高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于F1F2，当常数等于F1F2时，轨迹是线段F1F2，当常数小于F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程(x6)2y2(x6)2y28表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2y2x2（1）椭圆：焦点在x轴上时221（ab0），焦点在y轴上时22abab＝1（ab0）。方程Ax2By2C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，

且A，B，C同号，A≠B）。

若x,yR，且3x22y26，则xy的最大值是____，x2y2的最小值是___（答：5,2）

x2y2y2x2（2）双曲线：焦点在x轴上：22 =1，焦点在y轴上：22＝1

abab（a0,b0）。方程Ax2By2C表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，

且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e2的双曲线C过点P(4,10)，则C的方程为_______（答：x2y26）

（3）抛物线：开口向右时y22px(p0)，开口向左时y22px(p0)，开口向上时x22py(p0)，开口向下时x22py(p0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

x2y21表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围如已知方程

m12m是__（答：(,1)(1,)）

32

（2）双曲线：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a最大，a2b2c2，在双曲线中，c最大，c2a2b2。

4.圆锥曲线的几何性质：

x2y2（1）椭圆（以221（ab0）为例）：①范围：axa,byb；

ab②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心

（0,0），四个顶点(a,0),(0,b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：

a2c两条准线x； ⑤离心率：e，椭圆0e1，e越小，椭圆越圆；eca越大，椭圆越扁。

x2y2如（1）若椭圆1的离心率e105m5，则m的值是__（答：3或

25）； 3（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）

x2y2（2）双曲线（以221（a0,b0）为例）：①范围：xa或xa,yR；

ab②焦点：两个焦点(c,0)；③对称性：两条对称轴x0,y0，一个对称中心

（0,0），两个顶点(a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2y2k,k0；④准线：

a2c两条准线x； ⑤离心率：e，双曲线e1，等轴双曲线e2，cabe越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：yx。

a（3）抛物线（以y22px(p0)为例）：①范围：x0,yR；②焦点：一个焦

p点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴

2py0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线x； ⑤

2c离心率：e，抛物线e1。

a如设a0,aR，则抛物线y4ax2的焦点坐标为________（答：(0,1； )）16ax2y25、点P(x0,y0)和椭圆221（ab0）的关系：（1）点P(x0,y0)在椭圆外

ab2222x0y0x0y0（2）点P(x0,y0)在椭圆上22＝1；（3）点P(x0,y0)在椭圆221；

abab

内xy1 ab202202

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；

（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。 提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；

x2y2（2）过双曲线22＝1外一点P(x0,y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情

ab况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近

线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆一点与两焦点所构成的三角形）问题：

Sb2tan2c|y0|，当|y0|b即P为短轴端点时，Smax的最大值为bc；

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反

之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且x1,x2分别为A、

B的横坐标，则AB＝1k2x1x2，若y1,y2分别为A、B的纵坐标，则AB＝

1121ky1y2。AByy，若弦AB所在直线方程设为，则＝xkyb122k特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

b2x0x2y2在椭圆221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；

ay0abb2x0x2y2在双曲线221中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛

abay0p物线y22px(p0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！ 11．了解下列结论

2222yyxx（1）双曲线221的渐近线方程为220；

ab22byx（2）以yx为渐近线（即与双曲线221共渐近线）的双曲线方程aab22为x2y2(为参数，≠0）。 abab（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为mx2ny21；

2b2（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准

ab2距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为2p，焦准距为p；

c（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；

（6）若抛物线y22px(p0)的焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则

p2①|AB|x1x2p；②x1x2,y1y2p2

4（7）若OA、OB是过抛物线y22px(p0)顶点O的两条互相垂直的弦，

则直线AB恒经过定点(2p,0)

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

1（1）在ABC中，给出ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中

2

线;

（2）在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

（3）在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（4）在ABC中，给出OAOBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（5） 给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数,使ABAC；③若

存在实数,,且1,使OCOAOB,等于已知A,B,C三点共线.

（6） 给出MAMB0,等于已知MAMB,即AMB是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是钝角, 给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角,

MAMB（7）给出MP,等于已知MP是AMB的平分线/ MAMB222（8）在平行四边形ABCD中，给出(ABAD)(ABAD)0，等于已知ABCD是菱形;

（9） 在平行四边形ABCD中，给出|ABAD||ABAD|，等于已知ABCD是矩形;

13.圆锥曲线中线段的最值问题：

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________

(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。

分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、AQHPFB

Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2，2）（2）（,1）

x21、已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、

414右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。 (1) 求双曲线C2的方程；

(2) 若直线l：ykx2与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足OAOB6(其中O为原点)，求k的取值范围。

解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为x2y2ab22则a2413,再由a2b2c2得b21. 1，

x2y21.3故C2的方程为

（II）将

x2ykx2代入y21得(14k2)x282kx40.

4由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得

11(82)2k216(14k2)16(4k21)0,即 k2. ①

4x2将ykx2代入y21得(13k2)x262kx90.由直线l与双曲线C2

3恒有两个不同的交点A，B得

2113k0,22即k且k1. 22232(62k)36(13k)36(1k)0.62k9设A(xA,yA),B(xB,yB),则xAxB,xxAB13k213k2 由OAOB6得xAxByAyB6,而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)

(k21)xAxB2k(xAxB)2 (k21)3k272.3k1962k2k2 2213k13k3k2715k21313122解此不等式得于是26,即0.k或k. ③

3k13k21153由①、②、③得k2或故k的取值范围为(1,141313k21. 1513311313)(,)(,)(,1) 153223152.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）, （MA+MB）• AB=0,即（-x,-4-2y）MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知

• (x,-2)=0.

所以曲线C的方程式为y=x2-2. (Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=x2-2上一点，因为y'=x,所以l的斜率为x0因此直线l的方程为yy0x0(xx0)，即x0x2y2y0x20。 则

O

点到l的距离d2|2y0x0|2x041414121212.又y0x022，所以

1412x04142d2(x04)2, 22x042x04

当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.

x2y23.设双曲线221（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双

ab曲线的离心率等于( )

x2y24.过椭圆221(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦

ab点，若F1PF260，则椭圆的离心率为

x2y25.已知双曲线21(b0)的左、右焦点分别是F1、F2，其一条渐近线方程

2b为yx，点P(3,y0)在双曲线上.则PF1·PF2＝( )0

6.已知直线ykx2k0与抛物线C:y28x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k( )

7.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.

x2y28.椭圆1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2| ；

92F1PF2的大小为 .