(江西版)高考数学总复习 第二章2.8 对数与对数函数教案 理 北师大版

2.8 对数与对数函数

考纲要求

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点．

3．知道对数函数是一类重要的函数模型．

x4．了解指数函数y＝a与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

知识梳理

1．对数的概念与性质

对数的 定义 对数的 性质 如果______________，那么数b叫作以a为底N的对数，记作__________，其中____叫作对数的底数，____叫作真数． (1)________没有对数． (2)loga1＝____(a＞0，且a≠1)． (3)logaa＝____(a＞0，且a≠1)． (4)alogaN____(a＞0，且a≠1，N＞0). 2．对数的运算

(1)对数的运算性质

如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么 ①loga(MN)＝__________；

M②loga＝__________；

Nn③logaM＝______(n∈R)．

(2)换底公式

logab＝______________________. 3．对数函数的图像和性质 (1)对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝__________叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像和性质

a＞1 图 像 0＜a＜1 性 质 定义域：__________ 值域：______ 过定点______，即x＝1时，y＝______ 单调性：在(0，＋∞)上是______ 当0＜x＜1时，y∈______；当x＞1时，y∈______ 单调性：在(0，＋∞)上是______ 当0＜x＜1时，y∈______；当x＞1时，y∈______ 4．指数函数与对数函数的关系

x函数y＝a(a＞0且a≠1)与函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．

基础自测

1．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N，则下列各式：

n①(logax)＝nlogax；

nn②(logax)＝logax；

1

③logax＝－loga；

x1

④logax＝logax；

nnlogaxn⑤＝logax；

nx－yx＋y⑥loga＝－loga.

x＋yx－y其中正确的有( )．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2－x2．函数y＝的定义域是( )．

lg xA．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x＜1或1＜x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0＜x＜1或1＜x≤2}

3．已知0＜loga2＜logb2，则a，b的关系是( )． A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1

2434．已知a＝(a＞0)，则log2a＝__________.

935．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，a≠1)的图像恒过一定点是

__________．

思维拓展 1．试结合换底公式探究logab与logba，logabn与logab之间的关系？

1nn提示：logab＝；logab＝logab.

logbam2．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？

提示：图中直线y＝1与四个函数图像交点的横坐标即为它们相应的底数，∴0＜c＜d＜1＜a＜b，在x轴上方由左到右底数逐渐增大，在x轴下方由左到右底数逐渐减小．

一、对数式的化简与求值

x－x【例1】若xlog32＝1，则4＋4＝__________. 方法提炼对数式化简求值的基本思路：

mmn(1)利用换底公式及logaN＝logaN尽量地转化为同底的和、

mnm差、积、商的运算；

(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；

(3)利用约分、合并同类项，尽量地求出具体值． 提醒：对数的运算性质以及有关公式都是在式子中的所有对数符号有意义的前提下才成立．

请做[针对训练]4

二、对数函数的图像与性质

【例2－1】已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，

2

且x∈[－1,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图像的交点个数为__________．

x【例2－2】已知f(x)＝loga(a－1)(a＞0，且a≠1)． (1)求f(x)的定义域；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

方法提炼利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法：

(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；

(2)当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域； (3)分别求出两函数的单调区间；

(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间．

提醒：研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行．

请做[针对训练]1

三、对数函数性质的综合应用 【例3－1】函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为( )．

21

A．2 B． C． D．1

33

1－x【例3－2】已知函数f(x)＝－x＋log2 1＋x11

＋f－的值； (1)求f2 0122 012

(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．

【例3－3】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，如果对于任意1

的x∈，2都有|f(x)|≤1成立，试求a的取值范围．

3

方法提炼1．求f(a)＋f(－a)的值，常常联想到函数的奇偶性，因此，解此类问题一般先判断奇偶性，再求值．

2．求形如f(2 012)，f(2 011)的值往往与函数的周期有关，求此类函数值一般先研究函数的周期性．

3．已知函数的最值或求函数的最值，往往探究函数的单调性．

请做[针对训练]2

考情分析

从近两年的高考试题看，对数函数的性质是高考的热点，题型一般为选择题、填空题，属中低档题，主要考查利用对数函数的性质比较对数值大小，求定义域、值域、最值以及对数函数与相应指数函数的关系．

预测2013年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，重点考查运用知识解决问题的能力．

针对训练

1．(2011天津高考，文5)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( )．

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b

2．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且

1

＝4，则f

2 012

2

f(2 012)的值为__________．

3．(2012江西赣州联考)已知函数f(x)＝logsin 1(x－6x＋5)

在(a，＋∞)上是减少的，则实数a的取值范围是________．

4．已知：lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，求log3的值．

2xy参考答案

基础梳理自测 知识梳理

b1．a＝N(a＞0，且a≠1) b＝logaN a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N

logcb2．(1)①logaM＋logaN ②logaM－logaN ③nlogaM (2)

logca(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)

3．(1)logax(a＞0，且a≠1) (2)(0，＋∞) R (1,0) 0 增函数 减函数 (－∞，0) (0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0)

基础自测

1．B 解析：由对数运算性质可知③⑤⑥正确．

2－x≥0，

2．D 解析：由x>0，

x≠1，

得0＜x＜1或1＜x≤2.

3．D 解析：由0＜loga2＜logb2知，a，b均大于1. 又log2a＞log2b，∴a＞b，∴a＞b＞1.

24

4．3 解析：由a3＝，

9

42

得loga＝，

932221

即2loga＝，∴loga＝，

3333

1

故log2a＝＝3.

23loga3

5．(2,2)

考点探究突破

82

【例1】 解析：由xlog32＝1，得x＝log23，

9

182x－xlog3－log3∴4＋4＝44＝9＋＝.

99

【例2－1】4 解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，作出函数y＝f(x)与y＝log5x22的图像(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x的图像的交点个数为4.

xx【例2－2】解：(1)由a－1＞0，得a＞1. 当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0. ∴当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)． (2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，

则1＜ax＜ax，故0＜ax－1＜ax－1， ∴loga(ax－1)＜loga(ax－1)． ∴f(x1)＜f(x2)．

故当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增加的．

类似地，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增加的．

【例3－1】B 解析：由题知函数f(x)＝|log3x|在区间[a，

1

b]上的值域为[0,1]，当f(x)＝0时x＝1，当f(x)＝1时x＝3或，3

11

，x(1≤x所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[x,3]≤x≤1，

33

2

＜3)，所以b－a的最小值为.

3

【例3－2】解：(1)f(x)的定义域是(－1,1)，

1－xf(x)＝－x＋log2，

1＋x1＋xf(－x)＝x＋log2，

1－x1－x－1

 ＝－(－x)＋log21＋x

1－x

＝－f(x)． ＝－－x＋log2

1＋x

即f(x)＋f(－x)＝0.

11

＋f－＝0. 所以f

2 0122 012

1－x2

(2)令t＝＝－1＋在(－1,1)内是减少的，y＝log2t1＋x1＋x在t＞0上是增加的，

1－x所以f(x)＝－x＋log2在(－1,1)内是减少的．

1＋x12121

2所以当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，函数f(x)存在最小值

1－af(a)＝－a＋log2.

1＋a【例3－3】解：∵f(x)＝logax，

112当0＜a＜1时，f－|f(2)|＝loga＋loga2＝loga＞0，

333

112

当a＞1时，f－|f(2)|＝－loga－loga2＝－loga＞0.

333

1

∴f＞|f(2)|总成立． 3

1

要使x∈，2时恒有|f(x)|≤1，

311

只需f≤1，即－1≤loga≤1，

33

1－1

即logaa≤loga≤logaa，

3

1－1

亦当a＞1时，得a≤≤a，即a≥3；

31－1

当0＜a＜1时，得a≥≥a，

3

1

得0＜a≤.

3

1

综上所述，a的取值范围是0，∪[3，＋∞)．

3

演练巩固提升 针对训练

2

1．B 解析：∵a＝log23.6＝log43.6＝log412.96，b＝log43.2，c＝log43.6，

函数y＝log4x是(0，＋∞)上的增函数，而且12.96＞3.6＞3.2，∴log412.96＞log43.6＞log43.2，即a＞c＞b.

111

＋f(2 2．0 解析：∵f012)＝alog2＋blog3

2 0122 0122 012

＋2＋alog22 012＋blog32 012＋2＝4，∴f(2 012)＝0.

2

3．[5，＋∞) 解析：设u＝x－6x＋5，则由u＞0，可得u＞5或u＜1，

2

∵0＜sin 1＜1，∴y＝logsin 1u为减函数，而u＝x－6x＋5在

x∈(5，＋∞)为增加的，故a≥5.

22

4．解：依题意，可得lg(xy)＝lg (2x－3y)，即xy＝4x－12xy2

＋9y，

2xx整理得4－13＋9＝0，

yyxx9解得＝1或＝.

yy4

∵x＞0，y＞0,2x－3y＞0， ∴x9y＝4，∴logx32 2y