高中文科数学立体几何知识点总结材料

ml若向量l和向量m共线且l、

一． 直线和平面的三种位置关系：

1. 线面平行

lααm不重合，则l//m。

2. 线面平行：

符号表示：

βl方法一：用线线平行实现。

2. 线面相交

lAααl//mml// l方法二：用面面平行实现。

符号表示：

3. 线在面内

lnl//l// l

αα符号表示：

二． 平行关系：

1. 线线平行：

方法一：用线面平行实现。

l方法三：用平面法向量实现。

若n为平面的一个法向量，nl且l,则

ml//m

m

l//ll//。

3. 面面平行：

方法一：用线线平行实现。

αβl'm'ml方法二：用面面平行实现。

lβγαm//ll//m m方法三：用线面垂直实现。 若l,m，则l//m。 方法四：用向量方法：

l//l'm//m'//l,m且相交l',m'且相交

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2. 面面垂直：

方法二：用线面平行实现。

方法一：用线面垂直实现。

βlCθABl//m////l,m且相交

l l

αβmlα方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

lmαlα

ACB

llm

m

方法二：三垂线定理及其逆定理。

P三．垂直关系： 1. 线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

αAlOPOlOAlPA l

lAClABl

ACABAAC,AB

方法二：用面面垂直实现。

方法三：用向量方法：

若向量l和向量m的数量积为0，则lm。

三． 夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：(0,90] (2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

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βlmml lm,l

nαAθPOα

步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理：

(三) 二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作

cbaθa2b2c2 cos2ab(计算结果可能是其补角)

l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为

二面角—l—的平面角。

方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)：

mnPl

cosABACABAC (2)范围：[0,180] (3)求法：

(二) 线面角

方法一：定义法。

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影， PAO(图中)为直线l与面所成的角。

P步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。

步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。

αAθO

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。

βPθαOA(2)范围：[0,90]

当0时，l或l// 当90时，l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。

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n1θ3．异面直线之间的距离

n2方法一：转化为线面距离。

muruururuurn1n2步骤一：计算cosn1n2uruurn1n2

n

如图，m和n为两条异面直线，n且

uruur步骤二：判断与n1n2的关系，可能相等或

者互补。

m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为

直线m与平面之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。

四． 距离问题。

方法三：公式法。

1．点面距。

BaAm方法一：几何法。

PcbCdnDm'

AO

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，

步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。

步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)

2．线面距、面面距均可转化为点面距。

m//m'，则异面直线m和n之间的距离为： dc2a2b22abcosA C D

A1

C1B1

五． 空间向量

(一) 空间向量基本定理

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B

若向量a,b,c为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量p，都存在唯一的有序实数对

x、y、z，使得pxaybzc。

(二) 三点共线，四点共面问题 1. A，B，C三点共线

uuuruuuruuurOAxOByOC，且xy1

当xy1时，A是线段BC的 2A，B，C三点共线ABAC 2. A，B，C，D四点共面

uuuruuuruuuruuurOAxOByOCzOD，且xyz1

当xyz1时，A是△BCD的 3A，B，C，D四点共面ABxACyAD (三)空间向量的坐标运算

1. 已知空间中A、B两点的坐标分别为：

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2) 则：

uuuruuurAB ;dA,BAB

r2. 若空间中的向量a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)

rrrr则ab ab rrrrab cosab

六．常见几何体的特征及运算 (一) 长方体

1. 长方体的对角线相等且互相平分。

2. 若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为、、，则cos+cos+cos

222 5 / 13

αβγβαγ2

22若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则cos+cos+cos 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为 ，表面积为 ，体积为 。 (二) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。 (三) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

(四) 正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。 (只有五种正多面体)

(五) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (六) 体积：V棱柱 V棱锥 (七) 球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。

2. 设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是 。

3. 球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。 4.球的表面积公式： 体积公式：

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高考题典例

考点1 点到平面的距离

例1如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角AA1DB的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．

解答过程（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．

Q△ABC为正三角形，AO⊥BC．

Q正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

A F C O B

A1 别为BC，CC1AO⊥平面BCC1B1．连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分

的中点， B1O⊥BD， AB1⊥BD．

D C1B1

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B， AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D

于F，连结

AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．AF⊥A1D， ∠AFG为二面角AA1DB的平面角．

在△AA1D中，由等面积法可求得AF45，5又QAG1AB12， sin∠AFGAG210．

2AF4545所以二面角AA1DB的大小为arcsin10．4（Ⅲ）△A1BD中，BDA1D5，A1B22，S△A1BD6，S△BCD1．在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为3．设点C到平面A1BD的距离为d．

由VABCDVCABD，得1S△BCDg31S△ABDgd，d3S△BCD2．33S△ABD2

1111点C到平面A1BD的距离为2．2 7 / 13

考点2 异面直线的距离

例2 已知三棱锥SABC，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求CD与SE间的距离.

解答过程： 如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF，

EF为BCD的中位线，EF∥CD,CD∥面SEF,CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF

的距离，设其为h，由题意知，BC42,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，

CD26,EFVSCEF1CD6,DF2,SC22111123EFDFSC622 32323在RtSCE中，SE在RtSCF中，SF又EFSC2CE223

SC2CF2424230

123231，解得h 6,SSEF3 由于VCSEFVSCEFSSEFh，即3h333323. 3故CD与SE间的距离为

考点3 直线到平面的距离

例3． 如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一BD∥平面GB1D1，

D1

A1H G

D

A

O1

C1B1BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求

点O平面GB1D1的距离,

C

O

B

B1D1A1C1，B1D1A1A，B1D1平面A1ACC1,

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又B1D1平面GB1D1 平面A1ACC1GB1D1，两个平面的交线是O1G, 作OHO1G于H，则有OH平面GB1D1，即OH是O点到平面GB1D1的距离. 在O1OG中，SO1OG又SO1OG11O1OAO222. 221126OHO1G3OH2,OH. 22326. 3即BD到平面GB1D1的距离等于解析二 BD∥平面GB1D1，

BD上任意一点到平面GB1D1的距离皆为所求，以下求点B平面GB1D1的距离.

设点B到平面GB1D1的距离为h，将它视为三棱锥BGB1D1的高，则

VBGB1D1VD1GBB1,由于SGB1D112236， 2114VD1GBB1222323,

h4626, 326. 3即BD到平面GB1D1的距离等于

小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4 异面直线所成的角

例4如图，在Rt△AOB中，OABπ，斜边AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转

6得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点． （I）求证：平面COD平面AOB； （II）求异面直线AO与CD所成角的大小． 解答过程：（I）由题意，COAO，BOAO，

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A

DzADCOEBBOC是二面角BAOC是直二面角，

COBO，又QAOIBOO，CO平面AOB，

又CO平面COD．平面COD平面AOB．

（II）作DEOB，垂足为E，连结CE（如图），则DE∥AO， CDE是异面直线AO与CD所成的角．

在Rt△COE中，COBO2，OE1BO1，CECO2OE25．

2又DE1AO3．在Rt△CDE中，tanCDECE515．

2DE33异面直线AO与CD所成角的大小为arctan15．

3小结： 求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：①平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如解析二；②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，如解析三.一般来说，平移法是最常. 用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围：0,

2

考点5 直线和平面所成的角

例5. 四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知∠ABC45o，AB2，BC22，SASB3．

S（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小． 解答过程：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥ABCD，得SO⊥底面ABCD．

DCAB底面

因为SASB，所以AOBO，

又∠ABC45o，故△AOB为等腰直角三角形，

S AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．

D 10 / 13

C A

O B

（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC， 故SA⊥AD，由ADBC22，SA11S1ABgSA2AB2．

2223，AO2，得 SO1，SD11． △SAB的面积

连结DB，得△DAB的面积S21ABgADsin135o2 233设D到平面SAB的距离为h，由于VDSABVSABD，得1hgS11SOgS2，解得h2． 设SD与平面SAB所成角为，则sinh222．

SD1111所以，直线SD与平面SBC所成的我为arcsin22．

11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（1）先判断直线和平面的位置关系；（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造——作出斜线与射影所成的角，②证明——论证作出的角为所求的角，③计算——常用解三角形的方法求角，④结论——点明直线和平面所成的角的值. 考点6 二面角

例6．如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，（I）证明BC⊥PQ BAP45o，直线CA和平面所成的角为30o．（II）求二面角BACP的大小．

过程指引：（I）在平面内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB． 因为⊥，IPQ，所以CO⊥， 又因为CACB，所以OAOB．

而BAO45o，所以ABO45o，AOB90o， 从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，

所以PQ⊥平面OBC．因为BC平面OBC，故PQ⊥BC． （II）由（I）知，BO⊥PQ，又⊥，IPQ，

 C P B

A

Q

  C P

B  O H

A

Q

BO，所以BO⊥．过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．故

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BHO是二面角BACP的平面角．

由（I）知，CO⊥，所以CAO是CA和平面所成的角，则CAO30o，

o不妨设AC2，则AO3，OHAOsin303． 2在Rt△OAB中，ABOBAO45o，所以BOAO3，于是在Rt△BOH中，

tanBHOBOOH32．故二面角BACP的大小为arctan2． 32小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱，②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱，③补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时，可由平面向量计算的方法求出二面角的大小. 考点7 利用空间向量求空间距离和角

D1例7． 如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体， 点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11． （1）求证：E，B，F，D1四点共面；

C1 B1A1

F M D

E

2（2）若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GM⊥BF，C

3H，求证：EM⊥平面BCC1B1；

H G B

A

垂足为

（3）用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan． 过程指引：（1）如图，在DD1上取点N，使DN1，连结EN，CN，则AEDN1，CFND12．

因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE，CFD1N都为平行四

D1C1 B1A1

F N M D

H G B

E A

AD，FD1∥CN． 边形．从而EN∥C

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BC，所以EN∥BC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而又因为AD∥FD1∥BE．因此，E，B，F，D1四点共面．

（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM∠CFB，

BMBGgtan∠BGMBGgtan∠CFBBGgBC231． CF32BM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM． 因为AE∥又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1．

（3）如图，连结EH．因为MH⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF．于是∠EHMEM⊥BF，是所求的二面角的平面角，即∠EHM．

因为∠MBH∠CFB，所以MHBMgsin∠MBHBMgsin∠CFB

BMgBCBC2CF2133222EM3， tan13．

MH13

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