用初等变换化二次型为标准型之欧阳计创编

莆田学院数学与应用数学

系

时间：2021.02.11 创作：欧阳计 “高等代数选讲”课程论文

题目：用矩阵的初等变换化实二次型为标准形

姓名：廖丹 学号： 410401141 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级

2007年 6月20日

用矩阵的初等变换化实二次型为标准形 041数本 410401141 廖丹

摘要：本文介绍两种特殊方法：一种是用正交变换化实二次型为标准形，另一种是连续用第三种初等行变换快速将二次型化为标准形.

关键词：初等变换第三种初等阵非异阵实二次型标准形

1．数域下任意一个实二次型XAX,总可以经过非奇异变换XPY使得XAXdiyi2,其中di为实数,通常的方法是采

i1n用配方法或初等变换法,然而传统的方法最大的缺点是不易求矩阵P.下面介绍一种特殊方法,能够快速将原二次型化为

欧阳计创编 2021..02.11

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标准形，一举求出非异阵P.

定义1.1以Tij(k)表示将单位矩阵的j行（列）的k倍加到i行（列）,所得到的第三种初等阵.

定理1.2设A是n阶实对称阵,P是有限个第三种初等阵

dTij(k),i1的乘积.且PA10dn1阶阵,则必有PAP0a其中a是n1维行向量,A1是A10. A1证明：由于P是Tij(k)的乘积，且i1,根据矩阵的乘法规则，

d1用P右乘PA时,PA的第一列元素不变,从而PAP0A是实对称的.

PAP亦为实对称阵

,即A1这个定理实质上就给出矩阵A化标准形,求出变换矩阵P的一种方法,只要连续使用第三种初等变换即可把A化为上三角形.现作矩阵A,E找出P使

d1PA,EPA,P*,P则这个P的0dr0转置阵就是我们要找的非异阵P,它使PAP为对角阵.即只要对A,E作有限次第三种初等变换Tij(k),ij,则当把A变换成上三角阵时,A,E的E就同时化为P,且使

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d1PAPdr0. 0112.

110例1 求非异阵P,使PAP为对角阵,其中A202解

112100110010A,E202001：

112100r2r1022110202001112100112100022110r3(2)r1r3r2022110

022201000111111011故由定理知P.

001例2将实二次型2x1x26x2x32x1x3化为平方和.

011103解：此二次型的系数矩阵 A,A的主对角元

130素全是0,故不能立即引用定理,需先对A作初等行变换及其相应的列.使经过如此变换后得到的新合同阵的主对角有非零数,然后再用定理即可.

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1P10132211 ,PAP201211 令XPY, 2612则2x1x26x2x32x1x32yy26y23.

22．若要求一正交阵P使PAP成对角阵,这等价于经过正交变换XPY将二次型XAX化为标准形.一般步骤是通过施密特正交化过程来求解,但此方法较为复杂,下面介绍用解一些齐次线性方程组的方法来化实二次型为标准形.

定理2.1设A为nn阶矩阵,秩Ar,且

Ann列初等变换BnnEn*Qn(n1)其中B是秩为r的列满秩矩阵,则Pn(n1)矩阵P所含nr个列向量就是齐次线性方程组AX0的一个基础解系.

证明：秩Ar

存在可逆的n级矩阵PP12PS使

APP12PSBn*r,0，其中Bn*r是秩为r的列满秩矩阵

*r表示秩为r的*r,En*(nr)，其中EnPSEn同理：EnPP12每一列有且只有一元素为1的列满秩矩阵，En*(nr)表示秩为

nr的每一列有且只有一元素为

1的列满秩矩阵

An*nPP12EnBnnPSQnn(nr) r，PnnEn，其中QnnEnPn(n1)0欧阳计创编 2021..02.11

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由于AX0的解向量个数为nr，而Pn(nr)为秩为nr的

列满秩矩阵

再由初等变换原理易知：

矩阵P所含nr个列向量就是齐次线性方程组

AX0的一个基础解系.

定理2.2矩阵A的特征矩阵A经列的初等变换可化为下三角的矩阵B,且B的主对角线上元素的乘积的多项式的根恰为A的所有特征根.此定理证明与定理1.2相仿,故省去.

下面探讨计算方法：

A列初等变换B设AEA 且,其中B为下三EA角矩阵,则B的主对角线上的全部元素的多项式的全部根恰为矩阵A的全部特征根,对于矩阵A的每一特征根i,若矩阵B中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么矩阵Pi中和

Bi中零向量所对应的列向量是属于特征根i的全部线性Bi列初等变换B*i*无关的特征向量；否则继续使得AiPiB*i中非零向量的列构成列满秩矩阵,那么P*i中和B*i中向量对应的列向量是属于特征根i的全部线性无关

的特征向量.

设所求出的特征向量111k1i1ikis1sk,它是一组线

s性无关的向量,以ij为列向量构成矩阵Bij,则BB是一个

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n阶正定矩阵,必与单位矩阵正合同,即存在n阶可逆矩阵Q,

使得QBBQE即QBBQE1 2

1式说明：对矩阵BB施行一系列的列初等变换,（相应的初

等矩阵的乘积为Q）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q）,可化为单位矩阵；

(2)式说明：BQ的列向量组是一个标准正交基,BQ可以通过对

矩阵B施行与对矩阵BB所施行的相同的初等变换求出.

BBE于是得到求正交矩阵的初等变换法对BB施行BBQ列初等变换,对B施行行初等变换.实际上将BB化为E,可先用

1a11分别乘以a11所在的行和列使a11变成1；再施以列初等变

换把a11所在行其他元素化为0，又施以行初等变换把a11所在列的其他元素化为0 ,按此法,依次把a22，ann变为1.其它元素变为0,那么矩阵BQ即为所求的矩阵P,且PAP为对角阵,其中主对角线上元素1ik1,lkss

422242例1 求正交矩阵P使PAP为对角阵,其中A.

224欧阳计创编 2021..02.11

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24224224A2解： 00E1010010 矩阵A的特征根为12（二重）,28.

100100100B1当12时,有001非零向量的列构成满秩矩P1011112201,11阵,对应零向量的向量12 121,,1当28时,同法求出对应特征向量3,123是无关的,1以1,2,3为列向量构成矩阵B,再求出BB于是得：

01即得：P212261616132001020PAP且有 300813参考文献：

[1] 北大. 高等代数[M]. 高等教育出版社,1989.11

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[3] 王琳. 用正交变换化实二次型为标准形方法研究[J]. 数学通讯, 1990（3）

[4] 牟俊霖、李青古.洞穿考研数学[M]. 航空工业出版社, 2005.3

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