培养学生科学推理和创新思维能力
――编制《新数学能力训练》的说明
最近，有两件事情引发我进一步思考小学数学课程改革中的一些问题。
第一，在今年6月5日召开的两院院士大会上，胡锦涛主席发表重要讲话指出，今年年初，党中央、国务院提出了用15年时间使我国进入创新型国家行列的重大战略任务。建设创新型国家，关键是人才，尤其是创新型科技人才。创新型科技人才的成长，首先要从教育这个源头抓起。要改变单纯灌输型的教育方式，探索创新型的教育方式方法，在尊重教师主导作用的同时，更加注重培养学生的主动精神，鼓励学生的创造性思维。
第二，最近看到了《数学课程标准（修改稿）》。“修改稿”与“实验稿”相比，对课程设计理念作了重大修改。“修改稿”明确地指出“数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能”。
小学数学是创新型科技人才成长的基础学科。中科院院士、数学家杨乐教授日前在出席“数学科学与教育发展论坛”时表示，建设创新型国家，培养创新精神是根本，而提高创新精神，素质教育是非常重要的。他认为，数学学好了，基本素质提高了，极大地有利于创新精神的培养。专业高水
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平的人才中，都具备很好的数学基础修养。
科学推理能力和创新思维能力是数学基础修养的重要方面。小学数学教学中如何充分发挥在培养人的科学推理和创新思维的功能，我们应该认真加以研究和实验。
我们在探索小学“新思维数学”教学体系的过程中，初步形成了基础性训练、常规性训练、思考性训练（能力训练）相结合的探究式教学体系。基础性训练与常规性训练，重在发挥数学教育在掌握数学知识和技能的功能，思考性训练重在发挥数学教育在培养学生科学推理和创新思维的功能。在实验过程中，我们配合知识点，设计了数学能力训练，使人人获得良好的数学教育，使不同的人在数学上得到不同的发展。
为了更有效地培养学生的科学推理和创新思维能力，我们配合《新数学读本》，按知识点编写的《新数学能力训练》，每册18个数学能力训练，2个数学能力检测。按知识点设计能力训练，我们缺乏经验，目前尚在尝试阶段。初步设想有四个方面。
一、围绕知识点形成训练系列
如除数是两位数除法，设计了三组训练材料。
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数学能力训练，重在训练系列的设计。如，
有一笔钱，可买A型鞋36双，如果改买B型鞋只能买27双。1双B型鞋比1双A鞋贵8元。这笔钱有多少元？A型鞋、B型鞋的单价是多少元？
数量关系：
这笔钱÷36＝A型鞋单价 这笔钱÷27＝B型鞋单价 B型鞋单价－A型鞋单价＝8元
强强在计算一道带余除法时，把除数28看成了25，结果商比原来多9，余数没有变，还是20，原来的被除数与商各是多少？ 此题在数学竞赛中经常出现。
设被除数为ａ，原来的商为ｂ，现在商为ｃ。 ａ÷28＝ｂ„„20 ａ÷25＝ｃ„„20 ｃ－ｂ＝9
这类题的训练系列： 1．找相同的被除数。 □ ÷5＝7 □÷7＝5
两个除数与被除数有什么关系？ 两个除数的差与两个商的差有什么关系？
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2. □÷5＝14„„①
□÷7＝10„„②
14－10＝4
两个除数的差与两个商的差有什么关系？ 两个除数与被除数有什么关系？ ①式的商14＝7×4÷（□－□） ②式的商10＝5×4÷（□－□） 3. □÷5＝21„„① □÷7＝15„„②
21－15＝□
①式的商21＝7×□÷（□－□） ②式的商15＝5×□÷（□－□）
被除数相同，两个除数两个商。如果除数比较小，商就（除数比较大，商就（ ）。 4．□÷5＝28„„①
28－20＝□
□÷7＝20„„②
①式的商28＝7×□÷（□－□） ②式的商20＝□×□÷（□－□） 5．★÷5＝● ★÷7＝▢
●－▢＝12
●＝□×12÷（□－□）＝□ ▢＝□×12÷（□－□）＝□ ★＝□×□ ＝□×□ 6．★÷5＝◆„„4 ★÷7＝■„„4
◆－■＝10
。如果9
）◆＝□×□÷（□－□）＝□ ■＝□×□÷（□－□）＝□ ★＝□×□＋□ 7．●÷13＝▢„„5 ●÷9＝■„„5 ▢＝ ■＝ ●＝
此类题是两商之差的逆运算，即已知两除数与两商的差，求相同的被除数与两个除数的商。其基本的结构为： ★÷36＝●
★★
★÷27＝▢ 即27 －36 ＝8 ▢－●＝8
这样的题散见于各类竞赛题中，如，
某人到商店购物，如果用2元币付款，要比用5元币付款多9张。购物需要多少元？
数量关系：
购物款÷2＝2元币张数 购物款÷5＝5元币张数 2元币张数－5元币张数＝9 解一：
2元币张数：5×9÷（5－2）＝15（张） 5元币张数：2×9÷（5－2）＝6（张）
10
■－▢＝12
购物款：2×15＝30（元） 5×6＝30（元） 解二：设购物需要ｘ元。 ｘｘ
2 －5 ＝9
5ｘ－2ｘ
10 ＝9 ｘ＝30 解三：设5元币为ｘ张，则购物需要5ｘ元。 2∶5＝ｘ∶（ｘ＋9） 5ｘ＝2ｘ＋18 ｘ＝6 5×6＝30（元）
有笔钱，可买10支钢笔，如果改买圆珠笔可买15支，每支钢笔比每支圆珠笔贵0.90元。这笔钱是多少元？
数量关系：
这笔钱总数÷10＝钢笔单价 这笔钱总数÷15＝圆珠笔单价 钢笔单价－圆珠笔单价＝0.9 解一：
钢笔单价：15×0.9÷（15－10）＝2.7（元） 圆珠笔单价：10×0.9÷（15－10）＝1.8（元） 这笔钱总数：2.7×10＝27（元） 1.8×15＝27（元） 解二：设这笔钱为ｘ元。 ｘｘ
10 －15 ＝0.9
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3ｘ－2ｘ
3 0 ＝0.9 ｘ＝27
解三：设钢笔单价为ｘ元，则这笔钱为10ｘ元。 10∶15＝（ｘ－0.9）∶ｘ 15ｘ－13.5＝10ｘ ｘ＝2.7 2.7×10＝27（元）
轮船从甲地到乙地逆水航行，速度是20千米／时，从乙地到甲地顺水航行，速度是60千米／时，顺水航行比逆水航行快3小时。那么，甲、乙两地的航程是多少千米？
数量关系：
两地航程÷20＝逆水航行时间 两地航程÷60＝顺水航行时间 逆水航行时间－顺水航行时间＝3 解一：
逆水航行时间：60×3÷（60－20）＝4.5（时） 顺水航行时间：20×3÷（60－20）＝1.5（时） 两地航程：20×4.5＝90（千米） 60×1.5＝90（千米） 解二：设两地航程为ｘ千米。 ｘｘ
20 －60 ＝3
（3－1）ｘ
＝3 ｘ＝90 60
解三：设逆水航行时间为ｘ时，则两地的航程为20ｘ千米。
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20∶60＝（ｘ－3）∶ｘ 20ｘ＝60ｘ－180 ｘ＝4.5
4.5×20＝90（千米）
全班同学去划船，如果减少1条船，每条船正好坐9个同学，如果增加1条船，每条船正好坐6个同学，全班有多少个同学？数量关系：
全班同学人数÷9＝9座船的条数 全班同学人数÷6＝6座船的条数 6座船的条数－9座船的条数＝2（1＋1） 解一：
9座船的条数：6×2÷（9－6）＝4（条） 6座船的条数：9×2÷（9－6）＝6（条） 全班同学人数：9×4＝36（人） 6×6＝36（人） 解二：设全班有ｘ个同学。 ｘ －ｘ
69 ＝1＋1
3ｘ－2ｘ
18 ＝1＋1 ｘ＝36 解三：设9座船为ｘ条，则全班同学为9ｘ个。 9∶6＝（ｘ＋2）∶ｘ 9ｘ＝6ｘ＋12 ｘ＝4
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4×9＝36（个）
强强离家去县城去上学，他以50米／分的速度走了2分钟，发觉按这个速度走下去就要迟到8分，于是他加快了速度，每分钟多走10米，结果到学校时，离上课还有5分钟，强强家到学校的路程是多少？
数量关系：
2分钟后剩下的路程÷50＝原速度走路的时间 2分钟后剩下的路程÷（50＋10）＝加速后走路的时间 原速度走路的时间－加速后走路的时间＝8＋5 解一：
原速度走路时间：（50＋10）×（8＋5）÷10＝78（分） 加速后走路时间：50×（8＋5）÷10＝65（分） 从家到学校路程：50×78＋50×2＝4000（米）
解二：设走2分钟后剩下的路程为ｘ米，则从家到学校的路程为（ｘ＋50×2）米。
ｘｘ
50 －（50＋10） ＝8＋5
6ｘ－5ｘ
300 ＝13 ｘ＝3900 3900＋50×2＝4000（米）
解三：设加速后走路时间为ｘ分钟，则全程为［60ｘ＋50×2］千米。 50∶（50＋10）＝ｘ∶（ｘ＋13） 60ｘ＝50ｘ＋650 ｘ＝65
65×60＋50×2＝4000（米）
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二、围绕知识点，多角度、多形式地设计训练材料
一下学习了“2――4的乘法口诀”以及“乘加”之后设计了两个训练：
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三下，配合长方形周长、面积的学习，设计了四组训练材料。
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三、安排一定数量的探索性、开放性较强的训练题。 如，例1，
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例2，
例3，
下面的每一个序号与一个算式对应，请在□里分别填合适的数。
17 89 119 □ □+□+□=852
又如三下，在分析数量关系的训练中，安排了列表尝试解题与设计方案的训练。
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四、重视数学思想方法的训练
能力训练区别于技能的常规训练。技能的常规训练是一种重复性训练，而能力训练是某一知识点、某一技能的变式训练，某几个知识点、某几项技能的综合训练，贯穿其中的是基本数学思想方法的训练。如“归一”思想方法的训练。
如右图，黑色部分表示135，整个图形 表示（ ）。请列式计算。
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其基本结构为b=d
a c 即a÷b×c=d a×(b÷c)=d 或d÷（a÷b）＝c
其基本思想方法是“归一”。
又如在等量替换中，“归总”思想方法的训练：
其基本结构为na=mb.
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买5件同样的上衣和6条同样的裤子共432元。买2件上衣的钱可以买3条裤子。求上衣和裤子的单价。
归总的思想，在解题中又有十分重要的作用。如： 而
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900 又是上题的变式，解决这个问题就必须分析长边与短边的和倍关系。 理解和倍、差倍关系，结合图形推算作了一系列安排。如，
1. ★÷▢＝6 ★＋▢＝35 ★＝□ ▢＝□
2. ★÷▢＝6 ★－▢＝35 ★＝□ ▢＝□ 3. ★÷▢÷●＝5 ★＝□ ★÷▢－●＝12 ▢＝□ ★－▢＝84 ●＝□
用■替代★÷▢，先把三个未知数改为两个未知数，再考虑两个未知数的关系，
■÷●＝5 ■－●＝12
●＝12÷（5－1）＝3
则★÷▢－3＝12
★÷▢＝15 ★－▢＝84 ▢＝84÷（15－1）＝6 ★＝6×15＝90
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4. 960÷★＝● ▢＝□ 960÷■＝▢ ●＝□ ■÷★=3 ■＝□ ●－▢＝40 ★＝□ 因为被除数相同，■÷★=3，则 ●÷▢＝3，这样就转化为差倍问题。 ▢＝40÷（3－1）＝20
● ＝20×3＝60 ■＝960÷20＝48
★＝960÷60＝16
5.某公司为员工购买衬衣和羊毛衫各用去810元，每件羊毛衫的价格是衬衣的3倍，购买衬衣比羊毛衫多18件。求羊毛衫和衬衣的单价。
810元÷羊毛衫单价＝羊毛衫件数 810元÷衬衣单价＝衬衣件数 羊毛衫单价÷衬衣单价＝3 衬衣件数－羊毛衫件数＝18 衬衣件数÷羊毛衫件数＝3
羊毛衫件数：18÷（3－1）＝9（件） 衬衣件数：9×3＝27（件） 羊毛衫单价：810÷9＝90（元／件） 衬衣单价：810÷27＝30（元／件）
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第4,5题已知两个除式相同的被除数以及两个除数的倍数关系与两个商的差，关键是把两个除数的倍数关系转化为两个差的倍数关系。为帮助学生理解，可进行如下训练：
两个除式的被除数相同 240÷12＝□„„① 240÷24＝□„„②
（1）②式的除数是①式的□倍。
（2）先猜一猜两个除式商的关系，再通过计算验证。 把积相等的两个乘式改写成两个除式。 45×6＝270 15×18＝270 270÷□＝□„„① 270÷□＝□„„②
说一说两个除数的关系，两个商的关系。 总价÷甲单价＝甲数量 总价÷乙单价＝乙数量
总价相同，如果甲单价是乙单价的4倍，那么（ ）数量是（ ）数量的4倍。
路程÷A的速度＝A行驶的时间 路程÷B的速度＝B行驶的时间
路程相同，如果B速度是A速度的2倍，那么（ ）的行驶时间是（ ）行驶时间的2倍。
这类题孤立地看，对小学生来说也是难题，如果放在“两商之差”的基本结构去研究，只不过是基本结构和基本原理的迁移。按照“抓基础、
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促迁移”、“简结构、大容量”的原则，设计训练系列，能有效地提高学生的解题能力。
从王村到县城的路程是90千米，甲、乙两人同时从王村出发去县城，甲骑自行车，乙骑摩托车，乙的速度是甲的3倍，乙比甲早到3小时。甲、乙每小时各行多少千米？
数量关系：
90÷甲速度＝甲行驶时间 90÷乙速度＝乙行驶时间 乙速度÷甲速度＝3 甲行驶时间－乙行驶时间＝3 解一：甲行驶时间÷乙行驶时间＝3 乙行驶时间：3÷（3－1）＝1.5（时） 甲行驶时间：1.5×3＝4.5（时） 甲速度：90÷4.5＝20（千米／时） 乙速度：90÷1.5＝60（千米／时）
解二：设甲速度是ｘ千米／时，则乙速度是3ｘ千米／时。
90ｘ －90
3ｘ
＝3 90×（3－1）
3ｘ
＝3
9ｘ＝180
ｘ＝20 3ｘ＝60
解三：甲速∶乙速＝3∶1
路程一定，甲、乙速度比等于甲、乙行驶时间比的反比。
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90
设甲行驶的时间为ｘ时，则甲行驶的速度为 千米／时。
ｘ 3∶1＝ｘ∶（ｘ－3） ｘ＝3ｘ－9 ｘ＝4.5 甲的速度：90÷4.5＝20（千米／时） 乙的速度：90÷（4.5－3）＝60（千米／时）
李师傅要做3900个零件，实际完成的时间是原计划的5
6 ，实际每天10个。原计划多少天完成？
数量关系：
3900÷原时间＝原工效 3900÷实际时间＝实际工效 实际时间÷原时间＝56 实际工效－原工效＝10 解一：
原工效÷实际工效＝5
6
实际工效：10÷（1－5
6 ）＝60（个／天） 原工效：60×5
6 ＝50（个／天） 原时间：3900÷50＝78（天） 解二：设原计划ｘ天完成。 3900 －3900
5ｘ＝10 6 ｘ
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比原计划多做
5
3900×（1－6 ）
650×6
＝10 ｘ＝50 ＝78 5
6 ｘ解三：实际时间∶原时间＝5∶6
工作总量一定，工作时间的比等于工作效率比的反比。 设原工效ｘ个／天，则实际工效为（ｘ＋10）个／天
5∶6＝ｘ∶（ｘ＋10） 6ｘ＝5ｘ＋50 ｘ＝50 原时间：3900÷50＝78（天）
“能力训练”不能把它作为单纯的练习题，而应将个体的独立思考、教师的点拨、指导与解题的交流相结合组织训练。
现在设计的能力训练还是很不完善的，有待于通过实验进一步修改，逐步完善。
2006年7月
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