解法探微长万.3夕排列组合解题中的转化与对应3O0071南开大学附属中学李连碧一、从数图形谈起:两条横边有烤种，可组成矩形烤。第二步取两条竖边有烤种，共引例:右图有多.少个矩形?}}}}与对应思想解题十分简洁漂亮登=lO0(个).显然，利用转化二、转化与对应—解排列组合问题的事指的是数出图中矩形分析:本题完成一件重要策略但要注意不重不漏的个数.可以分类完成，1转化与对应思想，不但可使引例简化，而且}}】个、可以组成分别由4个、6个、8个、1.显然9个、个、2}}但认真分析会发现，能使粗看起来与排列组合似乎没有什么联系，12价的问题，解法又十分巧妙通过转化，24+16+17+12+6+4+4+1=100(个、61个小正方形组成的矩形，其和为个16).若+广，既可同数学本身的其他知识点联系，又可跨.这类问题涉及面使之对应与之等换一个角度思考，矩形有两条横边、两条竖边，学科与其他学科联系，还可以与生产生活实际每取出两条横边两条竖边就对应着一个矩形，联系，于是问题转化成取两条横边两条竖边共有多少种方法?完成这件事亦可分两步完成:第一步取及的问题面，它也是近几年高考在排列组合考点尚未涉对培养学生的思维能力十分有益.另一方知识的同时重在能力的考查.而高考考纲又十分强调在考查基础.是否可以这样说，直径，AD土(刃往汇土。)/尸一~\\24.即:l’①且沪以〕=300，求月与+(仪二D刃相切=月月，求证，，月C，;②若(刃:月五=5.6米AF二四、综合运用DE土CD解析:①过0作OE丫，EAD为垂足CD..’AD//土《CI〕，王〔工D〔刃9及二角梯形乃月例7。)，口今一CD如图AB中，5，CD=2A，在直月/图7图6滋月=3，AD=7，在AD.’〔E又为梯形的中位线0为AB的中点，1，，，.。。。。若能，上能否找到一点尸，使△尸AB与△尸CD:。〔犯二代犷气八口州卜上民洲少了.n。、。。。。U少十..上凡沪no乙=2乞0。忆刃己尸D的长，共有几个符合条件的点尸?并求出相应的相似?粤型结论解析:若不能，当乙汇r请说明理由尸=乙A尸.B时，‘BA，又oE上cD…cD与。。相切②连L甲(1)可得:则由相似模刀E滋E，’:乃刀是00的直径.，.艺A石月=900，-A一B，即D尸237一DP从而由相似模型结论(1)得消B尤民沪。。=-弋94-解得:=1或D尸=当艺2芜尸=艺月刀尸时，则由引申结论6(2)三、相似模型的引申。，川得:节二，DP厂了1=万百’〔℃以，p币二工护1沪今了2则有△在如图例6(万D1中，当满足乙〔万D=匕八EB时，(湖州中考题的△八EB，)为什么为了测量校园水平地?综上所述解得二1〕P=:共有2.83D_(’组做了如下的探索面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小:根据《科学》中光的反射定△尸八符合条件的点尸，使得个律，尸D=B1的△于℃或6或2.8D.，此时米的点量方案利用一面镜子和一根皮尺，设计如图:时恰好在镜子里看到树梢顶点E把下面很小的镜子放在离树底7的测处，然后沿着直线BE后退到点(B)8.4开挖的金矿，只要我们在丰富的宝贵财富，是值得总之，课本中蕴藏着DE=2.4米，观察者目高。A，再用皮尺得D，这注重领会讲解教材例题的图8(月月)同时，充分发挥课本例题解析的高度约为:弓。申结论_(2)器一豁米.()=精确到1.6米，则树0.1米)应用，的潜能，能力.必定能提高学生的分析问题，将例题作为原型加以模型化，解决问题的使之广泛才口.奄汕上海中学数学2008年第1期试问:这样的函数共有多少?分析:A=11，2，3，4，5，6，7}B=只要在能力的考查的力度上再推进一步就必将有所涉及.因此不能不引起我们的重视.笔者对此作了一些归纳.例1现有人民币壹元的4张、拾元的3张、由映射定义可知。其本质相当于把7封信投人2个信箱，因而A到B的映射共有2’=128(个)，{0，1百元的出不同款额的种数为2张，用这些.人民币任意付款，_则可以付分析:法都对应一种付款额同取法，可分三步完成，只要手不空，则每种取将问题转化成对这三种人民币的不.于是由分布计数原理共不能组成付款额，有:5x4x3=60(种)不同取法，而三种都未取付款额故共有60一1=59(种)不同的些对角线无三线共点例.2凸八边形的对角线有多少条最多有多少个交点?(端点除外)，那么在形内?如果这分析:共有对角线‘一8二从结论出发去考虑，因为每一个交点对应两条要求在形内有多少个交点，可用逆向思维20(条)对角线，是焦点个数就对应四边形的个数而两条对角线又对应着一个四边形.问题转化成.于由凸八边形的八个顶点取4个顶点可组成多少个四边形的问题的所有连线中，此例推广:在形内最多有多少个交点一个圆周有.以二70(个n个点).(，)4)?分析，它们:显然最多是指组成的凸n边形的对角线在形内两两相交且交点不同，故最多共有嵘(个)交点.例3从一个3^x4A到对角顶点方格的一个顶点B的最短路线有几条?的最短路线均需走分析:从A到B7格，和纵向的于是我们只要确定这3格)中的每一格是横向走还是纵向7格(包括横向的4格走就可以了(或哪3格是纵向走.实际上只要确定哪).于是问题转化成每一条从4格是横向走A中取出到B的最短路线对应着从4格(横向走)或3格(纵向走1、2、3、4)、的一个组5、6、7格合.因而从A到B的最短路线共有C争=口=35(条)例4自然数21“3“5的正约数的个数为()A.120B.150C.2D.368法.如分析:2’“为:此题可转化为对因数10个2相乘，因而对2、23、的不同取法5的不同取有1种，即取0个、取1个、取2有同样的对因数3的取法有4种，对因数个一取5的取法10个.53数，6种.每一种不同的取法都对应着一个正约其中都不取对应约数5，故共有正约的个1，都取对应约数为lX4x6=2’”2(个)选(C){xll(例5x(已知函7x〔N}y=f(x)值域为定义域为B=10，A=1;，再由题意的值域均为:值城是{0.1}.B二10，1}即每一个函数就是要求值域到非空数集上的映射，即必须是满射决定的这是函数定义:非空数集.也都有原象。而0B或中的每一个元素在定义域1在八中无原象的映射各有一A中个，故函数f(x)的个数为27一2=1261、2、3例的三个盒子内要求放人盒子的球数不小6将10个完全相同的小球放人编号为(个)于它的编号数，A.20种则不同的方法有B.15种’C.14(种)D.12种x、y、分析:个相同的小球，:设编号1、2、不同放法可转化为不定方3的三个盒子中分别放人数解的个数程x+y+二.=1即不同放法与不同正整数解对应0且x)1、y)2、二)3的正整.4令“，问题又转化为这个不定的方程非负整数解的=x一1、。二夕一2、切二2一3得u十二+w二个数，即为所求的不同放法种数15(种)故选(B):日十3一，=例7不定方程x:+仰+*3++二，二。的正整数解有多少组②当，二分析:①当nm
;，时有C病组解，此题即为上面例6的推广共有例8(a+。〕”而分析L(a+6)+:该题属二项式定理应用，即.一项十b+.。)5的展开式合并同类项后。〕5=(a千6)5+以:(a+〔a(十占)4cb)十口(a十b)3产+砚(a+b)2c3+侧(a十b)c4十户，展开式的项数为6+5+4十3一卜2十1=21(项)项必为砂亦可转化成排列组合问题求解项数相当于求不定方程b扮，其中二+y十2二sx、y.、由于其通数解(x，.y)z.令x+y+2=52任N求则的个数ox=的非负整之+1，oy=y+1，0z2二1ox+yo十:。=8的正整数解的个数。可用上例中推广的公式有哪练习:(1)在(护+3x+2)s=2的展开式中士1(种)的系数为A.160()B.240C.36OD.8002()(a+b+日9的展开式中砂护。2的系数为平行线，3()正方形各边上的n个等分点作各边的正方形的长方形有多少个可得各式各样的长方形，问?:其中是非答案:(1)(B)(2)以砚以=25520(3)嵘十1以十:一(12+22+32…+，2)~二~:n1吸刀，，1乙-一1)(3n+2)(个)
