一、单选题
1、﹣3的绝对值是（ ） A．﹣3
B．
C．3
D．±3
【分析】利用绝对值的定义求解即可． 【解答】解：﹣3的绝对值是3． 故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义． 2、下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（
），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是
的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202， 解得：r＝25m， ∴这段弯路的半径为25m 故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
4、如图，从点C观测点D的仰角是（ ）
A．∠DAB
B．∠DCE
C．∠DCA
D．∠ADC
【分析】根据仰角的定义进行解答便可．
【解答】解：∵从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE， ∴从点C观测点D的仰角是∠DCE， 故选：B．
【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
5、如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．13
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8． 故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 6、如图，AB为⊙O的直径，BC、CD是⊙O的切线，切点分别为点B、D，点E为线段OB上的一个动点，连接OD，
CE，DE，已知AB＝2，BC＝2，当CE+DE的值最小时，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】延长CB到F使得BC＝CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE＝DF值最小，连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，先求得BG，再求BH，进而DH，运用相似三角形得便可得解．
【解答】解：延长CB到F使得BC＝CF，则C与F关于OB对称，连接DF与OB相交于点E，此时CE+DE＝DF值最小，
连接OC，BD，两线相交于点G，过D作DH⊥OB于H，
，
则OC⊥BD，OC＝∵OB•BC＝OC•BG， ∴
，
，
，
∴BD＝2BG＝
∵OD2﹣OH2＝DH2＝BD2﹣BH2，
∴∴BH＝∴
∵DH∥BF， ∴
，
，
，
，
∴，
故选：A．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．
7、2019年“五一”假日期间，我省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为（ ） A．1.61×109
B．1.61×1010
C．1.61×1011 D．1.61×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：根据题意161亿用科学记数法表示为1.61×1010 ． 故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8、平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（ ） A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
n【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2， ∴d＞r，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外， ∵过圆外一点可以作圆的2条切线， 故选：C．
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定
义是关键．
9、如图，已知AB＝AC，AB＝5，BC＝3，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．13
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA＝DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长＝AC+BC．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DB，
∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8． 故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 10、下面命题正确的是（ ） A．矩形对角线互相垂直
2
B．方程x＝14x的解为x＝14 C．六边形内角和为540°
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得出选项A不正确； 由方程x＝14x的解为x＝14或x＝0得出选项B不正确； 由六边形内角和为（6﹣2）×180°＝720°得出选项C不正确； 由直角三角形全等的判定方法得出选项D正确；即可得出结论． 【解答】解：A．矩形对角线互相垂直，不正确；
2
B．方程x2＝14x的解为x＝14，不正确； C．六边形内角和为540°，不正确；
D．一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理、矩形的性质、一元二次方程的解、六边形的内角和、直角三角形全等的判定；要熟练掌握． 二、填空题
1、问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE． 问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝点的距离和的最小值是 2 ．
．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶
【分析】（1）在BC上截取BG＝PD，通过三角形求得证得AG＝AP，得出△AGP是等边三角形，得出∠AGC＝60°＝∠APG，即可求得∠APE＝60°，连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，证得△ACE是等边三角形，得出AE＝EC＝AC，然后通过证得△APE≌△ECF（SAS），得出PE＝PF，即可证得结论；
（2）以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，可证△GMO≌△DME，可得GO＝DE，则
MO+NO+GO＝NO+OE+DE，即当D、E、O、N四点共线时，MO+NO+GO值最小，最小值为ND的长度，根据勾股定理
先求得MF、DF，然后求ND的长度，即可求MO+NO+GO的最小值． 【解答】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD， 在△ABG和△ADP中
，
∴△ABG≌△ADP（SAS）， ∴AG＝AP，∠BAG＝∠DAP， ∵∠GAP＝∠BAD＝60°， ∴△AGP是等边三角形， ∴∠AGC＝60°＝∠APG， ∴∠APE＝60°， ∴∠EPC＝60°，
连接EC，延长BC到F，使CF＝PA，连接EF，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠EAC＝60°，∠EPC＝60°， ∵AE＝AC，
∴△ACE是等边三角形， ∴AE＝EC＝AC，
∵∠PAE+∠APE+∠AEP＝180°，∠ECF+∠ACE+∠ACB＝180°，∠ACE＝∠APE＝60°，∠AED＝∠ACB， ∴∠PAE＝∠ECF， 在△APE和△ECF中
∴△APE≌△ECF（SAS）， ∴PE＝PF， ∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD， ∴∠GMO＝∠DME 在△GMO和△DME中
∴△GMO≌△DME（SAS）， ∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小， ∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°， ∴∠NMD＝135°， ∴∠DMF＝45°， ∵MG＝
．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10， ∴ND＝
＝
，
＝2
，
∴MO+NO+GO最小值为2故答案为2
，
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键．
2、如图，直线AB∥CD，直线EC分别与AB，CD相交于点A、点C，AD平分∠BAC，已知∠ACD＝80°，则∠DAC的度数为 50° ．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠DAC的度数． 【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°， ∴∠BAC＝100°， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAC＝50°， 故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
3、在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲
线y＝，则k1+k2的值为 0 ．
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，﹣b） ∵点B在双曲线y＝∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0； 故答案为：0．
上，
上，
【点评】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．
4、如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为 21° ．
【分析】设∠ADE＝x，由等腰三角形的性质和直角三角形得出∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF，得出DE＝CD，证出∠DCE＝∠DEC＝2x，由平行四边形的性质得出∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x，得出方程，解方程即可．
【解答】解：设∠ADE＝x， ∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴∠DAE＝∠ADE＝x，DE＝AF＝AE＝EF， ∵AE＝EF＝CD， ∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCA＝63°﹣x， ∴2x＝63°﹣x， 解得：x＝21°， 即∠ADE＝21°； 故答案为：21°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；根据角的关系得出方程是解题的关键．
5、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S＝
．
菱形ABCD＝24，则AH
【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD， ∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝AC×BD＝24， ∴AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴BC＝
＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝；
．
故答案为：
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
三、解答题(难度：中等) 1、计算：（2x2）3﹣x2•x4．
【分析】先算乘方与乘法，再合并同类项即可． 【解答】解：（2x2）3﹣x2•x4 ＝8x﹣x ＝7x．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握运算性质和法则是解题的关键．
2、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离．
（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
66
6
【分析】连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可． 【解答】解：连接CO并延长，与AB交于点D， ∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3（米）， 在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，
∴cos41.3°＝tan41.3°＝
，即OA＝＝＝4（米），
，即OD＝AD•tan41.3°＝3×0.88＝2.64（米），
则CD＝CO+OD＝4+2.64＝6.64（米）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 3、在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）树状图如图所示： （2）∵m，n都是方程x﹣5x+6＝0的解， ∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
22
2
m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
小明获胜的概率为
＝，小利获胜的概率为
＝，
∴小明、小利获胜的概率一样大．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． 4、已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线
AC交⊙E于点D，连接OD．
（1）求证：直线OD是⊙E的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG； ①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标 ②求
的最大值．
，F2（5，0） （直接写出）；
【分析】（1）连接ED，证明∠EDO＝90°即可，可通过半径相等得到∠EDB＝∠EBD，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得DO＝BO＝AO，∠ODB＝∠OBD，得证；
（2）①分两种情况：a）F位于线段AB上，b）F位于BA的延长线上；过F作AC的垂线，构造相似三角形，应用相似三角形性质可求得点F坐标； ②应用相似三角形性质和三角函数值表示出应用二次函数最值可得到结论．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接DE，∵BC为圆的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BDA＝90° ∵OA＝OB ∴OD＝OB＝OA ∴∠OBD＝∠ODB ∵EB＝ED ∴∠EBD＝∠EDB
＝
22
，令y＝CG（64﹣CG2）＝﹣（CG2﹣32）+322，
∴EBD+∠OBD＝∠EDB+∠ODB 即：∠EBO＝∠EDO ∵CB⊥x轴 ∴∠EBO＝90° ∴∠EDO＝90° ∵点D在⊙E上
∴直线OD为⊙E的切线．
（2）①如图2，当F位于AB上时，过F作F1N⊥AC于N， ∵F1N⊥AC
∴∠ANF1＝∠ABC＝90° ∴△ANF∽△ABC ∴
∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝
＝
＝10，即AB：BC：AC＝6：8：10＝3：4：5
∴设AN＝3k，则NF1＝4k，AF1＝5k ∴CN＝CA﹣AN＝10﹣3k ∴tan∠ACF＝∴
即F1（
，0）
＝
＝，解得：k＝
如图3，当F位于BA的延长线上时，过F2作F2M⊥CA于M， ∵△AMF2∽△ABC
∴设AM＝3k，则MF2＝4k，AF2＝5k ∴CM＝CA+AM＝10+3k ∴tan∠ACF＝
解得：
∴AF2＝5k＝2
OF2＝3+2＝5
即F2（5，0） 故答案为：F1（
，0），F2（5，0）．
②方法1：如图4，∵CB为直径 ∴∠CGB＝∠CBF＝90° ∴△CBG∽△CFB ∴
∴BC＝CG•CF
2
CF＝
∵CG2+BG2＝BC2， ∴BG2＝BC2﹣CG2 ∴
＝
＝
∴＝
令y＝CG2（64﹣CG2）＝﹣CG4+64CG2＝﹣[（CG2﹣32）2﹣322]＝﹣（CG2﹣32）2+322 ∴当CG2＝32时，此时CG＝4
＝
＝．
，cosα＝
，
方法2：设∠BCG＝α，则sinα＝∴sinαcosα＝
∵（sinα﹣cosα）2≥0，即：sin2α+cos2α≥2sinαcosα ∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinαcosα≤，即∴
的最大值＝．
≤
【点评】本题是一道难度较大，综合性很强的有关圆的代数几何综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定定理，直角三角形性质，相似三角形性质和判定，动点问题，二次函数最值问题等，构造相似三角形和应用求二次函数最值方法是解题关键．
5、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接
BD．
（1）求证：∠BAD＝∠CBD；
（2）若∠AEB＝125°，求的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理即可得到结论；
（2）连接OD，根据平角定义得到∠AEC＝55°，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，求得∠CAE＝35°，得到∠BOD＝2∠BAD＝70°，根据弧长公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD； （2）解：连接OD， ∵∠AEB＝125°， ∴∠AEC＝55°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACE＝90°， ∴∠CAE＝35°， ∴∠DAB＝∠CAE＝35°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝70°， ∴
的长＝
＝π．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算，正确的识别图形是解题的关键． 6、如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒
个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设函数解析式为y＝ax+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可； （2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝﹣求P； （3）S＝
（GM+BF）×MF＝
（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣
+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；
（x+2）+2，求出点K（0，，HK＝
2
2
﹣x+2，即可
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式y＝﹣），，分
H（，），由勾股定理可得OK＝
2
，OH＝
2
++
三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可； 【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c， 将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得
，
∴，
∴y＝﹣﹣x+2；
（2）∵△PAM≌△PBM， ∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，
∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1， ∴1＝﹣∴x＝﹣1+∴P（﹣1﹣（3）CM＝
﹣x+2， 或x＝﹣1﹣
，
，1）；
，1）或P（﹣1+
t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，
+
MD＝4MF＝
﹣（BC+CM）＝4﹣（2t﹣2）＝4﹣t，
MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t， ∴S＝
（GM+BF）×MF＝
（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣
+8t﹣8＝﹣（t﹣）+；
2
当t＝时，S最大值为；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2， 直线AQ的解析式y＝﹣∴K（0，∴OK＝
2
（x+2）+2， ）， +＝
+
，HK＝
，
2
），H（，，OH＝
2
+，
①当OK＝OH时，∴m﹣4m﹣8＝0， ∴m＝2+2
或m＝2﹣2
+
2
；
＝
+
，
②当OH＝HK时，∴m﹣8＝0， ∴m＝2
或m＝﹣2
2
； ＝
+
，不成立；
，0）或Q（2
，0）或Q（﹣2
，0）；
③当OK＝HK时，综上所述：Q（2+2
，0）或Q（2﹣2
【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．
7、某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽
取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有1200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字幕A，B，C，D表示） 【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为200×25%＝50（人），戏曲的人数为200﹣（50+80+30）＝40（人）， 补全图形如下：
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为1200×
（4）列表得：
＝240（人）；
A
B AB
C AC BC
D AD BD CD
A B C D
BA CA DA
CB DB
DC
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有2种结果， ∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为
＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
8、已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．
（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围． 【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．
（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．
（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点
A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．
法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．
【解答】解：（1）∵y＝mx﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）﹣m﹣3，抛物线有最低点 ∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3
（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3 ∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3 ∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）
2
2
∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3 ∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2 即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2 ∵m＞0，m＝x﹣1 ∴x﹣1＞0 ∴x＞1
∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）
（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线
x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4
∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4） ∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3
x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3
∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA ∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3 法二：
整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x
∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立 ∴x≠2，即x﹣2x＝x（x﹣2）≠0 ∴m＝∵x＞1 ∴1﹣x＜0 ∴x（x﹣2）＜0 ∴x﹣2＜0 ∴x＜2即1＜x＜2 ∵yP＝﹣x﹣2 ∴﹣4＜yP＜﹣3
＞0
2
【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．
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