第２６卷第３期 广西师范大学学报：自然科学版 Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．３ ２００８年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｘｉ Ｎｏｒｍａｌ ＵｎｉＶｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｓｅｐｔ．２００８ 一类具有分布时滞的捕食者一食饵系统的周期解 潘嵘，冯春华 （广西师范大学数学科学学院，广西桂林５４１００４） 摘要：通过运用Ｇａｉｎｓ和Ｍａｗｈｉｎｓ的重合度理论，得到了该模型的正周期解全局存在性的充分条件，改进 推广了有关文献的已有结果。 关键词：捕食一食饵系统；分布时滞；重合度；周期解 中图分类号：０１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—６６００（２００８）０３—００２９—０４ 在捕食者一食饵理论和相关的生态数学问题中，一个重要且普遍的问题是种群之间的长期共存。我们 知道，环境或生物本身由于自然的因素都是经常变化的（如：季节的交替变化、食物的供给、动物繁殖的周 期性变化等），因此研究生态系统解的性态问题就显得非常重要。并且捕食者一食饵系统也是种群动力学中 一类非常重要的模型，已经被许多学者所研究 。韦煜明等 对一类捕食一食饵系统进行定性分析；仇华 海、陈斯养啪则研究一类捕食被捕食系统的渐近性；范猛、王克 ］贝Ｕ进一步考虑了含时滞的系统，利用重合 度理论得到保证系统存在正周期解的充分条件。更多有关这方面的工作见文献［９，ｌＯ－Ｉ及其所引文献。 本文主要在文献［１ｏ３具有Ｂｅｄｄｉｎｇｔｏｎ—ＤｅＡｎｇｅｌｉｓ功能性反应函数（或营养函数）模型 ｌ 一ｚ１ Ｌｌ—ｚ１ 一—１＋ｎｘｌ—＋ｍｘｚ ｌ【 ｄｔ一而１＋ 案 一ｚ１＋ ｚｚ 的基础上进行推广，目的是通过运用强有力的Ｇａｉｎｓ和Ｍａｗｈｉｎｓ［ｎ 的重合度理论，获得系统正周期解全 局存在性的充分条件。周期解也相当于自治系统的动态平稳点。我们研究下面的系统： ｆＪ ｄｘｌ （ｔ）一ｚ （ ａ（ｔ）－ｂ（ｔ）ｆ￣一ｘｌ（ｔ－＋－０）ｄ／ｚ（０）］一再ｃ （ｔ） ｘｌ （ｔ） ｘｚ（ｔ）， １ｄｘ（￣ｔ）＝Ｘｚ（ｔ）［－ｄ（ｔ）－＋－ ｆ（ｔ ）ｆ￣＿ ｏｘｌ（ｔ ｑ－Ｏ） ｄｒｌ（Ｏ ）］。 ’ 这里ｍ、 、ｒ、口都是正的常数，并且 、 都是非减的函数，使得 ｒ／（ｏ＋）－－ｇ（－－ａ一）＝＝：１， （０＋）－－ｌ￣（－－ｒ一）一１。 ．７Ｃ１（ ）、ｚ２（ ）分别表示在时刻ｔ时食饵和捕食者的密度，口（ｆ），６（￡），ｆ（￡）， （ ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ＋），Ｒ十一（０，＋∞）的 连续的正的 周期函数。 １ 主要结果 为了证明周期解的存在性，我们引入重合度理论中的延拓定理 。 引理１ （延拓定理）设Ｌ是指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射，Ｎ在 上是己一紧的。假设：（ａ）对任意 ∈ （０，１），方程Ｌｘ—ａＮｘ的解满足 ０￣２Ｎ ｄｏｔａＬ；（ｂ）对任意的ｘＥ ａｏ Ｎ ＫｅｒＬ，ＱＮｘ：；：ｋＯ；（ｃ）ｄｅｇ｛ Ｑ ， ￣ＫｅｒＬ，０｝≠０。则算子方程 ｚ一№在ＤｏｍＬｎ 中至少存在一个解。 收稿日期：２００８一Ｏｌ一２７ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０４６１００３） 通讯联系人：冯春华（１９４９一），男，广西荔浦人，广西师范大学教授，博士。Ｅ－ｍａｉｌ：ｃｈｆｅｎｇ＠ｍａｉｌｂｏｘ．ｇｘｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ ３０ 广西师范大学学报：自然科学版 第２６卷 引理２ Ｒ 关于系统（１）是正向不变的。 对系统（１），考虑初值问题ｚ （ ）一体（ ），ｓＥ［一ｒ（盯），Ｏ］，ｚ （Ｏ）＞Ｏ，Ｇ一１，２）。用如下记号 ｉ －ｌ一 （ Ｌ＝ ｒａｉｎ一ｇ（ｆ） Ｍ．￣＿ ｍａｘＪｇ（ｚ）， 。叫叫其中ｇ（￡）是连续的正的 周期函数。下面叙述本文的主要结果。 定理１ 如果ｍａＬ—ｆ ＞Ｏ，ｅｘｐ｛一２ ∞）—（ｍ—ａＬ－ ｃｕ ）（ｆ Ｌ －ｎｄＵ）—。．．．．．一甜 。．。．．．．．．。．．．．．．．。．一∞Ｌ —一一１＞０，且代数方程系统 一 ｒ●●●Ｊ ●●Ｊ 一 ＣＵ ２ 一ｏ， 一 ｆＵ ｌ ＝０有唯一解（ ， ）， ，＞０， ＝１，２。则系统（１）至少存在一个正的 ｄ ｄ １ ● ●●，●●●Ｊ 周期解。 证明设 （ｆ）１ｎｘ （￡）， ＝１，２，代入系统（１）得到下面系统： Ｉ ｄｕｌ （ｔ）一 一 ｆｏ—ｒｅｘｐ｛ｕｌ（ｔｑ－Ｏ））ｄ （ ）一『干 ｃ （ｔ）万ｅｘｐ ｛ｕ ２（ｔ） ｝ ， １ ｄ ｕ２（ｔ）一 ＋ ｆ （ｔ）ｆ ＿￣ｆｘ ｐ｛Ｕｌｉ（ｔ＋０ ）｝ｄｒ （Ｏ） 。 为了完成定理１的证明，我们只需证明系统（２）的 周期解的存在性。 取 —ｚ＝（（ １ ），Ｕ２ ）） ＥＣ（Ｒ，Ｒ。）：Ｕｉ（ｔ－ｌ－ｗ）一 ｆ０），ｉ＝１，２）。记Ｉｌ Ｉｆ—Ｉｌ（ １（ｆ）， ２（ｆ）） ＩＩ—ｍａｘ ｔＥ［Ｏ， Ｊ １（￡）Ｉ＋ Ｊ 。（ｚ）Ｉ。则Ｘ和ｚ在范数ｌＩ・ＩＩ－Ｙ￣Ｂａｎａｃｈ空间，令 ：Ｄｏｍ ｎ — ，且Ｎ：Ｘ－－￣Ｘ，这里 口０）ｍ Ｌ一６（， ｆ ）Ｊ－ｅｘｐ（ ｏ＋ ）｝ｄ （ ）一 ．．， ｌ ４、１ Ｊ．．／ 上ｌ“ Ａ ｃ（“１＼・，， ｔ）ｅｘｐ｛Ｕｌ，，‘ Ａ ２（ｔ））、“２ ‘ ， Ⅳ Ｌ２‘２Ｊ — 厂（ ）ｌ ｅｘｐ｛Ｕ１（ｆ＋ ））ｄｒ／（０） 一ｄ０）＋ ｒ０ 广０ １＋ ｌ０ ｅｘｐ｛甜１（ｆ＋ ））ｄ （ ）＋７，ｌ Ｉ ｅｘｐ｛ ２（ｔ－￣－Ｏ））ｄｒ／（０） 一ｏ ０—０ 定义Ｐ［Ｌ Ｊ：］ Ｌ一Ｑ［ ］ Ｊ 一 ，［ ］∈ｘ—ｚ。显然：ＫｅｒＬ－－｛ｚ Ｉ ｘＥ Ｘ，ｘ＝ｈ，ｈＥ ｈ￣），ＩｍＬ＝（ｚ Ｉ ∈ｚ， Ｉ ｚ（ｔ）ｄｔ｝是Ｚ的闭子集，且ｄｉｍＫｅｒＬ＝２－－ｃｏｄｉｍＩｍＬ，故 是指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射，Ｌ的逆映射Ｋｐ： 叫 ｒ山 ｌ Ｉｍ三一Ｄ０ｍＪ乙ｎＫｅｒ尸存在，且 ≯ ）一｝ｚ（Ｊ ０ ｓ）ｄｓ－－ＪＩ｝ｚ（ ０ Ｊ ０ ｓ）ｄｓｄｔ。于是ＱＮ： —ｚ和Ｋｐ（ —Ｑ）Ⅳ： — 满 足 丢．ｆ：（ｎ（ ）一６（ ．ｆ－０ ｅｘｐ｛ （ ＋ ）｝ｄ （ ）一ｉ二 ＾＿ 舌 ） Ｑｇｘ＝ 厂（ｆ）Ｉ ｅｘｐ（ １（￡＋ ））ｄｙ（０） （＿ｄ∽＋ ｒ０ ｒＯ １＋以ＩＪ一 ｅｘｐ｛Ｕ１（￡＋ ））ｄｙ（０）＋ ＩＪ一 ｅｘｐ｛Ｕ２（ｔ－Ｉ－Ｏ））ｄｙ（０） 对应于算子方程Ｌｘ＝ＡＮｘ， ∈（Ｏ，１），有： －ｆ＝＿ ｅｘｐ｛ ｃ ＋ ））ｄ ｃ 一 ： 丢 号 ］， 厂（ｆ）ｌ ｅｘｐ｛Ｕ１（￡＋ ））ｄｒ／（０） （３） ｒ０ ｒＯ １＋，ｚ Ｊ一 Ｉ ｅｘｐ｛ １ ＋ ）｝ｄｙ（Ｏ）＋ ＩＪ一４ ｅｘｐ（“２（ｔ－＋－Ｏ））ｄｒ／（０） 设（ １（￡），Ｕ２（ｆ）） ∈Ｘ是系统（３）对应于某个 ∈（Ｏ，１）的解，将式（３）的两端同时从０到 积分得： 第３期 潘嵘等：一类具有分布时滞的捕食者一食饵系统的周期解 ３ｌ 』ｏ ｂ （ ｏ＿ ｅｘｐ｛ ｃ ＋ ，）ｄ ｃ ＋．ｆ：ｉ二Ｆ 笔 舌亏 厂（￡）Ｉ ｅｘｐ｛ １（￡＋ ））ｄｒ／（０） 一＝ ∞， ｄｏＪ。 ｃ４ （５） ｒ０ ｒＯ １＋，２ Ｉ ｅｘｐ（ １（ｆ＋ ）｝ｄ （ ）＋ Ｉ ｅｘｐ（ ２（ ＋ ））ｄ７（ ） Ｊ一 Ｊ一 由式（３）～（５）有： Ｊｆｌ Ｉ－０ Ｉ Ｉ ｄｔ＝Ａ ＪｆＩ Ｉ ０ Ｉ口（ｆ） －ｂ（ｔ）ｅ＿Ｊｆ ＿ｏ一 ｅｘｐ ｛ （１（ｆ＋ ）｝ｄ （ ）一ｉ一 上＝—Ｔ ｃ［＝。：ｃ ……，一…，……，＾ 、１ａ １ｔ（ ‘ｔ ） ｅ ｘ，ｐ， ＿｛ｔＴｕ－ｚ，＿ ，（Ｉｔｃ ）五＾｝、１ 、ａ 。２ ， ‘，， Ｉｄｔ＜２ａｔｏ，（６） Ｉｒ Ｉ Ｉｄｔ＝Ａ ｒＩ ∞ Ｉ－ｄ（ｔ）＋ 厂（ ）Ｉ ｅｘｐ｛ １ ０＋ ））ｄｙ（０） Ｊ ０ Ｊ ０ ｐ０ ｒＯ 出＜２ 。 （７） １＋ ＩＪ一 ｅｘｐ｛ １（ ＋ ））ｄｙ（０）＋ ｌＪ一 ｅｘｐ｛ ２（ｆ＋ ））ｄｙ（０） 因为（ １（￡）， ２（￡）） ∈Ｘ，所以存在ｔ ，ｔ；∈［０，∞］， 一１，２，使得 Ｕｌ（ｆｌ，＝ｍａ ｘｕ１（ｆ）， １（ｆ ）＝ （￡）；／－／２（￡ ＝ ｍａｘｕ２（ｆ）， ２（ｆ 。（￡）。 （８ ｌ∈［。卅于是，由式（３）可以得到两个方程右边为零，并结合引理２得： ａＭ￣ｂＬｅｘｐ｛ｕ１（ｆ ）），口 ≤ ｘｐ｛Ｕｌ（ｔ１））＋ Ｍ。 则： ｆ）≤ ｆ：）＋ （ｆ）ｌｄｆ＜ｌｎ（ａ Ｍ）＋２ ， （９） 或 ）一 ） （１０） 由式（９）、（１Ｏ）可知： ｍａｘ［Ｉ （圳≤ｍｆ）ｌ≤ｍａｘ｛（Ｉｌｎ ）笞）＋２ ’ ，Ｉｌｌｎ（ ｍａ Ｌ－ｃＭ）一２ ）：＝Ｈ ＝ 。。 （１１ ） 同样，由式（３）并结合式（１Ｏ）得： ｅｘｐ ｕ２（ｆ。））≥ ［ｅｘｐ｛一２ ）—（ｆ—Ｌ－ｎｄ Ｍ ） （ｍ ａＬ－ｃＭ）———一一１］：＝＝＝Ａ 。 ，甜 于是有 ２（ｆ）≥ ２（ｚ２）一Ｉ Ｉ （ ）ｆｄｔ≥Ａ１—２ 。 （１２） Ｊ ０ 另外，由式（１１）和（１２）可得： ）≤ｌｎ（ ）≤ｌｎ（ｆＭａＭ ｅ ｘｐ ｛２ａｗ｝．）：＝Ａ２。 这样 ２（￡）≤ ２（ｆ ）＋Ｉ Ｉ （￡）Ｉｄｆ≤ ２＋２ ∞。 （１３） Ｊ ０ 由方程（１２）、（１３）可知： ｍａ∈Ｌｏ州ｘ［ ｚ（￡）Ｉ≤ｍａｘ｛ＩＡ２—２ ｆ，ＩＡｚ＋２ 』）：一Ｈｚ。 （１４） 显然Ｈ （ ＝１，２）的选取与 的选取无关，由定理已知条件代数方程组 ｆ 一 一 Ｃ Ｕ２ —０， ＝ｏ。 有唯一正解（ ｆ，Ｕ２ ）∈Ｒ 。令Ｈ＝Ｈ ＋Ｈ。＋日。，其中日。＞Ｏ充分大，使得：ＩＩ（１ｎｕ｛，Ｉｎ ） ＩＩ—Ｉｌｎ Ｉ＋ ］ｌｎｕ；１＜Ｈ３。记０一｛（１ｎｕｌ（ｆ），ｌｎｕ２（ｆ）） Ｅｘ：Ｉ１（ ， ２） Ｉ１＜Ｈ）。则 满足引理１中的条件（ａ），当（ １（ｆ）， ｚ（ｆ）） ６ａ￣ＮＫｅｒＬ＝ＯＤｆ］Ｒ￣，（ １， ） 是Ｒ。中的常值向量且∑ｉ＝ｌ ｌｕ，Ｉ＝Ｈ。 ３２ 广西师范大学学报：自然科学版 第２６卷 于是 ｛ｌ 一 １一—１＋ｎｅｘｐｕｚ一 ｃ—＋ｍｅｘｐｕａｅｘｐｕｚ ｑ＿ｌｆ ≠［ ］满足引理 的条件 ｂ 。 下面说明引理１ 接计算知： ｄｅｇ｛ ＱＮ（ｕｌ， ２） ， ｎＫｅｒＬ，（Ｏ，０） ｝ 一 一ｄｅｇ ‘ ｛（ｔ Ｌ 一６ 一 ｘ ｘ 一 ｐｕｌ １＋ｎｅｘｐｕａ— ｃｅｘｐｕｅｑ－ｍｅｘｐｕＺ ’， ～ Ｆ 一 Ｆ ｆ ｅｘ ｐ ｕｚ ） ａＮＫｑＪＩ Ｉ ｅｅｒ Ｌ，（Ｌ’ ｕ’０，ｏ）ｕ ） ａｃ ｙｅｘｐ＝ｓｇｎ 丽ｕ； ｅｘｐ（ 。一１≠０。 因此（ ， ） 是系统（１５）的唯一解。 至此我们已经证明了ｎ满足引理（１）的全部条件，由引理１，方程Ｌｚ一Ⅳｚ在ＤｏｍＬｎ 中至少有一 个解，即系统（２）也即系统（１）至少有一个正的 一周期解，定理证毕。 参考文献： ［１］ＧＯＨ Ｂ Ｓ．Ｇｌｏｂａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｔｗｏ ｓｐｅｃｉｅｓ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｂｉｏｌ，１９７６，３（３／４）：３１３—３１８． ［２］ＨＡＳＴＩＮＧＳ Ａ．Ｇｌｏｂａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｉｎ ｔＷＯ ｓｐｅｃｉｅｓ［Ｊ］．Ｍａｔｈ Ｂｉｏｌ，１９７８，５（４）：３９９—４０３． ［３］ＨＥ Ｘｕｅ—ｚｈｏｎｇ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｄｅｌａｙｓ ｉｎ ａ ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９６，１９８（２）：３５５—３７０． ［４］余沛，苟清明．具有Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ—Ｍｅｎｔｅｎ类型功能反应的３种群捕食者一食饵时滞系统的持久性［Ｊ］．ＩＮＪＩＩＮ￣大学学报： 自然科学版，２００６，２９（４）：４２０—４２３． ［５］ＣＨＥＮ Ｙｕａｎ—ｍｉｎｇ，ＨＵＡＮＧ Ｙｏｎｇ—ｎｉａｎ，ＺＨＡＮＧ Ｊｉａｎ—ｘｕｎ．Ｓｗｉｔｃｈｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔ ｉｎ ｔｈｒｅｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｒｅｙ—ｐｒｅｄａｔｏｒ ｓｙｓ— ｔｅｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００７，３９（１）：２０—２３． ［６］韦煜明，曾婉婷，丁昌明．一类被开发的捕食一食饵系统的定性分析［Ｊ］．广西师范大学学报：自然科学版，２００６，２４（３）： ３０—３３． ［７］仇华海，陈斯养．一类捕食与被捕食饵系统的渐近性Ｄ］．广西师范大学学报：自然科学版，２００５，２３（２）：４８—５１。 ［８３范猛，王克．一类具有ＨｏｌｌｉｎｇⅡ型功能性反应的捕食者一食饵系统全局周期解的存在性［Ｊ］．数学物理学报，２００１，２１Ａ （４）：４９２—４９７． ［９］ 陈凤德，陈晓星，张惠英．捕食者具有阶段结构ＨｏｌｌｉｎｇⅡ类功能性反应的捕食模型正周期解的存在性以及全局吸引 性［Ｊ］．数学物理学报，２００６，２６Ａ（１）：９３—１０３． ｒｌＯ］ＣＡＮＴＲＥＬＬ Ｒ Ｓ，ＣＯＳＮＥＲ Ｃ．Ｏｎ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ Ｂｅｄｄｉｎｇｔｏｎ—ＤｅＡｎｇｅｌｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｒｅｓｐｏｎｓｅ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００１，２５７（１）：２０６—２２２． ［１１］ＧＡＩＮＳ Ｒ Ｅ，ＭＡＷＨＩＮＳ Ｊ Ｌ．Ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｄｅｇｒｅｅ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１ ９９７・ Ｐｅｒｉｏｄｉｃ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ Ｄｅｌａｙｓ ＰＡＮ Ｒｏｎｇ，ＦＥＮＧ Ｃｈｕｎ—ｈｕａ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕａｎｇｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇｕｉｌｉｎ ５４１００４’Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａ ｃｏｎｔｉｎｕａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｂａｓｅｄ Ｏｎ Ｇａｉｎｓ ａｎｄ Ｍａｒｗｈｉｎｓ ｃｏｎｃｉｄｅｎｃｅ ｄｅｇｒｅｅ ｔｈｅｏｒｙ，ｓｕｆｆｉ— ｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｆｏｒ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ，ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｒｏｖｅｓ ａｎｄ ｅｘｔｅｎｄｓ ｓｏｍｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｔｅｒａｔｕｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ ｓｙｓｔｅｍ；ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ ｄｅｌａｙ；ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ ｄｅｇｒｅｅ；ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｓｏｌｕｔｉｏｎ （责任编辑黄勇）