各类方程组的解法

各类方程组的解法

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一、一元一次方程

步骤：系数化整、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1。

1、系数化整：分子分母带有小数或分数的系数化成整数，方法是分子分母同时乘一个数使得系数变成整数；

2、去分母：将包含的分母去掉，方法是等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；

3、去括号：根据去括号法则将括号去掉；

4、移项：过等号要变号，将含未知数的放等号左边，常数放等号右边；

5、合并同类项：根据合并同类项法则将同类项合并：

6、系数化1：将未知数的系数化成1，方法是等式两边同时除以未知数的系数。

注：不一定严格按照步骤，例如移项的同时可以合并同类项，a(A)=b（a、b是已知数，A是含未知数的一次二项式）型方程可以先将括号前的系数化成1，第5步系数为1时省略1且第6步不需要写。

二、二元一次方程（组）

一个二元一次方程有无数个解，它表示平面内一条直线，直线上每个点的坐标都是方程的解。

由两个二元一次方程联立成的二元一次方程组代表空间内两条直线，其公共点坐标就是方程组的解。当然，若两直线平行则方程组无解，若两直线重合则方程组有无数个解。

当方程组形式复杂时先根据一元一次方程的解法化简成一般形式，然后求解。

1、代入消元法：

⑴将任意一个方程变形成“y=带x的式子”或者“x=带y的式子”的形式，代入另一个方程，变成一个一元一次方程；

⑵解一元一次方程；

⑶将解代入任意一个原方程解出另一个未知数的值，并写出解。

2、加减消元法：

⑴方程两边同时乘一个合适的数使得有同一个未知数的系数的绝对值相等（若已有系数的绝对值相等则这一步跳过）；

⑵两个方程左右加或减变成一元一次方程（系数相等用减，系数互为相反数用加）；

⑶解一元一次方程；

⑷将解代入任意一个方程解出另一个未知数的值，并写出解。

3、图像解法：

根据图像与方程的关系，在同一个平面直角坐标系中画出两个方程代表的直线，找出公共点的横坐标与纵坐标（不推荐此方法，因为当解为分数时看不出，这只能表示一种关系）。

*当x、y系数不成比例时有唯一解，当x、y系数成比例且比值不等于常数的比值时无解，当x、y的系数与常数都成比例时有无数个解。

三、三元一次方程（组）与多元一次方程（组）

一个三元一次方程有无数个解，它表示一个平面。

两个三元一次方程联立的三元一次方程组仍有无数个解，它表示两个平面的公共直线（交线）。

三个三元一次方程联立的三元一次方程组表示三个平面的公共点坐标，一般情况下有唯一解，也有无解、无数个解的情况，具体根据平面的位置关系与交线的位置关系。

解法：消元，变成二元一次方程组，解之，将两个未知数的值带入任意一个三元一次方程，写出解。注意每个三元一次方程都要用到。

特殊情况：

⑴三个都是二元一次方程，共有三个未知数，可将任意两个方程的公共未知数消掉，与第三个联立；

⑵两个三元，一个二元，可将两个三元一次方程中在二元一次方程里没出现的未知数消掉，并联立；

⑶一个三元，两个二元，如果两个二元里面只有一个公共未知数，则可将三元与任意一个二元里面在另一个二元中没出现的未知数消掉；如果两个二元里面有两个公共未知数，则用三元的与两个二元的都放一起消元。

⑷有两个三元的可以消元成一元一次方程，则先消成一元一次方程，解之，并将解代入第三个方程与其他任意一个方程联立成二元一次方程组。

多元一次也同样方法消元。

*m个n元一次方程联立成的方程组，当mn时一般无解，除非多的方程都符合解。

四、绝对值方程

说明，这里的大写字母都是含未知数的式子，小写字母都是已知数。

1、|A|=a

去绝对值，当a>0时，A=a或A=-a，解两个方程；当a=0时，A=0，解一个方程；当a<0时无解。

2、|A|=|B|

去绝对值，A=B或A=-B。

3、|A|+(或-)|B|=a

用零点分段法将等号左边的绝对值去掉（需要分类讨论）。

4、|A||B|=a或|A|/|B|=a

根据|A||B|=|AB|, |A|/|B|=|A/B|来转化成第1类。

五、分式方程

1、去分母，即等式两边同时乘所有分母的最小公倍式，是式子，化成整式方程；

2、解整式方程；

3、验根（每个分式方程都不可少），将所求得的根分别代入同时乘的式子，若不为0则根保留，若为0则某个根为增根，所有实数根里不存在这个根。

六、一元二次方程

方程复杂时需要通过解一元一次方程的方法来化简，化成一般式，等号右边是0，等号左边是二次多项式，需要降幂排列。

1、直接开平方法

该方法只适用于可化成x^2=a（即没有一次项）或(x+h)^2=a形式的。

⑴通过因式分解化简成上述形式；

⑵直接开平方，当a>0时化成两个一元一次方程，当a=0时化成一个一元一次方程（注意是等根不是一个根），当a<0时无实数根；

⑶分别解一元一次方程，写出二次方程的解。

2、配方法

该方法适用于所有方程。

⑴将常数项移到等号右边；

⑵将二次项系数化成1；

⑶等号两边同时加上一次项系数一半的平方；

⑷左边因式分解，变成平方的形式；

⑸直接开平方并写出解。

3、公式法

该方法适用于所有方程。

⑴分别写出二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值；

⑵计算△=b^2-4ac的值；

⑶若△<0则写出“无实数根”，否则代入求根公式求出根。求根公式： x=(-b±△)/(2a)

说明，如果要求在复数集里解方程，则当△<0时方程有一组共轭虚数根。

4、因式分解法

该方法只适用于等号左边可以因式分解的方程。

⑴将等号左边因式分解；

⑵令每个因式分别等于0，解每个一元一次方程，写出根。

（考虑的优先级为1、4、3、2）

七、一元三次方程或一元多次方程

先将方程化成一般式，即等号右边是0，左边是个多项式并降幂排列。

如果等号左边能因式分解则先因式分解，然后令每个因式分别等于0，求出根。

需要注意的是，在实数集内求解和在虚数集内求解有时是不一样的，在虚数集内一元n次方程有n个根，还有(x-h)^n=0是有n个相等实数根而不是一个实数根。

等号左边是四次、二次、常数时可将未知数的平方当作整体，相当于解二次方程，六次、三次、常数等情况亦如此。

如果等号左边不能因式分解则按照一般方程处理。

八、无理方程

1、只含一个根号

一般根指数可以为任意正整数。先将含根号的移到等式左边，不含根号的移到等式右边，然后两边同时n次方（n为根指数），当n为偶数时需要代入原方程验根，舍去不符合的根。

2、含两个根号

一般两个都是二次根号。先将含根号的移到等式左边，不含根号的移到等式右边，然后两边平方，此时只有一个根号。接着继续将含根号的移到等式左边，不含根号的移到等式右边，两边平方求解，最后需要验根。

九、二元二次方程（组）

一个二元二次方程表示二次曲线，即圆锥曲线以及退化情况，包括：圆、椭圆、双曲线、抛物线、点、两条相交直线、两条平行直线、两条重合直线、不存在图形。

不含xy项的二次方程通过配方与坐标轴平移确定图像，含xy项的还要考虑坐标轴旋转。

二元二次方程组包括一二型与二二型，一二型即直线与二次曲线的公共点（一个公共点时如果相交则为一个解，如果相切则为两个相等解），二二型则为两个二次曲线的公共点。

一二型的解法：一次方程变形成“x=含y的式子”或“y=含x的式子”，代入二次方程，消元成一个一元二次方程或者一元一次方程，求出一个未知数的值，然后将这个未知数的所有值分别代入一次方程求得另一个未知数的所有值，最后写出解。

二二型通过消元通常会变成四次方程，以下特殊情况仍可变成二次：

⑴所有二次项系数成比例，可通过加减消元成二元一次方程，再利用一二型的解法继续解；

⑵有一个方程的等号左边可化成两个一次多项式的积，这种通常只有二次项，有时也会二次项、一次项、常数项都有。可以先因式分解，将两个一次方程分别与另一个二次方程联立，求出解；

⑶一个方程只有x^2,y^2与常数项，另一个只有xy和常数项，可以在xy项的方程两边同时乘合适的数，与另一个方程凑成完全平方；

⑷两个方程都没有一次项，可借用加减消元方法将常数项变成0，然后按照⑵求解；

⑸两个方程包含某个未知数的项都成比例，可通过加减消元成一元二次方程，求出根，并分别代入任意一个方程求出另一个未知数的值；

⑹常数以外的只有x,y^2或y,x^2项，可整体代入。

多元多次方程这里不详细讲述。

十、指数方程

指数方程指的是指数含未知数且底数能化成相等的常数的方程。

1、将底数化成相等的常数；

2、令指数相等，解方程。

十一、对数方程

对数方程指的是真数含未知数且底数能化成相等的常数的方程。

1、将底数化成相等的常数；

2、真数大于0，求出范围；

3、令真数相等，解方程；

4、代入第2步的范围验根。

十二、幂函数方程

幂函数方程指的是底数含未知数且指数能化成相等的常数的方程。

1、将指数化成相等的常数；

2、求出未知数有意义的范围；

3、根据奇偶性将指数去除；

4、代入第2步的范围验根。

十三、三角函数方程

三角函数方程指的是等号右边是常数，左边三角符号后面的部分有未知数的方程。

1、根据定义域求出未知数有意义的范围；

2、去三角符号，后面的部分保留，值先写出绝对值很小的一个或两个符合的值，然后加上周期；

3、解剩余方程。

十四、排列方程

通常上标是整数，下标有未知数。

将排列写成乘积形式，解整式方程，然后验根，根需要满足上下标均为非负整数且上标小于等于下标，不符合的根舍去。

十五、组合方程

1、下标相等，上标有未知数。

两个上标相等或者两个上标的和等于下标，然后验根，满足条件与排列相同。

2、能化成上标是整数、下标有未知数。

灵活运用对偶法则与增一法则，将组合写成乘积形式，然后验根。

十六、一般方程

通过移项使得等号左右都是熟悉的函数，在同一平面直角坐标系中画出函数图像，用二分法求解，先精确到0.5，然后精确到0.1，也可以继续，求出近似根。

这种一般用高级计算器解，计算器内部计算过程与二分法一样。