中考数学总复习专题—圆的切线

1、如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46∘，则∠BAC=______.

第3题

2、如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B两点，点C在⊙O上，如果ACB＝70°，那么∠P的度数是 ．

第1题

第2题

3、如图，∠APB=300，圆心在边PB上的⊙O半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为 cm.

4、如图（4）所示，直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D，并交BA的延长线于点C，

且AB2，AD1，P点在切线CD上移动.当APB的度数最大时，则ABP的度数为（ ）

A. 15° B. 30° C. 60° D. 90°

5、如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ） A． 40° B． 50° C．60° D．70°

第4题

第5题 第6题

6、如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（ ）

A．15° B．20° C．30° D．70°

7、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．(1)求证：AC平分BAD；(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．

1

8、如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点.

（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切； （2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长.

9、如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm． （1）求证：BF是⊙O的切线． （2）若AD=8cm，求BE的长．

（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．

10、如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．

(1)①直接写出点E的坐标： ． ②求证：AG＝CH．

(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

2

参考答案

1、【解析】因为PA、PB是⊙o的切线，所以PA=PB，OA⊥PA，又因∠P=46∘，所以∠PAB=67∘，所以∠BAC=∠OAP-∠PAB=90∘-67∘=23∘， 【答案】23∘

【点评】当圆外一点向圆引两条切线，可以利用切线长定理及切线的性质定理，利用等腰三角形的性质及及垂直的性质来计算角的度数. 2、

考点： 切线的性质；多边形内角与外角；圆周角定理。 专题： 计算题。

分析： 连接OA，OB，由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，

OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠ACB的度数求出∠AOB的度数，在四边形PABO中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．

解答： 解：连接OA，OB，如图所示：

∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°， 又∵圆心角∠AOB与圆周角∠ACB都对

，且∠ACB＝70°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，则∠P＝360°－(90°＋90°＋140°)＝40°．故答案为：40°

点评： 此题考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，连接OA与OB，

熟练运用性质及定理是解本题的关键． 3、【答案】1或5。

【考点】直线与圆相切的性质，含300角直角三角形的性质。 【分析】如图，设⊙O移动到⊙O1，⊙O2位置时与PA相切。 当⊙O移动到⊙O1时，∠O1DP=90。 ∵∠APB=300，O1D=1，∴PO1=2。∵OP=3，∴OO1=1。

当⊙O移动到⊙O2时，∠O2EP=90。

∵∠APB=300，O2D=1，∴∠O2PE=300，PO2=2。 ∵OP=3，∴OO1=5。

综上所述，当⊙O与PA相切时，圆心O移动的距离为1cm或5 cm。

0

0

3

4、【考点】切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．

【分析】连接BD，有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．

【解答】解：连接BD，∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，∴∠ADB=90°，

当∠APB的度数最大时，则P和D重合，∴∠APB=90°， ∵AB=2，AD=1，∴sin∠DBP=AD/AB =1/2 ，∴∠ABP=30°， ∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．故选B．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角

三角形的有关知识，解题的关键是有题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．(圆内角＞圆周角＞圆外角)

5、【解析】解：连接OC，如图所示： ∵圆心角∠BOC与圆周角∠CBD都对

，∴∠BOC=2∠CBD，又∠CDB=20°，

∴∠BOC=40°，又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°， 则∠E=90°﹣40°=50°．故选B 【点评】本题主要考查了圆的切线的性质、同圆中同弧所对的圆周角相等及等边对等角等性质；解决本题的关键是熟悉圆中常见辅助线作法及相关性质.难度中等． 6、

考点： 切线的性质。

分析： 由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，

即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．

解答： 解：∵BC与⊙0相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，

∵∠ABC=70°，∴∠OBA=∠OBC﹣∠ABC=90°﹣70°=20°， ∵OA=OB，∴∠A=∠OBA=20°．故选B．

点评： 此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的

应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．

7、

考点： 切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；

相似三角形的判定与性质。

专题： 计算题。

分析： (1) 连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，

得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到 ∠OAC＝∠OCA，可得AC平分∠BAD．

(2) 连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的 性质即可求出AB的长．

解答： 解：(1)如图：连接OC，

∵DC切⊙O于C，∴AD⊥CD，∴∠ADC＝∠OCF＝90°，∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，即AC平分∠BAD． (2)连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，

4

∵∠OAC＝∠OCA，∴△ADC∽△ACB，∴在Rt△ADC中，AC＝2

，

，∴AB＝5．

，CD＝2，∴AD＝4，∴

8、解析（:1）过AB的中点O作OE⊥CD于E.证明OE的长等于半径即可（.2）证明∠COD=900，运用勾股定理求值..

答案:证明： 过AB的中点O作OE⊥CD于E.

S梯形ABCD=

111(AD+BC) •AB=(AD+BC) •OA=2(AD•OA+BC•OB) 222=2(S⊿OAD +S⊿OBC)

由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD

111AD•OA+BC•OA=CD·OE 22211∴(AD+BC) ·OA=CD·OE又AD+BC=CD 22∴

∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD∴CD是⊙O的切线 即：CD与⊙O相切 …………5分

（2）∵DA、DE均为⊙O的切线，∴DA=DE，则∠1=∠2，同理∠3=∠4. ∴∠COD=900.

∴CD=OD2OC2628210(cm) …………5分 点评:本题考查梯形、直线余与圆的位置关系、勾股定理.根据圆的切线的定义准确的作出辅助线是解决问题的关键.本题中运用面积法证明AD+BC=CD很巧妙.难度较大. 9、解析：（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可；

（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用摄影定理可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE；

（3）连接BC．四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知

∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD；根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形． 答案：解：（1）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，BF∥CD， ∴BF⊥AB，即BF是⊙O的切线；

（2）如图1，连接BD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）；

2

又∵DE⊥AB∴AD=AE•AB；

∵AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm，∴BE=AB﹣AE=3.6cm； （3）连接BC．

5

四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形．理由如下： ∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD； ∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等）， ∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA； 又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°， ∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆形O），如图2， 在△OBC和△ODA中， ∵

，∴△OBC≌△ODA（SAS），

∴BC=DA（全等三角形的对应边相等），

∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）； ∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形．

10、

考点： 切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形

的性质；相似三角形的判定与性质。

专题： 计算题；证明题。 解答：

(1)①解：E的坐标是：(1，)，

②证明：∵矩形OABC，∴CE＝AE，BC∥OA，∴∠HCE＝∠EAG， ∵在△CHE和△AGE中

，∴△CHE≌△AGE，∴AG＝CH．

(2)解：连接DE并延长DE交CB于M，

∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中点，

6

∵在△CME和△ADE中，∴△CME≌△ADE，

∴CM＝AD＝2－1＝1， ∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形，∴MD⊥OD，MD⊥CB， ∴MD切⊙O于D，

∵得HG切⊙O于F，E(1，)，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME， 在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2

即(1－x)2＋()2＝(＋x)2，解得x＝，∴H(，1)，OG＝2－＝， 又∵G(，0)，设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，

把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b，得：k＝－，b＝， ∴直线GH的函数关系式为y＝－(3)解：连接BG， ∵在△OCH和△BAG中

，∴△OCH≌△BAG， ．

∴∠CHO＝∠AGB， ∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，∴OH平分∠CHF， ∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA， ∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE， 在△HOE和△GBE中

，∴△HOE≌△GBE，

∴∠OHE＝∠BGE，

∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA， ∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上，

21世纪教育网

过P做PN⊥GA，垂足为N，∴△GPN∽△GBA，∴，

设半径为r，＝，解得：r＝，答：⊙P的半径是．

点评： 本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质

和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．

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