襄缪旷安徽教育学院学报自然科学版(年第期总第期有界闭集上积分的可积条件和极限定理方全国周其生积分的可积条件与极限定理机限。R(摘要关键词本文进一步讨化了有界闭集上有界闭集上积分可积条件((R文」中定义了有界闭集上的,、积分并然数集下同)〕引理4s[设,。讨论了可积条件和极限定理本文给出另一可3]中的关于闭区间上积充要条件并把[2〕〔l为闭区间;x,E为有界闭集若V,,x任l自E有D,。(f)<。(己>o)则存在l的一个分(3)(R)积分的一些极限定理推广到有界闭集上。法使s(R)积分L`]一s(o)仁(o)[el;、,」<,611门El[,〕x有界闭集上的(R)积分的可积条件)定义在E上的实函定义1设E仁Rf(x效eE若V>o日6>oVeEnU(6)()一,份)I<附称f()在相对E连续;有!f,,证明间包盖I、,V。anE三一个含的有限开区x的闭il二使得I,(fEIn)E<,6(其中虱表示a,。,,xa,,)。因为n。是紧集故有有限个这样的l2,覆二。,二。1门E设。是以l,,和这有限个…,,l:的端点为分,否则称Ef(x)1在a不相对EE连续f.点的分法若1zl。是nD的子区间则6。定理对E有界闭集(x上的有界函数f)在()几乎处处相x。,(f;x门E)<6(k~,2…、,)。从而上(R)可积l][的充要条件是,S(o)一s(n)一习、11门El<习11门E-、连续设。一6}l自E}。证明之前我们引进一些记号和引理f(x)其中,叭=。、(f;l门E)f(x)定义在E上,。是定义在集,E仁R上的函数,J任RE引理,5有界闭集:Ef)上的有界函数(x在,,,是有限开区间当suxJn;E护必记试fJ;J门)E一(fJ门J;pf(x)一nE,xnff(x)i行J当。,门E一必记;。。上(R)可积的充要条件为V￡>O存在「目XXX。。(f;〔〕的分法使:一〕nE)二〔卜i1】,〔JnE万,E)=0;,由于VJ仁R。有J(fJ自E));0J:且里,JZxi门EI[〕<」’。其中a=infE日=supE。(JJ,Z仁R)时有(f;门E)簇。(f自E)。门E)Va证明,只需证明充分性(必要性由[l]中定、,任E我们定义。_~理’可知)取nf。(fi;~`_￡(f;a)=l[`J(l)一言_,l__、(任n丫犷),存在仁叼的分x1「`_尸,“,法aD。引理]设。a任,E,则0。f(x)在相对E连续r使的充要条件为`f(E)一a习<生n,。x(f「:`x、刁nE〔〕一,_二x刁nE):[〕设引理2。E仁R为闭集则V。,r>0,E一{a一(f;a)、令}为闭集现设}f(x)}簇MVa,x任[a,b。〕V>。,,0,,日`,N引理E,。[5]3[`〕设E={a〔E}f(x)在不相对。、、一使~连续}则Eo去N。。<一丢设2“。D一、、的分点为目J、x,,…x则”“~Z沙八、“/J叫””“=UE。,(2);云(f;[x。一,,x、门E〕)”}[xt一:,xi门E}<〕其中E一{。E}。(f))告},n。一、(/犷表自贵<￡/2安徽教育学院学报(自然科学版1令。一,X告饥城一二…一二一,赢}列,设。是「a川的任意分法,且满足久D()<。为方便计,将分法D的子区间记为巨司,由于从川<`,故[希一,,毛」(:~l,2…,)l中必至少含有一个。,],于是甲。(f,,,`J;L。门C〔气[。〕自忍)l仁。,:,〕自君l镇一J`艺。(f;[x卜,,:))u,:,L。。]c〔工、〕门刃}〔〕门El一l气一。(,;[:卜,,:`〕自。)l「。,,,〕门:I。[〕〔习[二_一`」镇。(f;[x`一,,x`]门E)}仁x一,,x〕门君},而当:`任仁二,。〕时。(f,〔u,v]自E)}「u,,,j门君}簇2对d故习。(f,[。,。]门:)1[。,。〕门。f艺。(f;[。,:」门、)l〔。,;,〕n:-~一仁:」〔艺〔气_.气」+。(f;[。,,,」门:)l[护,,,,]自:I`〔艺[“]镇习。(,;[:,,,j自:)1[式一,:`〕门。.+二〔艺2脚[:`]成艺。(f;〔x卜,二`〕门:!〔x_,:〕门:I+:脚<。/2+。/2一。,故由[l」中定理1知f(:)在E上()R可积。定理1的证明(必要性)得f(x)在有界闭集E上()R可积,要证E。~{。任E}f(幻在。不相对E连续}为L零测集,由引理3只需证V,任N,有m氏一0(m表示肠加阿此测度),记a消同引理5。取定,任N,因f(x)在君上伍)可积,V。>0,存在「a,声〕的一个分法D,使名()l)一。(刀)<乒(4)乙刀2因此,若l,,…,1是构成分法D的闭子区间,那么艺。l,*门:}一k=l艺。(f;,*自:)1,*自:}七二1=S(D)一s(D)`[〕于是61年第期(总第期。、!答.`自“,<六(5)现在用。+1个小开区间J、(k一12,…,。+1)将分法D的所有分点盖住且满足艺I了`IL`“<。/2(6)若用I`(k一1,2,…,。)表l*的内部则当l去n氏半必时,必有。(,;,`门刀)一、、素(7)由(7)有艺、.l,`门召1)艺。*,,*。:}、去,.门`,笋。12*门EI,0习I,n`.护中由(5)式得}I*门E}<￡/2,(8)但显然有忍。仁(乙/J。)U(乙尹(I*0自E)),(9),.门`.护巾由(6)、(8)、(9)即知m召,<￡,从而mE。=o。(充分性)得,E。~O,证(f:)在E上(l)可积。V。>0,取充分大的meN满足(刀一a)/m<。/2(a渭意义同前),令瓜={a任E{。(f;a)),由引理3,忍。里E。,故mE,一0,于是可有E二仁赶/l(10)其中每个1都是「a,川的相对开子区间,并且可以假设汐川<厂命面(11)(若试f;)E一0,则由[1〕中引理4知f(:)在E上(R)可积。)因为E,为闭集,因而也是[a川的闭子集,所以它是紧集,于是存在系列l。中有限个I,,I:,…,l,覆盖E。。,“现在[a刀〕一(l:U…UI;)是闭区间J,…J,的并集,即仁。,刀]=(I。:UI:U…UI;U1LU…UI,(12)!刃.“”创司刹刀安徽教育学院学报自然科学版)因为区间,j(一l2,…川不含练的点故据引理理,对/,有分法D,使得、,(。)一(`,,)<}J才nE去,(`3)我们作出仁“,刀〕的分法刀为)l一D,UD,U…UD,,即D的子区间是DlDZ,…D,的子区间以及了,,云:,…,乙,,于是:(。)一。(。)一艺{。(。j)一、(。,)}+艺。(f;乙nEI)乙n:!<素汐乙门“,+;`孙(,云。:)}了。。:.、田(r;〔,月守+万」nE)答}`门“`。;〔a,￡,\\<`,/二2+。二。(`fJ,。场,声尸〕引门一E),万下下ZoJ(F了了;[花。一万可,刀〕万飞下门E)=”由引理5的充分性知(f:)在E上()R可积。2、有界闭集E上()R积分的极限定理我们先给出如下一些定义。定义2设<人(x)}及j(幻均在有界闭集E上定义,对:。e召,若V。>O,日N,V:>N,3`>0,当x任EnU(:。,的时,恒有}二(x)一f(幻}<。,则称{介()x}在点x。相对E局部一致收敛于f(x);否则称{.f(:})在点x。不相对E局部一致收敛于(f:)。记E。一{:任l1c{f(:})在!不相对E局部一致收敛于f(x)}。若mE。=0,则称{二(x)}几乎处处相对E局部一致收敛于f(:)。定义3若饥(:)}在x。任E收敛于f(二)且V。,刀、>0V日,`。>人,及。>0,当x〔E自,(x。,d)时,有If。(x)一f(x)I<“则称工(:)}在点x。相对E局部广义一致收敛于f(:);否则称{f(x)}在点:。不相对召局部广义一致收敛于f(x),记E。一{:任州{f、(:)}在,不相对E局部广义一致收敛于f(:)}。若mE。一0,则称{f、(x)}几乎处处相对E局部广目臼唱盖~一-__(17年第期总第7期)义一致收敛于f(:)。定义4若f{。(动}在点x。〔召收敛于f又x)且V。>0V刃日N`>N及d>0,Vx任E印`(:。,。)n二日任{刀人,+]一,]A`}使得}二x()一f(x)}<“、则称{f(:)}在点x。相对召局部亚一致收敛于f(:);否则称{f。(,)在点x。不相对E局部区一致收敛于f(:),记召。一(:任川{f(:})在J不相对E局部亚一致收敛于f(:)}。若机E。一0,则称{二(:)几乎处处相对E局部亚一致敛于f(:)。显然,定义2强于定义3定义3强于定义4。引理6川设丈大(约}及(j:)在有界闭集E上定义,若伍(习}在:。eE逐项相对E连续且在:。相对E局部亚一致收敛于了(二),,则f(幻在:。相对E连续。证明由{二(幻}在点:。相对E局部亚一致收敛于f(幻知,V。>0,〕N,当n)N时,有}九(x。)一了(:。)}<。/3(14)且对上述。>0及N,日Nl>N及氏>O,V:任E自“(x。j。),日n:任{刀,N+l,…,刀`},使得If一f(x)I<。/3(15)因,`)八`,故由(14)式有If(`。)一f(x。)I<“/3(16)由于Vx任E自走`(x。,。。)有N镇n二簇刀`而j沁(x),方十,x(),…,fvx()在点x。均相对E连续,故分别存在相当的成>(0:一NN十1,…jlv)当:任E自I(x。,d。)时,有{f(:)一f:(x。)}<。/3令j`=n:`;`{d{N簇i簇N`},则当z任百门l厂(x。,d`)时Vn。任{N,N+1,…,N,}都有二I二(x)一苏(`。)I<￡/3(17)于是,可取`一m:n{。。,占`},V:任E印`(x。巧),由(]5),(16),(17)式可得!f(x)一f(x。)I