2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

（4月20日8:00至10:00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分） 1．若x≥2，则函数f(x)x1的最小值是 ． x1

2．已知函数f(x)ex．若f(ab)2，则f(3a)f(3b)的值是 ．

2Sn为前n项和，3．已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，且满足anS2n1，

nN*，则数列an的通项an ．

22x3x, x≥0,4．若函数f(x)是奇函数，则实数a的值是 ．

22xax,x0

5．已知函数f(x)lg|x10|．若关于x的方程f2(x)5f(x)60的实根之和为m，3则f(m)的值是 ．

6．设、都是锐角，且cos53，sin()，则cos等于 ． 55

o7．四面体ABCD中，AB3，CD5，异面直线AB和CD之间的距离为4，夹角为60，则四面体ABCD的体积为 ．

8．若满足ABC是 ．

9．设集合S1,2,3，AC3，BCm的△ABC恰有一解，则实数m的取值范围

,8，A，B是S的两个非空子集，且A中的最大数小于B中的最小

数，则这样的集合对(A,B)的个数是 ．

2210．如果正整数m可以表示为x4y (x，yZ)，那么称m为“好数”．问1，2，3，…，

2014中“好数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知a，b，c为正实数，abc，

xyz1110，求abc的值． xyzx2y212．已知F1，F2分别是双曲线C:221(a0,b0)的左右焦点，点B的坐标为

ab(0,b)，直线F1B与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分

1线与x轴交于点M．若MF2F1F2，求双曲线C的离心率．

2

13．如图，已知ABC是锐角三角形，以AB为直径的圆交边AC于点D，交边AB上的

高CH于点E．以AC为直径的半圆交BD的延长线于点G．求证：AGAE．

14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三

角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？

（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．

2006年全国1卷理科第12题

设集合I{1,2,3,4,5}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（B）

A．50种 B．49种 C．48种 D．47种

解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种； 若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种； 若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种； 若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种； 若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种； 若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C54=5种； 若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种； 若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种； 若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种； 若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种； 总计有49种，选B．

解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，

从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合； 从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；

从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；

从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法； 总计为10+20+15+4=49种方法．选B．

第9题的本质与推广

2014年金海南最后一模试题

设整数n≥3，集合P{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满

足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数． （1）求a3； （2）求an．

解：（1）当n3时，P{1，2，3 }，

其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A，B)为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，

所以a35； …… 3分 （2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n1,整数n≥3，

则A中必含元素k，另元素1，2，…，k1可在A中，故A的个数为：

1k1k1 C0， …… 5分 k1Ck1Ck12 B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，k可在B中，但不能

2nknk1， …… 7分 都不在B中，故B的个数为：C1nkCnkCnk2 从而集合对(A，B)的个数为2k12nk12n12k1，

所以an2n12k1(n1)2n112(n2)2n11． …… 10分

12k1

n1n1an=C(n，2)·1+C(n，3)·2+……+C(n，n)·(n-1)

∵C(n，k)·k=n·C(n-1，k-1) an=n·[2^(n-1)-1]-(2^n-1-n) =(n-2)·2^(n-1)+1