指数函数模型)的简单应用

课型：复习课

教学目标和目标解析 （1）知识与技能目标

1通过具体例子使学生了解指数型函数y=cax在社会生活中的有着广泛应用。 2结合实例理解和体会指数型函数y=cax增长（或递减）的函数模型的意义。

（2）过程与方法

通过对现实生活中指数型函数的研究和探讨，灵活运用得到的函数模型去解决实际问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力

（3）情感、态度与价值观：

在解决实际问题中体会指数函数这一重要的数学模型，充分体会到数学与自然社会的关系的重要性。进一步感受用数学解决问题的方法，体会数学的价值。

教学重点：指数型函数y=cax的应用， 教学难点：

（1）学生对题意的理解 (2)数学建模比较困难， (3)计算比较复杂。

教与学的互动设计

教学过程设计

活动一 创设情景 温故知新 自主解决：

（1）平均增长率的问题（负增长时p0）：

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有yN(1p)x （3）讨论下列函数哪些是指数函数？ ①y=2-x ②y=1.2×3t ③y=22x ④y=5.5196e0.0221t (0≤ t ≤10)

师生互动

（1）学生回答以上问题及指数函数定义，

（2）学生写出指数函数的一般形式？②④是指数函数吗？

教师提出在自然条件下，指数函数在生活、生产等实际活动中应用广泛.如在疾病控制与统计、生物学、物理学、国民经济活动、存款利率、人口预测、工业生产等问题上都可

以运用其进行解决。指数函数模型的应用是一种重要的函数模型应用。下面我们这堂课主要探究指数函数模型的应用 活动二 合作探究 探究一 生活中的指数模型

例1、用洗菜盆内的清水清洗蔬菜，每次能洗去蔬菜上农药残存量的

23，设要使存留在蔬菜上的农药残存量不超过最初蔬菜上的农药残存量的1%，求蔬菜至少要清洗多少次 分析：找出农药残存量y与清洗次数x的关系（学生自主学习）

探究二 指数模型与国民经济活动

例2、 某市2008年国内生产总值为20亿元,计划在未来10年内,平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值(精确到0.01亿元

1.0851.4693,1.08102.1589)．

分析 ：国内生产总值每年按8%增长是指后一年的国内生产总值是前一年的（1+8%）倍． 解决

设在2008年后的第x年该市国民生产总值为y亿元，则 第1年， y20(18%)201.08 第2年， y201.08(18%)201.082 第3年 y201.082(18%)201.083 …… ……

由此得到，第x年该市国内生产总值为y201.08x(0x10,xN)

当x=5时，得到2013年该市国内生产总值为 y201.08529.39（亿元）． 当x=10时，得到2018年该市国民生产总值为 y201.081043.18（亿元）． 结论 预测该市2013年和2018年的国民生产总值分别为29.39亿元和 43.18亿元． 归纳 函数解析式可以写成ycax(a0,a1,c0)的形式，其中a为常数，底a>0且a≠1．函数模型叫做指数模型．当a>1时，叫做指数增长模型；当01、一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元，0.92190.21510,0.92200.18869)?

2、某单位职工的工资经过5年翻了两番（即是原来的4倍），求每一年比上一年平均增长

2的百分数》（已知2=1.41，25=1.32）（师生合作探究）

探究三

问题三、（养老计划问题）

例3、某人从20岁参加工作，从参加工作当年年末起，每年年末存入银行2000元，年利率8%，那么他60岁退休时一次可取得养老金多少元？ （师生合作探究）

活动三 总结提升：

回顾解题过程，总结函数应用的基本步骤。\"四步八字\"即：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学结论还原为实际问题的意义。 巩固练习：

1、某人2005年7月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率x,按复利计算，到2008

年7月1日可取回款（ ）A a(1x)3 B a(1x)4 C a(1x)5 D a(1x3)

2、计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低

13,现价8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ） A 2400元 B 900元 C 300元 D 3600元

3、某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为 （ ）

（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771） A．5 B．1 C．14 D．15

知识拓展与延伸

阅读材料一 棋盘之战

相传古印度一名宰相，是国际象棋的发明者。有一次，国王因为他的贡献要奖励他，问他想要什么。宰相说：“只要在国际象棋棋盘上（共64格）摆上这么些麦子就行了：第一格一粒，第二格两粒，……，后面一格的麦子总是前一格麦子数的两倍，摆满整个棋盘，我就感恩不尽了。”国王一想，这还不容易，刚想答应，一位大臣劝谏国王不要答应。 阅读材料二 我国是世界上小麦第一大生产国。

“国家粮油信息中心的统计数字显示， 1999/2000年度我国小麦总产量为11388万吨，随后的2000/2001、2001/2002、2002/2003，三个年度的产量则分别为9964、9387、8933万吨。”

想一想 如果你这时在国王旁边站着，你会不会劝国王别答应，为什么？

（1）这位大臣所要求的麦粒数大约是多少？（2641.8451019）（2）这些麦粒大约合多

少吨？（千粒麦重40克）（3）要凑够这些小麦需多少年？（用阅读材料二，我国三年年均产量9428万吨为准进行计算）

答：（）1由指数函数的性质可以知道总粒数为 ：S 2021...2632641=18446744073709551615=1.8451019 （2）如果麦子的千粒重设为40g，则总质量为： (1.84510191000)0.047.381014kg化简一下总质量就是7300多亿吨（7800余年）

（3）为方便起见，不妨就按年产量一亿吨计算，需7300多年。即使按全世界年产小麦约6亿吨的数字来算，也需要一千多年。（7800余年） 1.013×

0.92<1.01

三天打鱼，两天晒网

1.0136537.8

0.993650.03

积跬步以致千里，积怠惰以致深渊

1.023651377.4

1.0136537.8 多一份努力，得千份收成

1.023651377.4

1377.40.983650.86

只多了一点怠惰，亏空了千份成就

第二课时

1、 某企业原来每月消耗某种试剂1000，现进行技术革新，陆续使用价格较低的另一种材料替代该试剂，使得该试剂的消耗量以平均每月10%的速度减少，试建立试剂消耗量与所经过月份数的函数关系，并求4个月后，该种试剂的约消耗量（精确到0.1， 1.141.4641)．

2、 某城市的人口年自然增长率为1.2%，求该城市人口的倍增期。（已知lg2=0.3010; lg1.012=0.0052; lg1.12=0.0492）

生产过程中，产品售价、产品成本、利润、利润率之间有如下关系

售价-成本 利润=售价-成本，利润率=成本100%利润率表达式变形得

成本= （1+利润率）售价

3、某一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，那么这件服装每件成本是多少元？ 读题填空：想一想：这15元的利润怎么得来的？

若设这件服装每件成本是x元,那么每件服装的标价为 (1+40%) x 每件服装的实际售价为 80% (1+40%) x每件服装的利润为80% (1+40%) x － x=15 解得x= 125

4、（1）某商品的价格为a,当降价10%以后，若要恢复原价，则应提价多少？

（2）设某厂一月份的月产量为a,二月份增产了10%，三月份比二月份减产了10%，比较三月产量b与一月产量a的大小

5、某电器公司生产A型号的笔记本电脑，2005年每台生产成本为5000元，并以利润的20%标定出厂价，2006年公司更新设备，并不断加强生产管理，从而生产成本逐年下降，2009年该笔记本电脑每台按2005年出厂价的80%出售，却实现了利润50%的高收益，回答下列问题

（1）求2009年每台电脑的生产成本

（2）以2005年的生产成本为基数，求2005至2009年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01参考数据52.236,62.449）

（3按照（2）的平均年降价的百分率计算，2013年该种电脑的生产成本每台是多少元？（精确到0.1，参考数据0.8970.3937，0.8980.4423）