中掌生ｉｉ；；理亿．掌所版 求二项式系数的常见的五种方法 ‘‘ 两球’’平衡模型归类分析 一郝林莉 二项式定理是高中数学重要内容之一，有关问题几乎每 年高考都涉及到，且常常是以考查二项式系数问题的形式出 现．本文例析几种常用的解决方法，供参考． 一■祁国环 物体的平衡是历年高考考查的热点之一．近几年的高考 题中，常出现两球与绳、杆、弹簧等相联系的平衡模型，为便于 学生复习，下面对此作一归类分析． 一、通项公式法 ／ １ 、７ 这是解决二项式系数问题最常用的一种方法． 、两球与轻杆相联模型 ｏ 例ｌ （ ＋专）的二项展开式中 的系数是——． ’ 、，工 例１如图１所示，一个半 球形的碗放在桌面上，碗口水 平，０是球心，碗的内表面光滑． 一解：。．．丁』＋ｌ—Ｃ；（２ｚ） ・（ 一专） 一 一Ｃ；・２ ・ ｃ；．２ｒ．Ｘｒ． ． ・Ｘ－＇ ￣－ ＝ 根轻质杆的两端固定有两个 小球，质量分别是ｍ ， 。．当它 若为 的一次项，则 一１，即ｒ＝３， 们静止时， 、ｍｚ与球心的连线 跟水平面分别成６Ｏ。、３Ｏ。角，则碗 对两小球的弹力大小之比是（ Ａ．１：２ Ｃ．１ √３ Ｂ。√３：１ Ｄ．√３：２ ） 图１ Ｉ．．ｚ的系数是Ｃ｝・２ 一３５×８—２８０． 二、数列求和法 例２求（１＋ｚ）。＋（１＋ ） ＋…＋（１＋ｚ） 展开式中含 项的系数． 分析：利用等比数列求和公式来求可事半功倍． 解析：以两小球整体为研究对象，其受力 解：原式一 ±三 二 ．，７２ 原展开式中含 项的 分析如图２所示，碗对两小球弹力的矢量和 系数，即为（１＋ｚ） 。展开式中含 项系数． ．ｒ１４ 一大小等于两小球的重力之和，Ｎｌ／Ｎ 一 ｔａｎ６０。一 ：１． （ ＋３）・（ ＋２）・（ ＋１）・ — 一一—— ｒ一一‘ 二、两球与轻绳相联模型 例２ 如图３所示，Ａ球和Ｂ球用轻绳 相连，静止在光滑的圆柱面上， （用 图２ 三、乘法分配律法 特别适用于两个或多个二项式积的形式． 例３ （ｚ＋２） （ｚ 一１）的展开式中ｚ 的系数为 若Ａ球的质量为御，则Ｂ球的 质量为（ Ａ． 数字作答）． 解：由ｚ 的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积 的系数，（ ＋２）”中 的系数为ｃＬ・２ ，Ｘ１。的系数为Ｃ｝。・２ ． 因此， 的系数为４Ｃ 一Ｃ？。一１７９． 四、特殊值法 ）． ｍ Ｂ．２３ｃ．警 Ｄ．詈 Ｚ 图３ 特别适用于求所有项、奇数项、偶数项的系数等问题，常 用取特殊值法解决． 例４ 若（１一 ） 一ａｏ＋ａ１ ＋ａ２ｚ ＋ｎ３ ＋ａ４ｚ ＋ ａ５ｚ ＋ｎ６ ＋口７ ，则口０＋ａ２＋ｎ４＋ａ６的值是 ａ４ ＋ａｓ ＋ａ６ｊｒ６一ｔ－ａ７ｚ ． 解析：选Ａ隔离Ａ，分析Ａ受力，有重力、支持力、绳子的 拉力．把重力沿圆柱面的切线方向和垂直圆柱面的方向分解， ＦＴｌ ｍｇｓｉｎ３７。．隔离Ｂ，同理有Ｆ丁２一ＭＢｇｓｉｎ５３。．由于绳中张 力大小处处相等，故Ｆｒ１＝Ｆｎ，即ｍｇｓｉｎ３７。：Ｍ￣ｇｓｉｎ５３。，所 ０一． ． 解：令ｆ（ｚ）一（１一 ） ：ａ０＋ａ Ｊ ＋ａ２ 。＋ａ３ｚ。＋ 于是有，（１）一ａｏ＋ａ１＋ａｚ＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６＋ａ７＝０， －厂（一１）一日０一口ｌ＋ｎ２一ａ３＋ａ４一ａ５＋ａ６一ａ７＝２ ，两式相加 得：ａ０＋ａ２＋口４＋ａ６＝６４． 以Ｍｎ—ｍｔａｎ３７。一半． 三、两球与弹簧相联模型 例３ 如图４，小球Ａ和 Ｂ用轻弹簧相连放在光滑绝 缘的水平面上，弹簧两端与小 球连接处绝缘．现让Ａ、Ｂ带上 五、转化法 图４ 把多项式以配方、分拆、合并等技巧，化归为二项式问题 来解决． 例５ 求（１＋ ）。・（１－－ｘ） 展开式中含 。项的系数． 等量同种电荷后，弹簧的伸长量为ｚ。，系统静止在水平面上， 若使两球电量加倍时，系统仍然静止，这时弹簧的伸长量为 ２，则（ ）． Ｂ． ２一 ｌ Ｃ． ２＜４ ｌ Ｉ）．ｚ２＞４ｘｌ 分析：本题虽可分别把（１＋ｚ） ，（１一ｚ） 展开后，通过求 其相乘后所含 项的系数来解，但是，如把式子改写成（１一 ） 展开后各项的系数与（１＋ｚ） 中含ｏｆ＂项的系数． 解：原式可化为（１一 ） ・（１＋ ）。．（１一ｚ ） 中含ｚ。项 ． Ａ． ２—２ｘＩ 解析：设弹簧的自然长度为Ｌ，劲度系数为七，两球的电量 都为ｑ，则对Ａ球初始和最后的平衡状态分别有： 一 ｚ ． 为：Ｔｚ一一４ｓｃ ；（１＋ｚ） 中含ｚ项为：丁２＝２ｘ．．。．（１＋Ｉｒ） ・（１ －ｘ） 展开后含 项的数为一８． 作者单位：河南省林州一中 两式相比，可得：詈一装 拳＞ １，即ｚｚ＜４ ． 作者单位：河南省林州一中
