高二数学双曲线知识点及例题

高二数学双曲线学问点及例题

一 学问点

1. 双曲线第肯定义：

平面内及两个定点F1、F2的间隔 差的肯定值是常数〔小于|F1F2|〕的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的间隔 |F1F2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：

平面内及一个定点的间隔 和到一条定直线的间隔 的比是常数e〔e>1〕的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：

〔1〕焦点在x轴上的：

x2y21(a0，b0)a2b2

〔2〕焦点在y轴上的：

y2x21(a0，b0)a2b2

〔3〕当a＝b时，x2－y2＝a2或y2－x2＝a2叫等轴双曲线。

注：c2＝a2＋b2

4. 双曲线的几何性质：

x2y2（1）焦点在x轴上的双曲线221(a0，b0)的几何性质：ab

yF1A1OA2F2x 1范围：xa，或xa

<2>对称性：图形关于x轴、y轴，原点都对称。

<3>顶点：A1〔-a，0〕，A2〔a，0〕

线段A1A2叫双曲线的实轴，且|A1A2|＝2a；

线段B1B2叫双曲线的虚轴，且|B1B2|＝2b。

4离心率：ec(e1)a

e越大，双曲线的开口就越开阔。

bxa

5渐近线：y=a26准线方程：xc

bxa

5．假设双曲线的渐近线方程为：

y那么以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成：

x2y2(0)a2b2

【典型例题】

例1. 选择题。

x2y21.若方程1表示双曲线，则m的取值范围是（2mm1）

A.2m1B.m2或m1

C.m2且m1D.mR

2.ab0时，方程ax2by2c表示双曲线的是（）

A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.设是第二象限角，方程x2siny2sincos表示的曲线是（）

A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的椭圆

C. 焦点在y轴上的双曲线 D. 焦点在x轴上的双曲线

x2y24.双曲线1上有一点P，F1、F2是双曲线的焦点，且F1PF2，1693

那么△F1PF2的面积为〔 〕

A.9B.63C.33D.93

9已知：双曲线经过两点P13，42，P2，5，求双曲线的标准方程4例2.

例3. B〔-5，0〕，C〔5，0〕是△ABC的两个顶点，且

3sinBsinCsinA5，求顶点A的轨迹方程。

x2y251有公共焦点，并且离心率为2的双曲线的标准方程。 例4. 〔1〕求及椭圆94x2y291有共同渐近线，且经过点M，12〔2〕求及双曲线94的双曲线的标准方程。

x2y2已知双曲线方程142例5.

〔1〕过点M〔1，1〕的直线交双曲线于A、B两点，假设M为AB的中点，求直线AB的方程；

1N1，2为直线l被双曲线截得的弦的中点，假设存在求〔2〕是否存在直线l，使点出直线l的方程，假设不存在说明理由。

x2y21k21k例六：1. 假设表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值

范围是〔 〕 A. 1，

C. 2，

B. 〔0，2〕 D. 〔1，2〕

2. 双曲线的两条渐近线的夹角为60°，那么双曲线的离心率为〔 〕

23A. 2或3

B. 2

23C. 3

D. 3

222x3y21x3y9，3. 圆C1：和圆C2：动圆M同时及圆C1及圆C2相外切，

求动圆圆心M的轨迹方程。

[例题答案]

例一： 解：1. 把所给方程及双曲线的标准方程比照

易知：2+m及m+1应同号即可。

2m02m0或m10m10

m2m2或m1m1

m1或m2

2.若ax2by2c表示双曲线，则一定有ab0；

当c0时，表示双曲线若ab0当c0时，表示直线

∴选A

3.是第二象限角，sin0，cos0

sin0cos

x2siny2sin原方程化为：1coscos

易知：x2的系数为负，y2的系数为正

∴方程表示焦点在y轴上的双曲线

4. 由双曲线方程知：a＝4，b＝3，c＝5

设PF1m，PF2n，则mn8，F1F22c10

由余弦定理：(2c)2m2n22mncos3

100mn2mnmn

2mn36

113mnsin603693222、

SF1PF2例二： 解：设所求双曲线方程为Ax2－By2＝1，〔AB>0〕

A19A32B19依题意：81A25B1B11616

y2x2所求双曲线方程为：1169

例三： 33sinBsinCsinAbca55，结合图形可知分析：在△ABC中由正弦定理可把转化为

顶点A的轨迹是以B、C为两焦点，实轴长为6的双曲线的左支。

yAxB-3C 解：在△ABC中，|BC|＝10

3由正弦定理：sinBsinCsinA5

可化为：ACAB3BC65

∴顶点A的轨迹是以B、C为两个焦点，实轴长为6的双曲线的左支

又∵c＝5，a＝3，∴b＝4

x2y2顶点A的轨迹方程为1(x3)916

注：〔1〕利用正弦定理可以实现边及角的转换，这是求轨迹方程的关键；

〔2〕对于满意曲线定义的，可以干脆写出轨迹方程；

〔3〕求轨迹要做到不重不漏，应删除不满意条件的点。

例四： 解：〔1〕由椭圆方程知：

a3，b2，c5

焦点F15，0，F25，0

x2y2设双曲线的标准方程为：221a1b1

c155a12c由已知条件得：12b11a1c2a2b2111

x2所求双曲线的标准方程为：y214

9M，1在第四象限2〔2〕解法一：

x2y22又双曲线1的渐近线为yx943

92代入yx323

将M点的横坐标x∴双曲线的焦点必在x轴上

x2y2设双曲线方程为：221ab

b2a32a18292b8212221ab

x2y2所求双曲线标准方程为：1188

2所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线yx3 解法二：

x2y2设所求双曲线方程为：(0)94

9又所求双曲线过点M，12

9212，294

2x2y2所求双曲线方程为：1188

例五： 解：〔1〕设AB的方程为：y－1＝k〔x－1〕

ykx1k2，消去yxy2142

12kx4k2224kx2k24k60

yy2xx2设Ax1，y1，Bx2，y2，则M1，122

x1x22k2k24k4k2x1x2，即122212k12k

12

k

又4k24k412k22k24k62

将k1代入02

所求直线AB的方程为：x2y10

〔1〕另解法：

yy2xx2设Ax1，y1，Bx2，y2，则M1，122

x2y2A、B在双曲线1上42

x12y1214222x2y214212

12：x1x2x1x22y1y2y1y20

又x1x22，y1y22

2x1x24y1y2

当x1＝x2时，直线AB及双曲线没有交点。

y1y211，kABx1x222x1x2，那么

直线AB的方程为：x2y10

2x2

双曲线的一条渐近线为y又12，直线与双曲线有两个交点22

x2y10即为AB的方程

1N1，2的直线l交双曲线于C〔x3，y3〕〔2〕假设过，D〔x4，y4〕两点

22y3x3142则22x4y414234

34：x3x4x3x42y3y4y3y40

依题意x3x4，又x3x42，y3y41

y3y41kCDx3x4

2x2

双曲线的一条渐近线为y12，直线l与双曲线没有公共点2

1使点N1，为弦的中点的直线不存在2

例六： 1. 答案：A

2. 答案：A

3. 分析：解决此题的关键是找寻动点M满意的条件，对于两圆相切，自然找圆心距及半径的关系。

MAC1OyB3C2x 解：设动圆M及圆C1及圆C2分别外切于点A和B，依据两圆外切的充要条件知：

MC1AC1MAMC2BC2MBMAMBMC1AC1MC2BC2MC2MC1BC2AC1312

即动点M及两定点C1、C2的间隔 的差是2

依据双曲线定义，动点M的轨迹是双曲线左支〔点M及C2的间隔 大于及C1的间隔 〕

2a1，c3，b8 这里

设M〔x，y〕

y2x1(x0)8∴轨迹方程为

2