数列求和问题

例1．在等差数列an中，a11，前n项和Sn满足条件

S2n4n2,n1,2,，

一、知识归纳：

数列求和的主要方法：

（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。

重要公式：等差数列、等比数列求和公式； 12

+22

+…+n2

=

13336n(n+1)(2n+1)；1+2+…+n=(1+2+…+n)2

=

122

4n(n+1)；

（2）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n项和公式的方法。

（3）分组求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。 （4）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。

（5）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。 （6）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的

各项相减，也即是仿照推导等比数列前n项和公式的方法。若 {a

n }为等差、{ b n }为等比数列，则求数列 { a n b n }的前n项和可用此法。

二、学习要点：

1．等差、等比数列的求和方法及前n项和公式是数列求和的基础，要熟练掌握。

2．求数列的前n项和一定要抓住数列的通项，分析通项公式的结构与特点，通过对通项进行适当的变形、 转换达到求和的目的。

三、例题分析：

1.数列{an}的通项公式是an1项和为10，则其项数n为

nn1(nN)，若它的前nA．11 B．99 C．120 D．121

2.求数列11112,34,518,,(2n1)2n,的前n项和___________.

3.10029929829722212的值是________________.

4. 函数f(x)24x2,Sf(0)f(1n)f(2) …f(n1

nn)f(1),S.求5.已知annn2,求Sn.

常用技巧有：①

1n(nk)111k(1n1nk)； ②nknk(nkn)

③

111111(2n1)(2n1)2(12n12n1)； ④n(n1)(n2)2[n(n1)1(n1)(n2)]

Snn1（1）求数列an的通项公式；

（2）记bnanpan(p0)，求数列bn的前n项和Tn。

例2．正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Snan1. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设b1nan项和为Tn,求证:Tn1na,数列{bn}的前n12.

四、练习题：

1求11111*121231234123,(nnN)

2.求数列1，1，

11132435，…，

，…的前n项和S

n(n2)3.设f(x)12x,则2f(5)f(4)f(4)f(5)f(6)的值为______

4．设数列{an项和为S2n}的前n2n，{bn}为等比数列，且a1b1,b2(a2a1)b1. （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cnanb，求数列{cn}的前n项和Tn.

n思考题 1. 求数列5，55，555，…，55…5 的前n项和Sn;

2. 求和：Sn1n2(n1)3(n2)n1;