△𝑃𝐸𝐶与△𝑄𝐹𝐶的面积比为1：1时，求𝑡的值．
𝐸𝑃
3
参考答案及解析
1.答案：𝐶
解析：
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 解：𝐴、𝑎3+𝑎2，不是同类项，无法合并，故此选项错误； B、𝑎3÷𝑎=𝑎2，故此选项错误； C、𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，正确； D、(𝑎2)4=𝑎8，故此选项错误； 故选：𝐶．
2.答案：𝐶
解析：解：方程(𝑥−2)(𝑥−7)=0， 解得：𝑥1=2，𝑥2=7，
若𝑥=2，三边为2，4，6，2+4=6，不能构成三角形，舍去； ∴𝑥=7，即三角形第三边为7， 则这个三角形的周长为4+6+7=17， 故选：𝐶．
利用因式分解法求出已知方程的解确定出第三边，即可确定出周长．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3.答案：𝐵
解析：解：𝐴、当𝑥=−2时，此式无意义，本选故项错误； B、不论𝑥取何值时，此式均有意义，故本选项正确； C、当𝑥<−3时，此二次根式没有意义，故本选项错误； D、当𝑥=4时，𝑥−4=0，无意义，本选故项错误； 故选：𝐵．
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案． 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
4.答案：𝐵
解析：解：0.00000072=7.2×10−7． 故选：𝐵．
绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.答案：𝐶
解析：解：∵五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸是正五边形， ∴𝐷𝐸=𝐴𝐸，∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸=
180°×(5−2)
5
=108°，
∴∠𝐷𝐴𝐸=(180°−108°)×=36°，
2
1
∴∠𝐷𝐴𝐵=108°−36°=72°， 故选C．
首先确定正五边形每个内角的度数，再根据等边对等角可得∠𝐷𝐴𝐸的度数，然后根据角的和差关系可得答案．
此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和定理：(𝑛−2)⋅180°(𝑛≥3)且𝑛为整数)．
6.答案：𝐵
解析：解：𝐴、𝑥2−𝑥+1不能用完全平方公式分解，故此选项错误； B、1−2𝑥+𝑥2能用完全平方公式分解，故此选项正确； C、−𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏不能用完全平方公式分解，故此选项错误； D、4𝑥2+4𝑥−1不能用完全平方公式分解，故此选项错误； 故选：𝐵．
根据完全平方公式：𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎±𝑏)2可得答案． 此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式．
7.答案：𝐵
𝐴、𝑏：𝑐=3：4：5，𝑏=4𝑥，𝑐=5𝑥，解析：解：正确，因为𝑎：所以设𝑎=3𝑥，则(3𝑥)2+(4𝑥)2=(5𝑥)2，故为直角三角形；
B、∠𝐵：∠𝐶=3：4：5，∠𝐶=5𝑥，错误，因为∠𝐴：所以设∠𝐴=3𝑥，则∠𝐵=4𝑥，故3𝑥+4𝑥+5𝑥=180°，解得𝑥=15°，3𝑥=15×3=45°，4𝑥=15×4=60°，5𝑥=15×5=75°，故此三角形是锐角三角形．
C、正确，因为∠𝐴+∠𝐵=∠𝐶，∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180°，则∠𝐶=90°，故为直角三角形； D、正确，12+(√3)2=22符合勾股定理的逆定理，故成立； 故选：𝐵．
根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．
此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键．
8.答案：𝐴
解析：解：∵𝑥2+𝑘𝑥+9是一个完全平方式， ∴𝑘=±6， 故选A
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定𝑘的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9.答案：𝐴
解析：解：汽艇在静水中所用时间=
30
30
60𝑎
．
汽艇在河水中所用时间=𝑎+𝑏+𝑎−𝑏．
30𝑎+𝑏
+
30𝑎−𝑏
−
60𝑎
>0．
60𝑎
∴𝑎+𝑏+𝑎−𝑏>
3030
．
∴在平静的湖水中用的时间少． 故选：𝐴
设汽艇在静水中的速度为𝑎千米/小时，水速为𝑏千米/小时，根据题意列出算式，然后再比较大小即可．
本题主要考查的是分式的减法，根据题意列出汽艇在静水中和河水中所用时间的代数式是解题的关键．
10.答案：𝐵
解析：试题分析：作辅助线：延长𝐵𝐶至𝐺，使𝐷𝐺//𝐴𝐶，由𝐴𝐷//𝐵𝐶，可知四边形𝐴𝐷𝐺𝐶为平行四边形，所以𝐷𝐺=𝐴𝐶，而等腰梯形中两对角线相等，所以𝐷𝐺=𝐵𝐷，而𝐷𝐹⊥𝐵𝐺，则△𝐴𝐸𝐶为等腰直角三角形，从而得到𝐹𝐶=𝐹𝐺−𝐴𝐷=2，则𝐸𝐹=𝐵𝐶−2𝐹𝐶=8−2𝐹𝐶=4，所以𝐴𝐸+𝐸𝐹=6+4=10．
过𝐷点作𝐴𝐶的平行线，交𝐵𝐶的延长线于𝐺点，
∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴四边形𝐴𝐷𝐺𝐶为平行四边形， ∴𝐷𝐺=𝐴𝐶， ∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴𝐷𝐺⊥𝐵𝐷， ∵等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷， ∴𝐴𝐶=𝐵𝐷， ∴𝐷𝐺=𝐵𝐷，
∴△𝐷𝐵𝐺为等腰直角三角形， ∴∠𝐺=∠𝐴𝐶𝐸=45°， ∴△𝐴𝐸𝐶是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐸=𝐶𝐸=𝐸𝐹+
𝐵𝐶−𝐴𝐷2
=6，
∴𝐹𝐶=6−4=2， ∵𝐸𝐹=𝐴𝐷=4， ∴𝐴𝐸+𝐸𝐹=6+4=10． 故选B．
11.答案：𝐴
解析：解：∵𝐴𝐷=𝐴𝐶，∠𝐶𝐴𝐷=60°， ∴△𝐴𝐷𝐶为等边三角形， ∴∠𝐴𝐷𝐶=60°， ∵𝐴𝐷=𝐵𝐷， ∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐷， ∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵=30°， 故选：𝐴．
根据已知条件易判定△𝐴𝐷𝐶为等边三角形，可得∠𝐴𝐷𝐶=60°，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求解．
本题主要考查等边三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，求解∠𝐴𝐷𝐶的度数是解题的关键．
12.答案：𝐵
解析：试题分析：本题考查整式的加减。先把鱼尾的两条火柴棒拿出来，那么每个图形有递增6条火柴棒，所以，可得6𝑛+2。故答案为𝐵。 考点：整式的加减
13.答案：−(2𝑥−𝑦)2
解析：解：原式=−(4𝑥2−4𝑥𝑦+𝑦2) =−(2𝑥−𝑦)2， 故答案为：−(2𝑥−𝑦)2．
首先提出负号，然后再利用完全平方公式进行分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.答案：𝐵𝐶=𝐸𝐹
解析：
解：𝐵𝐶=𝐸𝐹，
理由是：∵在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐹中 𝐴𝐶=𝐷𝐹{𝐴𝐵=𝐷𝐸 𝐵𝐶=𝐸𝐹
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹， 故答案为：𝐵𝐶=𝐸𝐹．
添加条件𝐵𝐶=𝐸𝐹，根据𝑆𝑆𝑆推出两三角形全等即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有𝑆𝐴𝑆，𝐴𝑆𝐴，𝐴𝐴𝑆，𝑆𝑆𝑆，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
32018
15.答案：(√ )2
解析：
30°角所对的直本题考查了规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，利用“在直角三角形中，角边等于斜边的一半”结合图形找出变化规律𝑂𝐴𝑛=(√)𝑛𝑂𝐴=2×(√)𝑛是解题的关键．
2
2
33根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“𝑂𝐴𝑛=(√)𝑛𝑂𝐴=2×(√)𝑛，依此规律即可
22解决问题．
解：由𝑦=√𝑥得∠𝐴𝑂𝐴1=30°，
3333∵点𝐴坐标为(2,0)， ∴𝑂𝐴=2， ∴𝑂𝐴1=
√3𝑂𝐴2√3=√3，𝑂𝐴2=
√33√3𝑂𝐴1═，𝑂𝐴322
=
3√3√3𝑂𝐴2═，𝑂𝐴424
=
9√3𝑂𝐴3═，…， 28
∴𝑂𝐴𝑛=(2)𝑛𝑂𝐴=2×(2)𝑛． ∴𝑂𝐴2018=2×()2018，
𝐴2018𝐴2109的长×2×(√)2018=(√)2018，
222故答案为(√)2018．
231
33√32
16.答案：(1)−𝑏+2𝑎；
(2)23．
解析：解：(1)∵(𝑏+2𝑎)(−𝑏+2𝑎)=4𝑎2−𝑏2， 故答案为：−𝑏+2𝑎； (2)∵𝑥+𝑦=5，𝑥𝑦=1，
∴𝑥2+𝑦2=(𝑥+𝑦)2−2𝑥𝑦=52−2×1=23， 故答案为：23．
(1)根据平方差公式的特点得出即可；
(2)根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
本题考查了平方差公式和完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
17.答案：𝑎𝑏𝑐(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏) 𝑥=8
解析：解：𝑎3𝑏𝑐−𝑎𝑏3𝑐=𝑎𝑏𝑐(𝑎2−𝑏2)=𝑎𝑏𝑐(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)； =𝑥−3
15
24𝑥
，
去分母得：15𝑥=24(𝑥−3)， 解得：𝑥=8，
检验：当𝑥=8时，𝑥(𝑥−3)≠0， ∴分式方程的解为𝑥=8．
故答案为：𝑎𝑏𝑐(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)；𝑥=8，
按照因式分解的定义，先提取公因式，再用公式法即可．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到𝑥的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了分解因式，通常按照因式分解的定义，先提取公因式，再用公式法即可．也考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.答案：平行且相等
解析：解：∵𝐴𝐵//𝐷𝐸， ∴∠𝐴=∠𝐷．
∵∠𝐴𝐹𝐵+∠𝐶𝐹𝐵=180°，∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐹𝐶𝐸=180°，∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐹𝐶𝐸， ∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐶𝐸．
∵𝐴𝐶=𝐷𝐹，𝐴𝐶=𝐴𝐹+𝐹𝐶，𝐷𝐹=𝐷𝐶+𝐶𝐹， ∴𝐴𝐹=𝐷𝐶． 在△𝐴𝐹𝐵和△𝐷𝐶𝐸中， ∠𝐴=∠𝐷{𝐴𝐹=𝐷𝐶， ∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐶𝐸
∴△𝐴𝐹𝐵≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐵𝐹=𝐸𝐶． ∵∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐹𝐶𝐸， ∴𝐵𝐹//𝐸𝐶，
∴四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为平行四边形， ∴𝐵𝐶与𝐸𝐹平行且相等． 故答案为：平行且相等．
由𝐴𝐵//𝐷𝐸，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠𝐴=∠𝐷，由等角的补角相等可得出∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，由𝐴𝐶=𝐷𝐹可得出𝐴𝐹=𝐷𝐶，进而可证出△𝐴𝐹𝐵≌△𝐷𝐶𝐸(𝐴𝑆𝐴)，利用全等三角形的性质可得出𝐵𝐹=𝐸𝐶，由∠𝐶𝐹𝐵=∠𝐹𝐶𝐸，利用“内错角相等，两直线平行”可得出𝐵𝐹//𝐸𝐶，结合𝐵𝐹=𝐸𝐶可得出四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为平行四边形，再利用平行四边形的性质可得出𝐵𝐶与𝐸𝐹平行且相等．
本题考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，利用全等三角形的性质及平行四边形的判定定理，证出四边形𝐵𝐶𝐸𝐹为平行四边形是解题的关键．
19.答案：解：(1)原式=−1+2−√3+√3+8
=9； (2)原式=
𝑥−2−1𝑥−2
÷
(𝑥−3)2
2(2−𝑥)
=
𝑥−32(2−𝑥)
⋅ 𝑥−2(𝑥−3)2=−𝑥−3，
解方程𝑥2+3𝑥−10=0，得𝑥1=−5，𝑥2=2， 当𝑥=−5时，原式=−−5−3=4， 当𝑥=2时，原式=−2−3=2， 所以，原式的值为4或2．
解析：(1)根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算即可； (2)根据分式的混合运算法则把原式化简，利用因式分解法解出方程，把𝑥的值代入化简后的式子计算，得到答案．
本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握绝对值的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
1
22
1
2
20.答案：解：(1)∵(2𝑥+1)(𝑥+2)=3，
∴2𝑥2+5𝑥−1=0， ∴𝑎=2，𝑏=5，𝑐=−1， ∴△=25+8=33， ∴𝑥=
−5±√33； 43
6
𝑥−3
(2)∵𝑥+𝑥−1=𝑥2−𝑥， ∴3(𝑥−1)+6𝑥=𝑥−3， ∴𝑥=0，
经检验，𝑥=0不是原方程的解，原方程无解 解析：(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案； (2)根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查方程的解法，解题的关键是熟练运用方程的解法，本题属于基础题型．
𝑂𝐶、𝐶𝐸、𝐶𝐹之间的数量关系为：𝐶𝐸=2𝐶𝑂+𝐶𝐹． 答：21.答案：
证明：作点𝐸关于𝑦轴的对称点𝐸′，连接𝐷𝐸′，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为𝐻，如图所示．
则点𝐸′必落在线段𝐶𝐴的延长线上，且有𝐷𝐸′=𝐷𝐸，𝐶𝐸′=𝐶𝐸． ∵𝐷𝐸=𝐷𝐹，∴𝐷𝐸′=𝐷𝐹． ∵𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，∴𝐸′𝐻=𝐹𝐻=2𝐸′𝐹． ∴𝐻𝐹=2(𝐶𝐸′+𝐶𝐹)=2(𝐶𝐸+𝐶𝐹)． ∵𝐴、𝐵关于𝑦轴对称，∴𝐶𝐴=𝐶𝐵． ∵∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐷𝐵，∴𝐶𝐷=𝐶𝐵． ∴𝐶𝐴=𝐶𝐷．
在△𝐴𝑂𝐶和△𝐷𝐻𝐶中， ∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐷𝐶𝐻
{∠𝐴𝑂𝐶=∠𝐷𝐻𝐶 𝐶𝐴=𝐶𝐷
∴△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝐻𝐶(𝐴𝐴𝑆)． ∴𝐶𝑂=𝐶𝐻．
∴𝐻𝐹=𝐶𝐻+𝐶𝐹=𝐶𝑂+𝐶𝐹． ∴𝐶𝑂+𝐶𝐹=2(𝐶𝐸+𝐶𝐹)． 整理得：𝐶𝐸=2𝐶𝑂+𝐶𝐹．
解析：作点𝐸关于𝑦轴的对称点𝐸′，连接𝐷𝐸′，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为𝐻，如图所示．可以证明𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐷𝐶，从而证到△𝐴𝑂𝐶≌△𝐷𝐻𝐶，则有𝐻𝐶=𝑂𝐶，根据等腰三角形的三线合一可以证明𝐻𝐹=2𝐸′𝐹.由𝐻𝐹=𝐶𝐻+𝐶𝐹=𝑂𝐶+𝐶𝐹，𝐸′𝐹=𝐸′𝐶+𝐶𝐹=𝐸𝐶+𝐶𝐹，𝐻𝐹=2𝐸′𝐹就可得到𝑂𝐶、𝐶𝐸、𝐶𝐹三者之间的数量关系．
本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，利用轴对称的性质将𝐶𝐸和𝐶𝐹转化到同一条线上是解决本题的关键．
1
1
1
1
1
1
22.答案：解：(1)设提速前列车的速度为𝑥𝑘𝑚/ℎ，则提速后列车的速度为1.5𝑥𝑘𝑚/ℎ，
依题意，得：
180𝑥
−1.5𝑥=0.5，
180
解得：𝑥=120，
经检验，𝑥=120是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5𝑥=180．
答：提速后列车的速度为180𝑘𝑚/ℎ．
(2)设安排𝑚个𝐴种车厢，则安排(15−𝑚)个𝐵种车厢， 依题意，得：5𝑚+7(15−𝑚)≥85， 解得：𝑚≤10．
答：最多可安排10个𝐴种车厢．
解析：(1)设提速前列车的速度为𝑥𝑘𝑚/ℎ，则提速后列车的速度为1.5𝑥𝑘𝑚/ℎ，根据时间=路程÷速度结合提速后比提速前提前半个小时到达，即可得出关于𝑥的分式方程，解之经检验后即可得出结论； (2)设安排𝑚个𝐴种车厢，则安排(15−𝑚)个𝐵种车厢，根据15节车厢运送的总物资不低于是85万，即可得出关于𝑚的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.答案：解：由题意得𝑥−2≥0且2−𝑥≤0，
∴𝑥−2=0， 解得𝑥=2，
∴𝑦=0+0+3=3，
∴(𝑥+2)(𝑦−3)−(𝑥−5)(𝑦+2)=−(−3)×5=15．
解析：根据二次根式有意义的条件可求解𝑥，𝑦值，进而得出结果．
本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键．
24.答案：解：(1)在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐵=15，
∴𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐵=5， ∴𝐵𝐶=9，
∴𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=√152−92=12． (2)当𝑡=2时，𝐴𝑃=6，𝐵𝑄=4， ∵𝐴𝐶=12，𝐵𝐶=9， ∴𝑃𝐶=6，𝐶𝑄=5， ∵𝑃𝐸⊥𝐸𝐹，𝑄𝐹⊥𝐸𝐹，
∴∠𝑃𝐸𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=∠𝑄𝐶𝐹=90°，
∴∠𝑃𝐶𝐸+∠𝑄𝐶𝐹=90°，∠𝑄𝐶𝐹+∠𝐶𝑄𝐹=90°，
𝐵𝐶
3
∴∠𝑃𝐶𝐸=∠𝐶𝑄𝐹， ∴△𝑃𝐶𝐸∽△𝐶𝑄𝐹， ∴
𝐸𝑃𝐹𝐶
=
=． 𝐶𝑄5
𝑃𝐶6
(3)∵△𝑃𝐶𝐸∽△𝐶𝑄𝐹，面积比为1：1， ∴△𝑃𝐶𝐸≌△𝐶𝑄𝐹， ∴𝑃𝐶=𝐶𝑄，
∴12−3𝑡=9−2𝑡或3𝑡−12=9−2𝑡， 解得𝑡=3或5．
解析：(1)根据𝑠𝑖𝑛𝐴=𝐴𝐵=5，求出𝐵𝐶，再利用勾股定理求出𝐴𝐶即可． (2)证明△𝑃𝐶𝐸∽△𝐶𝑄𝐹，可得𝐹𝐶=𝐶𝑄=5．
(3)由题意△𝑃𝐶𝐸≌△𝐶𝑄𝐹，推出𝑃𝐶=𝐶𝑄，分两种情形分别构建方程求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
𝐸𝑃
𝑃𝐶
6
𝐵𝐶
3
21
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