上海交通大学物理第三版 5刚体力学基础习题思考题

习题

5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和求重物的加速度和两滑m的重物组成的系统从静止释放，轮之间绳内的张力。

解：受力分析如图

2mgT22ma T1mgma

（1）

（2） （3） （4）

(T2T1)rJ

(TT1)rJ

ar

(5)

a111g， Tmg48联立

5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上,设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求:（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 （1） 设杆的线ml，在杆上取一

小质元dmdx

dfdmggdx dMgxdx

l20 考虑对称

1M2gxdxmgl

4（2） 根据转动定律MJJd

dt

Mdt0t0w0Jd

11mgltml20 412 所以

t0l 3g5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕

在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR2/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。

mgTmamdvdt TRJ dvdtR 整理 (m12M)dvdtmg

vt0dvm01gdt

m2M

vmgt

mM2

5-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳

的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对

O轴的转动惯量JMR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速

向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？

解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，

v为重

物上升的速度，系统对轴的角动量

LMMvRM(uv)R(R2)44

3MvRMuR2MdLdt

根据角动量定理

3d3MgR(MvRMuR) 4dt2du33dv30 MgRMRMRa dt42dt2

所以

ag2

5-5. 计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。

证明：设球的半径为R，总重

量为m，体密度3m4R3，

将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘， 则盘的体积为 (R2Z2)2dZ

21R8222J(RZ)dZR5mR2 2R155

5-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k40N/m，当

0时弹簧无形变，细棒的质量m5.0kg，求

在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度，才能转动到水平位置？

解：机械能守恒

mg111J2kx2 222 根据几何关系

3.28rads1

(x0.5)21.5212

5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：

（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。

解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程

机械能守恒

mgR1J2 2

J1mR2mR2 24g3R vcR34Rg 3

vA2R16Rg3 FymgmR27mg 方向向上 5-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光

滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为

1l和32l．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，31以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以v0的

2速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。

解：根据角动量守衡 有

22ll21mv0l()2m()22mmlv0 33332 3v02l

5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开

始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)

1MR2，2

1MR2mR2 2mv (2m2 M)RRM2（2）MdMdmgr0gr22πrdrMgR

R3 解（1）角动量守恒

mvR

2M2m21MgRt(MR2mR2)0，tR 324Mg由（1）已得：2mvmv，代入即得t23 MgM2mR

5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰

撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。

(已知棒绕O点的转动惯量J1m1l2) 3 碰撞时角动量守恒

1m2v1lm1l2m2v2l

3

3m2(v1v2) m1l

细棒运动起来所受到的摩擦力矩

M0lm11gxdxm1gl l2MJd dt12mld1t3 0dt1m1gl2t2l2m2(v1v2) 3gm1g

5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm2，半径为

7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲

度系数k200N/m的弹簧相连，若绳与滑

轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 （1）机械能守恒。 设下落最大距离为h

12khmgh 22mg0.49m hk111（2）kx2mv2J2mgx

22222mgxkx vJmr2dv若速度达最大值，0

dx12

xmg0.245(m) k

259.80.2452000.24522mgxkx2v1.31m/s J0.01m2522r(710)1212

5-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇

通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？

解：（1）通电时根据转动定律有

MPMMrJddt

 Mrk

tJd 代入两边积分 0dt0Pk2 tP(1eJ) k2k（2）电扇稳定转动时的转速 m（3）

kJddPk0m

0dd

Jk JkP k5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量

相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮

以0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？ 解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒

1112J0J2mv2 2221vR0 3 vR

Tmgma TRJ Tmg3

aR

5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度为多少？

解：此过程角动量守恒

mRv 

J

0mrvJ

5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m（m较小），边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急

刹车停止时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：（1）汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；（2）此时，货物箱A边所受的支反力。 解：（1）角动量守恒 根据转动定律

mgmv0l22ml 23 3v04l

l22ml23 3g4l

（2）Nxmacxmacncos450mactcos450

思考题

5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 (m1m1gT1m1a T2m2gm2a (T1T2)rJ

ar

（1）

（2） 插入图5-29 （3）

(4)

联立方程可得 T1、T2。 T2T1

5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相

等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作

用到盘上，则盘的角速度怎样变化？ 答：增大

5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒,角动量守恒;（B）机械能守恒,角动量不守恒,

（C）机械能不守恒,角动量守恒;（D）机械能不守恒,角动量不守恒. 答：（C）

5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质

点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b所示。

以Ⅰ为轴转动惯量 以Ⅱ为轴转动惯量

J9ma2 J3ma2

以Ⅲ为轴转动惯量

J7.5ma2

5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互

间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。 试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？

答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J10J2

J10J

2

5-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在xd处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。

答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。