第２８卷第３期 徐州师范大学学报（自然科学版） Ｖｏ１．２８，Ｎｏ．３ ２０１０年９月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｕｚｈｏｕ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｓｅｐ．，２０１０ 带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子 在加权Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ空间的有界性 肖 强，司颖华 （兰州商学院统计学院，甘肃兰州７３００２０） 摘要：利用带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子在Ｌ 空间和齐次Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ空间Ｍ ； （ ）上的有界性，证明 了它在更广泛的一类空间即加权Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ空间ＭＲ￣ａｑ（ ， ）上的有界性． 关键词：加权Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ空间；Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子；粗糙核 中图分类号：Ｏ１７４．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—６５７３（２０１０）０３—００１７—０４ Ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｒｏｕｇｈ ｋｅｒｎｅｌ ｏｎ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅｓ ＸＩＡＯ Ｑｉａｎｇ，ＳＩ Ｙｉｎｇｈｕａ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｆｉｎａｎｃｅ＆Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｌａｎｚｈｏｕ ７３００２０，Ｇａｎｓｕ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｒｏｕｇｈ ｋｅｒｎｅｌ ｏｎ ｔｈｅ Ｌ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅｓ，ｉｔ ｉｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｒｏｕｇｈ ｋｅｒｎｅｌ ａｌｓｏ ｈａｓ ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｎ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅ；Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｒｏｕｇｈ ｋｅｒｎｅｌ 设Ｓ一 为 （ ≥２）中的单位球面，用ｄａ＝ｄａ（ｘ ）表示Ｓ一 上的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度．设ｎ∈Ｌ （Ｓ一 ）是零阶 齐次函数且满足 Ｉ ｎ（ ）ｄｘ 一０， （１） 其中ｚ 一 ，ｘ＃Ｏ．带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子定义为 ｚ）一（ （ 。 ， （２） 其中 Ｆａ ｚ）一ｆｌｚ－ｙｌ ＜， １ ｚ— ＩＹ ．‘ ｆ（Ｙ． 对于Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子的加权有界性，Ｄｉｎｇ，Ｌｕ等给出了加权Ｌ一有界 ，Ｌｕ和Ｙａｎｇ研究了 加权Ｈｅｒｚ—Ｈａｒｄｙ空间的性质 引，吴翠兰研究了分数次积分交换子在Ｈｅｒｚ空间和Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ空间上的有 界性［４］，陶双平等研究了Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子和交换子在齐次Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ空间的有界性 ］．本文在 以上工作的基础上，证明了带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子 在加权Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ空间上的有界性． １概念和引理 在叙述主要结果之前，先给出一些必要的概念和引理． 设ｋ∈Ｚ，令 Ｂ ＝Ｂ（０，２ ）一｛ ∈Ｒ ：Ｉ ｚ Ｉ≤２ ）， Ｃ 一Ｂ女＼Ｂ 一 ， 收稿日期：２００９—１２—１０ 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０５７１０１４，１０６７１１５８），兰州商学院科研资助项目（０９０９０１４） 作者简介：肖强，男，讲师，硕士，主要从事小波分析、数量经济学的研究． 引文格式：肖强，司颖华．带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子在加权Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ空间的有界性．徐州师范大学学报：自然科学版，２０１０，２８ （３）：１７—２０． Ｘｉａｏ Ｑｉａｎｇ，Ｓｉ Ｙｉｎｇｈｕａ．Ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｗｉｔｈ ｒｏｕｇｈ ｋｅｒｎｅｌ ｏｎ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅｓ．Ｊ ＸＵＺｈｏｕ Ｎｏｒｍ Ｕｎｉｖ：Ｎａｔ Ｓｃｉ Ｅｄ，２０１０，２８（３）：１７—２Ｏ． １８ 徐州师范大学学报（自然科学版） 第２８卷 并记ｊｃ —Ｘｃｋ为集Ｃ 的特征函数． 定义ｌ［ 设口∈Ｒ，０＜ ≤。。，Ｏ＜ｇ＜。。和 ≥Ｏ，定义齐次Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ空间Ｍ ； （ ）为 （ ）一｛ｆ Ｅ Ｌｆ０ （ ＼｛０））｝， 其中 厂 定义２ 设ａＥ Ｒ，Ｏ＜户≤ｃｘ３，Ｏ＜ｑ＜。。和 ≥Ｏ，∞ｌ， 。为非负权函数，定义加权齐次Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ空间 ＾旧 ＭＩ￣ａ ，ａ（ １， ２）为 ｌＶｌＲ 阳ｏ，￣（ ，∞ｚ）一｛厂Ｅ Ｌｆ０ （ ＼｛０）， ｚ）：ＩＩ厂Ｉｌ懈 （ ）＜。。）， （３） 『Ｉ Ｓ 其中 如果￣￣一－０３ 一－￣．０。＝１，ＭＫ ．．ａ（０２ ， ）即为Ｍ ；：∞ （Ｒ”），Ｌ （甜）即为Ｌ （ ）．由文献［７３知， ｆ ＪＢ Ｓ ＵＤ．Ｚ ∈ ｓｕｐ ∞（ ）≤Ｃ ｉｎ｛ 叫（ ）， ｋ∈Ｚ． （４） ２ 一 ≤； ≤２ 十 ２ 一 ＜ｌ ＜２ 十 ２ 引理１ Ｅ８ 设ｒＥ（１，。。］，假定ＤＥＬｒ（ｓ 一 ）．若 ＞ｏ，０＜ ≤ｒ和一ｎ＋ ＜ ｏ。，则 ∑一（Ｉ／、Ｊ Ｉ ｆ ’ Ｉ＜口ｌＹＩ Ｉ，０（ｚ一．∑一ｙ）１ ｛ｚ ｌ ｐｄｌｚ、） １／ｄ ≤Ｃ ｌ Ｙｉ‘ ＩｌｎＩ１２ ｂ 叫 Ｌｒ（ ）． 引理２Ⅲ 假定Ｑ∈Ｌ （Ｓ一 ）（ｑ＞１）满足（１）和ｈ（ｒ）ＥＬ。Ｂ 。（Ｒ＋）．如果Ｐ，ｑ和 满足如下条件之一： ｉ）ｑ ＜户＜∞和ｏ，ＥＡ ／ｑ＇； 、芝 ｉｉ）１＜ ＜ｑ和 ＥＡ ／ ，； ｉｉｉ）１＜ ＜。。和∞ ＥＡ ， ．厂 则ｌＩｔＤ（，） ￣Ｃｌｌ／ｌｌ ，这里Ｃ与 ，Ｐ，ｑ，ｈ，ｎ，Ｃｐ／ ，（（ｃＪ），Ｃｙ／４（∞ 一 ），Ｃ （叫。 ）无关． ２定理及证明 定理１ 设Ｐ∈（０，。。］，ｇ∈（１，。。）， ＞０，ａ∈Ｒ； Ｉ， ２∈ＡＩ且 ２满足（４）式；力∈Ｌ （Ｓ一 ） ｆ１＜ｒ≤。。满足 ｒ＋ ｒ一１１是ｓ”一 上的零阶齐次函数并且满足（１）式，带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子 ／。由（２）式定义．若口和ｑ满足以下条件之～： ａ ｇ＞ｒ 和ａ Ｅ（一号＋ ， （ 一吉）＋ ＋ ）； ｂ ｑｄｒ和ａＥ（ｎ（÷一吉）一÷＋ ，ｎ（ 一吉）＋ ）， 则 在Ｍ （ｃｏ ， ｚ）上有界． 证 首先证条件ａ）下结论成立． 若ｆＥ ＭＲ…ｏ，ａ （ 。，∞ ），记 ，（．ｚ） ∑ ，（ｚ）一∑ （ ）． 于是 、１／ｐ Ｄ（厂）｝ Ｉｇｄ￣ａ（ ） Ｐ｛ ］１＋Ｃ ｓｋ Ｚｎ ｕｐ（ ｗ１（Ｂ ） ）， ） Ｉ ／ｐ １ １／ｐ ＋Ｃ ｋｓ０∈Ｚ、 ｕｐ（ １（Ｂ ） ） ） Ｉ ＣＦ１＋ＣＦ２＋ＣＦ。． 首先考察Ｆ ，由定理的已知条件，即ｌ＜Ｚｒ ＜ｑ和∞ ＥＡ 满足引理２中的条件ｉ），可得 第３期 肖 强，等：带粗糙核的Ｍａｒｅｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子在加权Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ空间的有界性 １９ Ｆ—Ｃ ｓｕｐ （、 民 ）ｌ墨（ ） 一ｃ ． 对Ｆ ，考虑 ｃ ｃ（ ｚ ） ｓｕ￣ｍｚ（ｘ））ｌ／ｑ Ｃ（ｓｕＰ∞２（ｚ）） ／ （Ｅ１＋Ｅｚ）． ∈Ｃｋ ≤ ≤ ｆｊ（ｙ）ｄｙ』。￣）ｑ／Ｚｄｘｒ ｆｊ（ｙ）ｄｙ ｄｔ＼ｑ／Ｚｄ 注意到ｘｆｆ Ｃ ，ｙｆｆ ＣＪ，ｊ＜ｋ－－２，则ｌ ｘ－－ｙ ｌ～Ｉ Ｉ．于是 Ｉ Ｉ — Ｉ 一击ｉＩ ｚ ＩＩ ≤ Ｙ．Ｉ — Ｉ。’ 根据Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式和（５）式，有 ㈣ Ｅ Ｃ２ｉ／ｚ２－ｋ（￣／ｚ）Ｉ （ Ｊ （ｚ一 ）Ｊ Ｊ Ｊ 】 Ｊ— Ｊ，（ ）ｊ ｄ ）。ｄ Ｉ一． 由条件ａ），注意到ｑ＞ｒ ，故可选择适当的 ，使得 ａ＜一卢＋ 一ｎ。，． 口 ＋Ａ＜孢（＼ 一 ｒ ｑ）， ｒ＋ ＋ ， （ ）． 根据引理１和Ｈ６１ｄｅｒ不等式，可得 Ｅ ≤Ｃ２‘ ）（ ｝一 一吉）ＩＩ 由Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式及Ｉｘ－－ｙＩ～ｌｚＩ，有 Ｅ ≤ｌｆＣｋ（．ｆ。一 。≤ ｎ一 一（ ）（Ｊｌ ｉ１ ｄ ＼Ｊ１／２ｄ ＼Ｊ ｄｚＩ １／ｑ≤ｃ２ ｃ卜 （ 音一 ）ｌＩ Ｉ ，， （ ） ≤Ｃ２‘ ’（ 一 ） ． 注意到ａ＋／３＋ｎ，Ｘ＜０且是一 ≥２，因此 Ｆ ≤ｃ （∞ （Ｂ 。） ”）（ （Ｂ 。） ） 脉； ｎ一ｃｌＩ，『Ｉ 加 ． ． 最后估计 ．注意到当ｚ∈Ｃｋ，ｙｆｆＧ，ｊ：≥ｋ＋２时，有ｆｘ－－ｙＩ～』ＹＩ，则 （厂Ｊ） ≤Ｃ２ ｍ 又由ａ＋詈一 ＞０及忌一 ≤一２，因此 Ｆ３≤Ｃ ｓｕｐ （（Ｂ ） ”）（∞ （Ｂ ） ） 脉 、 一ｃ ． 于是，当条件ａ）成立时结论得证． 下面证明条件ｂ）成立时，结论也成立． 关于Ｆ２的估计，由定理中的已知条件，即１＜ｇ＜ｒ和 ｚ∈Ａ 满足引理２中的条件ｉｉ），可得 ｎ在 Ｌ （ ｚ）上有界．对于Ｆ ，类似于条件ａ），由Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ不等式和Ｈ６１ｄｅｒ不等式，可得 ｎ（ ） ）≤Ｃ２ ｈ ＩＬｑ（ｗ２）． 根据上面的估计，并注意到ａ＜ １一言）＋ 及是一 ≥２，可得 ｐ （ｏ￣・（Ｂ ） Ｆ ≤Ｃ ｓｕ∈。）（ －（Ｂ ） ”）ｌｌ厂 。ｃ Ｉ叫２）一Ｃ 厂ＩＩ ； ｃ ）． 最后估计Ｆ３．选择适当的ｙ，使得 口＞），＋旦一旦＋ ＞ ｒ ｑ ｒ 一旦＋ ｇ ． （６） 根据引理１，并注意到ｊ￣ｋ＋２，可得 ｎ（ ）Ｉ［Ｌｑ（ ）≤Ｃ２ ）， （７） ２０ 徐州师范大学学报（自然科学版） 第２８卷 因此根据（６），（７）两式，并注意到是一 ＜一２，ａ＋旦一），一旦一Ａ＞Ｏ，可得 ｑ ｒ ｋ０ 。。 ］１／ｐ Ｆａ Ｃ ｓｕｐ （、 民 ）ｌ墨（ ｒ ｋ０ ）（ ２ 一 ＩｌＬ Ｉ ） 。。 、１／ｐ ， Ｃ ｓｕｐ （￣０１（ 、） （ｃｏｌ（Ｂｋ）￣Ｐ／＂）（２ ； ｃ… ） １１ｆｉｌ￣％＂， ≤Ｃ ｓｕｐ （（Ｏ－１（Ｂ ） ）（ （Ｂ ） ） 、一ＣＩＩｆｌｌ￣２ｃ ｑ ， ． 定理证毕． 参考文献： ［１］Ｄｉｎｇ Ｙｏｎｇ，Ｌｕ Ｓｈａｎｚｈｅｎ，Ｋｏｚｏ Ｙａｂｕｔａ．Ｏｎ ｃｏｍｍｕｔａｔｏｒｓ ｏｆ Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ｗｉｔｈ ｒｏｕｇｈ ｋｅｒｎｅｌ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，２００２，２７５：６０． ［２］Ｌｕ Ｓｈａｎｚｈｅｎ，Ｘｕ Ｌｉｆａｎｇ．Ｂｏｕｎｄｅｄｎｅｓｓ ｏｆ ｒｏｕｇｈ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｏｎ ｔｈｅ ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ Ｍｏｒｒｅｙ－Ｈｅｒｚ ｓｐａｃｅｓ［Ｊ］． Ｈｏｋｋａｉｄｏ Ｍａｔｈ Ｊ，２００５，３４（２）：２９９． ［３］Ｌｕ Ｓｈａｎｚｈｅｎ，Ｙａｎｇ Ｄａｃｈｕｎ．Ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｈｅｒｚ—ｔｙｐｅ Ｈａｒｄｙ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｃｉ Ｃｈｉｎａ Ｓｅｒ Ａ，１９９５，３８（６）： ６６２． ［４］吴翠兰．分数次积分交换子在Ｈｅｒｚ空间及Ｍｏｒｒｅｙ—Ｈｅｒｚ空间上的有界性［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２０１０，２９ （１）：２０． ［５］ 陶双平，司颖华．带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分算子在齐次Ｍｏｒｒｙ－Ｈｅｒｚ空间上的有界性［Ｊ１．西北师范大学学报：自然 科学版，２００７，４３（１）：１． ［６２ 陶双平，司颖华．带粗糙核的Ｍａｒｃｉｎｋｉｅｗｉｃｚ积分交换子在齐次Ｍｏｒｒｙ－Ｈｅｒｚ空间上的有界性［Ｊ］．兰州大学学报：自然科 学版，２００８，４４（６）：１０１． ［７］Ｓｏｒｉａ Ｆ，Ｗｅｉｓｓ Ｇ．Ａ ｒｅｍａｒｋ ｏｎ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ ａｎｄ ｐｏｗｅｒ ｗｅｉｇｈｔｓ［Ｊ］．Ｉｎｄｉａｎａ Ｕｎｉｖ Ｍａｔｈ Ｊ，１９９４，４３（１）：１８７． ［８］ Ｍｕｃｋｅｎｈｏｕｐｔ Ｂ，Ｗｈｅｅｄｅｎ Ｒ ｌ ．Ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｎｏｒｍ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ ｆｏｒ ｓｉｎｇｕｌａｒ ａｎｄ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌｓ［Ｊ］．Ｔｒａｎｓ Ａｍｅｒ Ｍａｔｈ Ｓｏｃ，１９７１，１６１：２４９． ［责任编辑：钟传欣］ （上接第１６页） 参考文献： ［１］王宇吉，宋晓秋，黄岭．ｎ次积分Ｃ半群的概率逼近问题ＥＪ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２００７，２５（４）：２７． ［２］ 陆凤玲，宋晓秋，王甫红．Ｃ半群与抽象Ｃａｕｃｈｙ问题的Ｍｉｌｄ解［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２００８，２６（４）：３５． ［３］黄瑞，刘永．Ｂａｎａｃｈ空间中抽象半线性发展方程的初值问题［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２０１０，２８（１）：２８． ［４］郭小江，郭聿琦．强右型Ａ半群的平移壳［Ｊ］．中国科学：Ａ辑，１９９９，２９（１１）：１００２． ［５］Ｇｕｏ Ｘｉａｏｊｉａｎｇ，Ｓｈｕｍ Ｋ Ｐ．Ｏｎ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｈｕｌｌｓ ｏｆ ｔｙｐｅ－Ａ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ［Ｊ］．Ｊ Ａｌｇｅｂｒａ，２００３，２６９（１）：２４０． ［６３ Ｈｏｗｉｅ Ｊ Ｍ．Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔＯ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：Ａｃａｄ Ｐｒｅｓｓ，１９７６． ［７］郭小江，罗彦锋．富足半群上的自然偏序［Ｊ］．数学进展，２００５，３４（３）：２９７． ［８］谢祥云，郭小江．序半群的一类正则同余［Ｊ］．数学进展，２００７，３６（４）：４５９． ［９］Ｌｉ Ｈｏｎｇｗｅｉ．Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｈｕｌｌｓ ｏｆ Ｒｅｅｓ ｍａｔｒｉｘ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ｏｖｅｒ ｍｏｎｏｉｄｓ［Ｊ］．Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ａｓｉａｎ Ｂｕｌｌ ｏｆ Ｍａｔｈ，２０１０，３４ （２）：３０９． ［１Ｏ］Ｐｅｔｒｉｃｈ Ｍ．Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎａｌ ｈｕｌｌ ｉｎ ｓｅｍｉｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ ｒｉｎｇｓ［Ｊ］．Ｓｅｍｉｇｒｏｕｐ Ｆｏｒｕｍ，１９７０，１（１）：２８３． ［责任编辑：史成娣］