第２４卷 哈尔滨师范大学自然科学学报 Ｖｏ１．２４，Ｎｏ．６ ２００８ 第６期 ＮＡＴＵＲＡＬ ＳＣＩＥＮＣＥＳ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＨＡＲＢＩＮ ＮＯＲＭＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｂａｎａｃｈ空间中有界线性算子的 Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆的扰动分析木 马海风 李双臻 刘冠琦 王玉文 （哈尔滨师范大学） 【摘要】 对度量广义逆中Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆的扰动进行了初步的研 究．给出了度量稳定扰动的定义，应用度量稳定扰动的定义及广义正交分解定理给出 在一定的范数下，有界线性算子的单值度量广义逆Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆的误 差界估计． 关键词：Ｂａｎａｃｈ空间；度量广义逆；扰动 笔者对度量广义逆中Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量 ０ 引言 广义逆的扰动进行了初步的研究．首先，定义了度 广义逆的扰动理论在数值代数中有着非常重 量稳定扰动，然后，应用度量稳定扰动的定义及广 要的作用．在Ｓｔｅｗａｒｔ、Ｗｅｄｉｎ等人分别给出了方阵 义正交分解定理给出笔者定义的范数下，有界线 和长方矩阵的扰动理论－】 以后，有关加权广义 性算子的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆的误差界 逆一Ｄｒａｚｉｎ逆、Ｂｏｔｔ、Ｄｕｆｉｆｎ逆、广义Ｂｏｔｔ—Ｄｕｆｉｆｎ 估计． 逆的扰动理论的文章陆续问世－４一 Ｊ． 笔者仅讨论了有界线性算子的单值度量广义 Ｂａｎａｃｈ空间线性算子的线性斜投影广义逆 逆在一定的范数下的扰动，集值度量广义逆的扰 已不具备外逆的稳定性（因为内逆是不稳定的）， 动、单值度量广义逆在一般范数下的扰动等问题， 因而讨论其稳定性条件及连续条件就显得非常重 还有待于进一步探究． 要．Ｍ．Ｚ．Ｎａｓｈｅｄ在参考文献［８］中给出有界线性 算子Ｔ的线性斜投影广义逆 ，与 经过扰动后 １ 基本概念与引理 的算子 的线性斜投影广义逆 的误差估计． 设 、】，为Ｂａｎａｃｈ空间， （ ，】，）为从 到ｌ， 到目前为止，连续线性算子的线性广义逆的 的线性线性算子， （ ，ｙ）为从 到ｌ，中的有界线 扰动理论已经基本成熟，有了一些一般性的结果． 性线性算子．算子 的零空间与值域分别为 但是，由于度量广义逆的非线性（不可加）、集值 Ⅳ（ ）， （ ）． 性，使得一系列研究广义逆扰动的方法及理论在 元素 ∈Ｄ（Ｔ）ｃ Ｘ称为Ｔｘ＝Ｙ的极值解是 研究度量广义逆时不适用，这就决定了研究度量 指 ＝‰为泛函 ＿＋ｌ Ｉｒ（ｘ）一Ｙ Ｉｌ的最小值点， 最小范数的极值解叫最佳逼近解或最小范数极值 广义逆的扰动的困难性． 收稿日期：２００８—０７—２１ ｝国家自然科学基金资助项目（１０６７１０４９）、黑龙江省教育厅科学技术资助项目（１１５３１２４８） ２ 哈尔滨师范大学自然科学学报 ２００８拄 解 定义１．１【９ 设 、ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｔ Ｅ Ｌ（ｘ，ｙ），Ⅳ（ ），Ｒ（ ）分另Ｕ为 、ｌ，中的Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ 子空间，如果齐次算子 ：Ｄ（ ）一Ｄ（ ），满足 （１） Ｔ＝Ｔ，在Ｄ（ ）上； （２） ＝ ，在Ｄ（ ）上； （３） Ｔ＝Ｉｏ（即一７ｒ而，在Ｄ（ ）上； （４） ＝仃丽，在Ｄ（ ）上， 则称 为 的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆，其中 Ｄ（ ）＝Ｒ（ ）４－Ｆ； （Ｒ（Ｔ） ）． 引理１．２【９ （广义正交分解定理） 设 为 Ｂａｎａｅｈ空间， 为 的闭子空间．若 为 中迫近 集，则Ｖｘ Ｅ Ｘ，有分解式 ＝ ０＋ ｌ， 这里 ∈Ｐ （ ）， 。∈ （ ）． 若￡为 Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ集，则分解式唯一且 ＝仃 ＋ ｌ， ｌ∈ （Ｌ ）．其中Ｐ （ ）＝｛仃 ｝． 引理１．３【９ 设 、ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｔ∈ ８（ｘ，ｙ），ｉｖ（ ），Ｒ（Ｔ）分别为 、ｙ中的Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ 子空间，Ｆｒ：ｙ＝亭ｙ’为对偶映射，则 的Ｍｏｏｒｅ— Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆 唯一存在，且 （，，）＝（ ｌ ｃ（ｎ）～仃丽（），），Ｙ Ｅ Ｄ（ ）， 其中Ｄ（ ）＝Ｒ（Ｔ）４－，； （Ｒ（ ） ），ｃ（Ｔ）＝ Ｄ（ ）ｎ （Ⅳ（ ） ）． 引理１．４［１。 设Ｔ∈Ｂ（Ｘ，Ｙ），Ｎ（Ｔ），Ｒ（Ｔ） 分别为 、ｙ中的Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间， ＝Ｔ＋ ， ｂ∈ＪＲ（ ），且ｂ≠０，则对任意 Ｅ Ｉｓ（ ，ｂ）有 ０ ０ ｌｌ艿 Ｉｌ≤ｄｉｓｔ（￣，Ｓ（Ｔ，ｂ））≤ ｌＩ ０ ｌｌ Ｉｌ ｌ１． ２ 主要定理 设 、ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｂ（ ，ｌ，）为从 到ｙ 的有界线性算子，Ｌ（Ｘ，Ｙ）为从 到ｙ的线性算 子． 本章将在Ｂａｎａｃｈ空间中，初步讨论有界线性 算子的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆的扰动．在此 之前，我们首先定义度量稳定扰动． 定义２．１ 设Ｔ∈Ｂ（Ｘ，Ｙ），Ｎ（ ）与Ｒ（ ）分 别为 、】，中ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，若６Ｔ ｆｔ．Ｂ（ ，Ｙ） 满足 ＝Ｔ＋６Ｔ，且Ⅳ（ ）与Ｒ（ ）分别为 与ｙ 中ｅｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，则称 为 的度量稳定扰 动． 定义２．２设Ｔ Ｅ Ｂ（Ｘ，Ｙ），Ｎ（Ｔ）与Ｒ（ ）分 别为 、ｌ，中ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，记 △（ ）＝｛６Ｔ Ｅ ８（ｘ，ｒｒ）：６Ｔ为 的度量稳定 扰动｝ 易知△（ ）≠ ． Ｖ８（ ）∈△ ，令 ＝Ｔ＋ ，由弓Ｉ理１．３可 知 与 的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆均存在，且 Ｄ（ ）＝Ｒ（Ｔ）４－Ｆ （Ｒ（ ） ）， Ｄ（ ）＝ （ ）４－Ｆ （Ｒ（ ） ）． 因为Ｒ（Ｔ）、 （ ）均为ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，由广义 正交分解定理（见引理１．２）可知 Ｄ（ ）＝Ｄ（ ）＝ 再记 （Ｔ）＝｛ｂ∈Ｙ：Ｆｙ（ ６一 ６）ｎⅣ（Ｔ） ≠ （２ｊ｝ 则显然０∈ （Ｔ），故 ｒ（ ）≠（２ｊ，且ｙ （ ）ｃ ｙ为齐性集． 引理２．３ 设 、ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｔ∈ Ｂ（Ｘ，Ｙ），且Ｊ７ｖ（ ）与 （ ）分别为 ，ｙ中 ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，则△（ ）＼｛０｝≠【２ｊ． 证明 任取 ∈Ｒ，令６Ｔ＝．ｒ（ ）．则 ＝Ｔ＋６Ｔ＝（１＋丁） ， 从而Ⅳ（ ）＝ｉｖ（Ｔ），Ｒ（ ）＝Ｒ（ ），于是 ６Ｔ∈／ｔ（ ）． 定理２．４ 设 、ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｔ∈ Ｂ（Ｘ，Ｙ）， ＝Ｔ＋艿 令Ⅳ（Ｔ）、Ⅳ（ ）与Ｒ（ ）、 尺（ ），分别为 、ｙ中ｅｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，８Ｔ∈ △（ ）且Ｉｌ ｌ ＩｌＩ ＜ｌ，贝Ｕ ≤ＩＩ￣＇ＩＩ ≤ ㈩ 这里ＩＩ Ｉｌ为有界齐性算子范数，而 ６Ｓ Ｕ Ｅ ｒ（７＿） 斋 ” ” 如果 （ ）＝｛０｝，规定 ＩＩ 一 Ｉｌ。＝０． 证明 由条件可知，Ⅳ（ ）、Ｊ『ｖ（ ）与 （ ）、 尺（ ）分别为 、ｙ中的ｅｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，应用引 理１．３，推知 与 均存在，且 Ｄ（ ）＝Ｒ（Ｔ）牛Ｆ （Ｒ（Ｔ） ）； Ｄ（ ）＝Ｒ（ ）＋Ｆ；‘（Ｒ（ ） ）． 由于Ｒ（ ）、Ｒ（ ）均为ｌ，中的ｅｈｅｂｙｓｈｅｖ子空 间，应用广义正交分解定理，我们有 ＪＤ（ ）＝Ｄ（ ）＝ 若 （Ｔ）＝｛０｝．则（１）为平凡的，否则 Ｖ ｂ∈ ｒ（Ｔ），ｂ≠ ，元＝ 埘６∈Ｓ（ ，６）．应用弓Ｉ 第６期 Ｂａｎａｅｈ空间中有界王选性算子的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆的扰动分析 ３ 理１．４，我们有 ｄｉｓｔ（ｉ，Ｓ（Ｔ，ｂ））≤Ｉ ｌｌ ＪＩＩ艿 注意到 Ｓ（ ，６）＝ ６＋Ⅳ（ ）， ｌ 『ｌＩ． （２） （２） ｛ ｝， 存在，且 ≤ ‰ 证明 （１）因为Ｔ∈Ｂ（Ｘ，Ｙ），Ｒ（ ）闭，由参 考文献［１Ｏ］知 的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆 存 在．再由ｌ ｌＩｌ ｌＩ ｌｌ＜ｌ且 （ ）ｎ Ｎ（Ｔ ）＝ 为闭线性流形，且由Ⅳ（ ）为ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间， 知Ｓ（Ｔ，ｂ）为ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ线性流形，从而 ｄｉｓｔ（￣，Ｓ（Ｔ，ｂ））＝ｄｉｓｔ（ ， ６＋Ⅳ（ ）） ＝ｌ１ ６一 ６一仃 （ｎ（ ６一 ６）ｌＩ．（３） 这里丌Ⅳ（ｎ为从 到Ｊ７ｖ（ ）上的度量投影算子． 记 肼ｂ＝（ 一 ）６．由于ｂ Ｅ （Ｔ），从而 （不妨设 ．ｂ≠ ），．， （ ）ｎ Ｎ（Ｔ） ≠ ， （４） 任取 ’∈Ｆ （ ）ｎ Ｎ（Ｔ） ，贝ⅡＶ ∈Ⅳ（ ），有 ｌＩ Ｉｌ ２＝＜ ’， ＪｂＩｆ ＞＝＜ ’， ＾ｂ一 ＞ ，≤０ 。ｆＩ【Ｉ 村ｂ一 ＩＩ， 注意到ＩＪ ＩＩ＝０ ’Ｉ｝≠０，于是 Ｉ ｂ一０ ｌＪ＝ Ｉ ｂ— ｌ１． 因此，由Ⅳ（ ）为ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ子空间，且 仃＾，（力（ ）＝０， （５） 将（５）代人（３），得 ｄｉｓｔ（￣，Ｓ（Ｔ，ｂ））＝Ｉ ｌ６一 ６Ｉ１． 再由（２）式，有 ｌＩ（ 一 ）ｂ Ｉｌ≤ｌｆ Ｉ艿 ｌｌ Ｉｂ Ｉｌ 从而 ≤ＩＩ￣ＩＩ ＩＩ ａＴ ｆ． 对上式左端，关于ｂ∈ （Ｔ）取上确界，有 ＜ＩＩ ｒ￣ＩＩ ． 由于Ｉｌ ｌ Ｉｌｌ ｌＪ＜１，则 ≤ 值得注意的是：当 、ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间的特例 Ｈｉｌｂｅｒｔ空间时，由上述结果可以方便得导出众所 周知的扰动定理，即下面的推论２．５． 推论２．５ 设 、ｙ为Ｈｉｌｂｅｒｔ空间， Ｔ＝Ｔ＋ ，Ｔ∈８（ｘ，Ｙ），且 （ ）为闭子空间，如 果８Ｔ∈Ｂ（Ｘ，Ｙ），满足ｌＩ Ｉｌ Ｉ Ｉ＜１，且 尺（ ）ｎⅣ（ ）＝｛０｝，则 的Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ广 义逆存在且 （１） Ｉ≤ ； ＝（ —Ｔ ａｔ） Ｔ’ 从而 ＩＩ／＇＋ＩＩ≤ ・ （２）由条件，从而由定理２．４，得（Ｔ ＝ ， ＝ ） ０ 一 ＩＩ。≤ｌＩ ｌ ｌＩＩ ｌ１ ０ ｌ１． 再由已知条件中的（１）及上式得 ≤ ‰ 定理２．４仅仅考虑的是有界线性算子 的 Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ广义逆 ，与 的是Ｍｏｏｒｅ— Ｐｅｎｒｏｓｅ度量广义逆 在笔者定义的范数下的误 差估计．更一般形式的度量广义逆的扰动有待于 进一步研究． 参考文献 ［１］ Ｓｔｅｗａｒｔ．Ｇ．Ｗ．Ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｇｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｉｎｖｅｒｓｅ ［Ｊ］．ＳＩＡＭＪ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ．。１９７６。１７：３３－４５． Ｅ２ ２ Ｓｔｅｗａｒｔ．Ｇ．Ｗ．Ｏｎ ｔｈｅ ｐｅｒｔｙｒｂａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｓｅｕｄｏ—ｉｎｖｅｒｓｅ：Ｐｒｏ－ ｊｅｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｌｉｎｅａｒ Ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｒｅ－ ｖｉｅｗ，１９７７，１９：６２２—６３４． ［３］ Ｗｅｄｉｎ．Ｐ．Ａ．Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｙ ｆｏｒ ｐｓｅｕｄｏ—ｉｎｖｅｒｓｅ［Ｊ］． ＢＩＴ，１９７３，１３：２１７—２３２． ［４］王国荣．加权Ｍｏｏｒｅ—Ｐｅｎｒｏｓｅ逆的扰动理论［Ｊ］．应用数学 与计算数学学报，１９８７，１：４８－６０． ［５］ＧｕａｒＩｇＩＩａｏ Ｒｏｎｇ．Ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄ ｏｆｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｔｈｅ Ｄｒａｚｉｎ ｉＩＩｖ嘲 Ｊ】．ＩｊＴ髓ｒ Ａｌｊ ｎ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｌ＿Ｉ １９８２，４７：１５９－４６８． Ｅ６ ２ ＷａｎｇＧｕｏｒｏｎｇ，Ｗｅｉ Ｙｉｍｉｎ．Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅ Ｂｏｔｔ— Ｄｕｆｉｆｎｉｎｖｅｒｓｅａｎｄｉｔｓ ａｐｐｌｉａｃｔｏｉｎｓ［Ｊ］．Ｊ ＳｈａｎｇｈａｉＮｏｒｍａｌＵｎｉ— ｖｅｒｓｉｔｙ，１９９３，２２（４）：１－６． ［７］Ｌｉｕ Ｇｕｏｍｉｎｇ，Ｃｈｅｎ Ｇｕｏｌｉａｎｇ．Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｂｏｔｔ—ＤＩ曲ｎ ｉｎｖｅｒｓｅ［Ｊ］．Ｊ Ｅａｓｔ Ｃｈｉｎａ Ｎｏｍｕｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， ２０００，１：１—６． ［８］ Ｍ．Ｚ．Ｎａｓｈｅｄ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｉｎｖｅ￣ｅ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ／Ｌｏｎｄｏｎ，１９７６． ［９］ 王玉文．巴拿赫空间中算子广义逆理论及其应用．现代数学 基础丛书９４，北京：科学出版版社，２００５． ［１０］ 马海风，王玉文．单值度量广义逆的扰动分析．哈尔滨师范 大学自然科学学报，２００６，２２（２）：８—１０． ［１Ｉ］ＨｎｇＬｉｕ，ＹｕｗｅｎＷａｎｇ．Ｂｅｓｔ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆｌｉｎｅａｒｏｐ－ ｅｍｔｏｒ ｉｎ ｎｏｒｍｅｄ ｌｉｎｅａｒ ８ｐｓｃｅ．Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ Ａｐｐｌｉａｃ－ ｉｔｏｎｓ，２００７，４２０：９—１９． （下转第ｌｌ页） 第６期 一类广义Ｋａｃ—Ｍｏｏｄｙ代数的虚根系及由其特殊虚根决定的反射 １１ ＲＥＬＡＴＩｏＮＳＨⅡ’ＤＥＴＥＲＭＩＮＥＤ ＢＹ ＧＩＮＡＲＹ ＲｏｏＴＳ ＦｏＲ Ａ ＳＰＥＣＩＡＬ ＧＫＭ ＡＬＧＥＢＲＡ Ｓｏｎｇ Ｘｉｎｆａｎｇ Ｇｕ Ｌｉｃｕｉ Ｌｕｏ Ｆｅｎｇｊｉｅ （Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉｎｇｂｅｉ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ Ｃａｍｐｕｓ） （Ｈｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｍｅｄｉｃｉｎｅ） （Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ） Ｙａｎｇ Ｘｉａｏｄａｎ ｆ Ｔｈｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｅｑｕｉｐｍｅｎｔ Ｃｏｍｍａｎｄ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ） Ｗａｎｇ Ｓｈｕｑｉｎ （Ｈａｒｂｉｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ） ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｗｅ ｇｉｖｅ ｔｈｅ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｏｔ ｆｏｒ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ＧＫＭ ａｌｇｅｂｒａ ａｔ ｆｉｒｓｔ．Ａｎｄ ｔｈｅｎ ｗｅ ｇｉｖｅ ａ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆｒ ａ ｓｐｅｃｉｌａ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｏｔ．Ａｌｓｏ ｗｅ ｇｅｔ ａ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｌｙ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｏｔｓ ａｎｄ ｈｔｅ ｗｅｙｌ ｇｒｏｕｐ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉａｌ ＧＫＭ Ａｌｇｅｂｒａ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｗｅｙｌ ｇｒｏｕｐ；Ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｔ；Ｓｐｅｃｉｌａ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｏｔ；ＧＫＭ Ａｌｇｅｂｒａ；Ｐｕｒｅｌｙ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｏｔ； Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｉｍａｇｉｎａｒｙ ｒｏｏｔ （责任编辑：李双臻） （上接第３页） ＰＥＲＴＵＲＢＡＴＩｏＮ ＡＮＡＬＹＳＩＳ Ｆ０Ｒ Ｍ００ＲＥ—ＰＥＮＲｏＳＥ ＭＥＴＲＩＣ 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